1.6 Rasjonale uttrykk | Matematikk for økonomer

Forkorte, multiplisere, dividere og trekke sammen brøker med algebraiske uttrykk.

60 min

9 oppgaver

Forkorting av algebraiske brøkerMultiplikasjon og divisjonFellesnevner

Din fremgang i kapitlet

0 / 9 oppgaver

Brøker med algebraiske uttrykk

Nødvendige forkunnskaper: Algebra og faktorisering

I dette kapitlet skal vi lære å regne med brøker som inneholder algebraiske uttrykk (bokstaver). Vi skal se på hvordan vi forkorter, multipliserer, dividerer og trekker sammen slike brøker.

✏️Eksempel 1

Forkort brøkene:

a) $\displaystyle \frac{2x}{3x}$

b) $\displaystyle \frac{3x - 6}{6}$

c) $\displaystyle \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4}$

Løsning:

a) $\displaystyle \frac{2x}{3x} = \frac{2 \cdot x}{3 \cdot x} = \frac{2}{3}$

b) $\displaystyle \frac{3x - 6}{6} = \frac{3 \cdot (x - 2)}{3 \cdot 2} = \frac{x - 2}{2}$

c) $\displaystyle \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4} = \frac{(x - 2)(x - 3)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x - 3}{x + 2}$

📝Oppgave 1

Forkort brøkene

\displaystyle \frac{4x}{9x}

\displaystyle \frac{2x}{x^2 - 2x}

\displaystyle \frac{x^2 - 5x}{x - 5}

\displaystyle \frac{2x - 8}{4}

\displaystyle \frac{x^2 - 9}{x + 3}

\displaystyle \frac{x^2 - 7x + 12}{2x - 6}

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 2

Multipliser og forkort brøkene:

a) $\displaystyle \frac{2}{3x} \cdot \frac{x + 3}{4}$

b) $\displaystyle \frac{x}{2x + 8} \cdot \frac{x + 4}{3x}$

c) $\displaystyle 3x^2 \cdot \frac{x + 3}{3x^2 - 27}$

Løsning:

a) $\displaystyle \frac{2}{3x} \cdot \frac{x + 3}{4} = \frac{2 \cdot (x + 3)}{3x \cdot 4} = \frac{2 \cdot (x + 3)}{3x \cdot 2 \cdot 2} = \frac{x + 3}{6x}$

b) $\displaystyle \frac{x}{2x + 8} \cdot \frac{x + 4}{3x} = \frac{x \cdot (x + 4)}{(2x + 8) \cdot 3x} = \frac{x \cdot (x + 4) \cdot 1}{2(x + 4) \cdot 3 \cdot x} = \frac{1}{6}$

c) $\displaystyle 3x^2 \cdot \frac{x + 3}{3x^2 - 27} = \frac{3x^2}{1} \cdot \frac{x + 3}{3(x^2 - 9)} = \frac{3 \cdot x^2 \cdot (x + 3)}{3 \cdot (x + 3) \cdot (x - 3)} = \frac{x^2}{x - 3}$

📝Oppgave 2

Multipliser og forkort (om mulig) brøkene

\displaystyle \frac{x + 5}{5x} \cdot \frac{5}{2x + 10}

\displaystyle \frac{2x}{3x - 12} \cdot \frac{x^2 - 16}{4}

\displaystyle 5x \cdot \frac{x + 4}{4x^2 - 16x}

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Multipliser og forkort (om mulig) brøkene

\displaystyle \frac{x}{2} \div \frac{2x}{3}

\displaystyle \frac{x + 9}{2x} \div \frac{x^2 - 81}{2x + 8}

\displaystyle 4x \div \frac{x}{x^2 - 16}

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 3

Trekk sammen brøkene:

$\displaystyle \frac{9x + 3y}{4x} - \frac{x - 3y}{4x}$

Løsning:

$\displaystyle \frac{9x + 3y}{4x} - \frac{x - 3y}{4x} = \frac{9x + 3y - (x - 3y)}{4x} = \frac{9x + 3y - x + 3y}{4x}$

$\displaystyle = \frac{8x + 6y}{4x} = \frac{2(4x + 3y)}{2 \cdot 2x} = \frac{4x + 3y}{2x}$

📝Oppgave 4

Trekk sammen brøkene og forkort hvis mulig

\displaystyle \frac{2x}{4} + \frac{3x}{4}

\displaystyle \frac{2x}{3} - \frac{8x}{3}

\displaystyle \frac{y}{5} - \frac{3y}{5}

\displaystyle \frac{2x - y}{4x} - \frac{3x}{4x}

\displaystyle \frac{x}{3} + \frac{2x}{3} - \frac{3 - 6x}{3}

\displaystyle \frac{x + 6}{2x + 1} - \frac{3x - 4}{2x + 1}

Løs oppgaven Tren

📜Utviding av brøker

For å trekke sammen brøker med ulik nevner må vi først utvide brøkene slik at de får lik nevner (fellesnevner).

Vi utvider en brøk ved å gange teller og nevner med samme faktor.

✏️Eksempel 4

Utvid brøken slik at du får $x^2 - 4$ i nevner:

$\displaystyle \frac{3}{x - 2}$

Løsning:

$\displaystyle \frac{3}{x - 2} = \frac{3(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{3x + 6}{x^2 - 4}$

📝Oppgave 5

Utvid brøken

\displaystyle \frac{9}{x - 2}

slik at nevneren blir

2x - 4

\displaystyle \frac{5}{x + 3}

slik at nevneren blir

x^2 - 9

\displaystyle \frac{3x}{x - 2}

slik at nevneren blir

2x^2 - 8

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 5

Trekk sammen brøkene:

$\displaystyle \frac{5x}{2y} + \frac{3}{2}$

Løsning:

$\displaystyle \frac{5x}{2y} + \frac{3}{2} = \frac{5x}{2y} + \frac{3 \cdot y}{2 \cdot y} = \frac{5x}{2y} + \frac{3y}{2y} = \frac{5x + 3y}{2y}$

📝Oppgave 6

Trekk sammen brøkene og forkort hvis mulig

\displaystyle \frac{3}{2} + \frac{1}{2x}

\displaystyle \frac{4x}{2} + \frac{2x}{5}

\displaystyle \frac{2y}{5} - \frac{x}{3}

\displaystyle \frac{3x}{2y} + \frac{2y}{x}

\displaystyle \frac{x}{5} - 3x

\displaystyle \frac{2x}{11y} - \frac{4x}{11} - 2

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 6

Trekk sammen brøkene:

$\displaystyle \frac{4}{3xy} + \frac{3x}{2y} - 2$

Løsning:

$\displaystyle \frac{4}{3xy} + \frac{3x}{2y} - \frac{2}{1} = \frac{4 \cdot 2}{3xy \cdot 2} + \frac{3x \cdot 3x}{2y \cdot 3x} - \frac{2 \cdot 6xy}{1 \cdot 6xy} = \frac{8}{6xy} + \frac{9x^2}{6xy} - \frac{12xy}{6xy}$

$\displaystyle = \frac{8 + 9x^2 - 12xy}{6xy} = \frac{9x^2 - 12xy + 8}{6xy}$

📝Oppgave 7

Trekk sammen brøkene og forkort hvis mulig

\displaystyle \frac{3}{2xy} + \frac{1}{3x} - 1

\displaystyle \frac{3}{2ab} + \frac{1}{5}

\displaystyle \frac{2}{5x} - \frac{1}{3y} - 1

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 7

Trekk sammen:

$\displaystyle \frac{4}{x + 2} - 2$

Løsning:

$\displaystyle \frac{4}{x + 2} - \frac{2}{1} = \frac{4}{x + 2} - \frac{2(x + 2)}{1(x + 2)} = \frac{4}{x + 2} - \frac{2x + 4}{x + 2} = \frac{4 - (2x + 4)}{x + 2}$

$\displaystyle = \frac{4 - 2x - 4}{x + 2} = \frac{-2x}{x + 2}$

📝Oppgave 8

Trekk sammen brøkene og forkort hvis mulig

\displaystyle \frac{5}{x + 2} + \frac{1}{3}

\displaystyle \frac{2}{x + 3} - \frac{1}{2}

\displaystyle 2 - \frac{x + 2}{3}

\displaystyle \frac{3}{y + 1} + \frac{4}{2(y + 1)}

\displaystyle \frac{x}{5x} - 2

\displaystyle \frac{2}{3} - \frac{x - 3}{3x} - 2

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 8

Trekk sammen:

$\displaystyle \frac{5}{x - 3} - \frac{3}{2}$

Løsning:

$\displaystyle \frac{5}{x - 3} - \frac{3}{2} = \frac{2 \cdot 5}{2(x - 3)} - \frac{3(x - 3)}{2(x - 3)} = \frac{10}{2x - 6} - \frac{3x - 9}{2x - 6}$

$\displaystyle = \frac{10 - (3x - 9)}{2x - 6} = \frac{10 - 3x + 9}{2x - 6} = \frac{-3x + 19}{2x - 6}$

✏️Eksempel 9

Trekk sammen:

$\displaystyle \frac{2}{x - 4} - \frac{1}{x + 4}$

Løsning:

Vi ser fellesnevneren er $(x - 4)(x + 4)$

$\displaystyle \frac{2}{x - 4} - \frac{1}{x + 4} = \frac{2(x + 4)}{(x - 4)(x + 4)} - \frac{1(x - 4)}{(x + 4)(x - 4)}$

$\displaystyle = \frac{2x + 8 - 1(x - 4)}{(x - 4)(x + 4)} = \frac{2x + 8 - x + 4}{(x - 4)(x + 4)} = \frac{x + 12}{x^2 - 16}$

📝Oppgave 9

Trekk sammen brøkene og forkort hvis mulig

\displaystyle \frac{2}{x + 2} + \frac{3}{x - 2}

\displaystyle \frac{2}{x + 3} - \frac{1}{2x + 6}

\displaystyle 3 - \frac{x + 2}{x^2 + 2x}

\displaystyle \frac{3}{y + 4} + \frac{4}{2y + 8} - \frac{1}{3}

\displaystyle \frac{1}{3x} - \frac{2}{x + 1}

\displaystyle \frac{1}{2} - \frac{x - 3}{x - 2} - \frac{2}{x - 1}

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 10

Trekk sammen:

$\displaystyle \frac{2}{x + 2} - \frac{4}{3x - 3}$

Løsning:

$\displaystyle \frac{2}{x + 2} + \frac{4}{3x - 3} = \frac{2}{(x + 2)} - \frac{4}{3(x - 1)}$

$\displaystyle = \frac{3 \cdot 2(x - 1)}{3(x - 1)(x + 2)} - \frac{4(x + 2)}{3(x - 1)(x + 2)} = \frac{6(x - 1) - 4(x + 2)}{3(x - 1)(x + 2)}$

$\displaystyle = \frac{6x - 6 - 4x - 8}{3(x - 1)(x + 2)} = \frac{2x - 14}{3(x - 1)(x + 2)} = \frac{2x - 14}{3x^2 + 3x - 6}$

Forkorte, multiplisere, dividere og trekke sammen brøker med algebraiske uttrykk.

60 min

9 oppgaver

Forkorting av algebraiske brøkerMultiplikasjon og divisjonFellesnevner

Din fremgang i kapitlet

0 / 9 oppgaver

Brøker med algebraiske uttrykk

Nødvendige forkunnskaper: Algebra og faktorisering

I dette kapitlet skal vi lære å regne med brøker som inneholder algebraiske uttrykk (bokstaver). Vi skal se på hvordan vi forkorter, multipliserer, dividerer og trekker sammen slike brøker.

✏️Eksempel 1

Forkort brøkene:

a) $\displaystyle \frac{2x}{3x}$

b) $\displaystyle \frac{3x - 6}{6}$

c) $\displaystyle \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4}$

Løsning:

a) $\displaystyle \frac{2x}{3x} = \frac{2 \cdot x}{3 \cdot x} = \frac{2}{3}$

b) $\displaystyle \frac{3x - 6}{6} = \frac{3 \cdot (x - 2)}{3 \cdot 2} = \frac{x - 2}{2}$

c) $\displaystyle \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4} = \frac{(x - 2)(x - 3)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x - 3}{x + 2}$

📝Oppgave 1

Forkort brøkene

\displaystyle \frac{4x}{9x}

\displaystyle \frac{2x}{x^2 - 2x}

\displaystyle \frac{x^2 - 5x}{x - 5}

\displaystyle \frac{2x - 8}{4}

\displaystyle \frac{x^2 - 9}{x + 3}

\displaystyle \frac{x^2 - 7x + 12}{2x - 6}

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 2

Multipliser og forkort brøkene:

a) $\displaystyle \frac{2}{3x} \cdot \frac{x + 3}{4}$

b) $\displaystyle \frac{x}{2x + 8} \cdot \frac{x + 4}{3x}$

c) $\displaystyle 3x^2 \cdot \frac{x + 3}{3x^2 - 27}$

Løsning:

a) $\displaystyle \frac{2}{3x} \cdot \frac{x + 3}{4} = \frac{2 \cdot (x + 3)}{3x \cdot 4} = \frac{2 \cdot (x + 3)}{3x \cdot 2 \cdot 2} = \frac{x + 3}{6x}$

b) $\displaystyle \frac{x}{2x + 8} \cdot \frac{x + 4}{3x} = \frac{x \cdot (x + 4)}{(2x + 8) \cdot 3x} = \frac{x \cdot (x + 4) \cdot 1}{2(x + 4) \cdot 3 \cdot x} = \frac{1}{6}$

c) $\displaystyle 3x^2 \cdot \frac{x + 3}{3x^2 - 27} = \frac{3x^2}{1} \cdot \frac{x + 3}{3(x^2 - 9)} = \frac{3 \cdot x^2 \cdot (x + 3)}{3 \cdot (x + 3) \cdot (x - 3)} = \frac{x^2}{x - 3}$

📝Oppgave 2

Multipliser og forkort (om mulig) brøkene

\displaystyle \frac{x + 5}{5x} \cdot \frac{5}{2x + 10}

\displaystyle \frac{2x}{3x - 12} \cdot \frac{x^2 - 16}{4}

\displaystyle 5x \cdot \frac{x + 4}{4x^2 - 16x}

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Multipliser og forkort (om mulig) brøkene

\displaystyle \frac{x}{2} \div \frac{2x}{3}

\displaystyle \frac{x + 9}{2x} \div \frac{x^2 - 81}{2x + 8}

\displaystyle 4x \div \frac{x}{x^2 - 16}

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 3

Trekk sammen brøkene:

$\displaystyle \frac{9x + 3y}{4x} - \frac{x - 3y}{4x}$

Løsning:

$\displaystyle \frac{9x + 3y}{4x} - \frac{x - 3y}{4x} = \frac{9x + 3y - (x - 3y)}{4x} = \frac{9x + 3y - x + 3y}{4x}$

$\displaystyle = \frac{8x + 6y}{4x} = \frac{2(4x + 3y)}{2 \cdot 2x} = \frac{4x + 3y}{2x}$

📝Oppgave 4

Trekk sammen brøkene og forkort hvis mulig

\displaystyle \frac{2x}{4} + \frac{3x}{4}

\displaystyle \frac{2x}{3} - \frac{8x}{3}

\displaystyle \frac{y}{5} - \frac{3y}{5}

\displaystyle \frac{2x - y}{4x} - \frac{3x}{4x}

\displaystyle \frac{x}{3} + \frac{2x}{3} - \frac{3 - 6x}{3}

\displaystyle \frac{x + 6}{2x + 1} - \frac{3x - 4}{2x + 1}

Løs oppgaven Tren

📜Utviding av brøker

For å trekke sammen brøker med ulik nevner må vi først utvide brøkene slik at de får lik nevner (fellesnevner).

Vi utvider en brøk ved å gange teller og nevner med samme faktor.

✏️Eksempel 4

Utvid brøken slik at du får $x^2 - 4$ i nevner:

$\displaystyle \frac{3}{x - 2}$

Løsning:

$\displaystyle \frac{3}{x - 2} = \frac{3(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{3x + 6}{x^2 - 4}$

📝Oppgave 5

Utvid brøken

\displaystyle \frac{9}{x - 2}

slik at nevneren blir

2x - 4

\displaystyle \frac{5}{x + 3}

slik at nevneren blir

x^2 - 9

\displaystyle \frac{3x}{x - 2}

slik at nevneren blir

2x^2 - 8

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 5

Trekk sammen brøkene:

$\displaystyle \frac{5x}{2y} + \frac{3}{2}$

Løsning:

$\displaystyle \frac{5x}{2y} + \frac{3}{2} = \frac{5x}{2y} + \frac{3 \cdot y}{2 \cdot y} = \frac{5x}{2y} + \frac{3y}{2y} = \frac{5x + 3y}{2y}$

📝Oppgave 6

Trekk sammen brøkene og forkort hvis mulig

\displaystyle \frac{3}{2} + \frac{1}{2x}

\displaystyle \frac{4x}{2} + \frac{2x}{5}

\displaystyle \frac{2y}{5} - \frac{x}{3}

\displaystyle \frac{3x}{2y} + \frac{2y}{x}

\displaystyle \frac{x}{5} - 3x

\displaystyle \frac{2x}{11y} - \frac{4x}{11} - 2

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 6

Trekk sammen brøkene:

$\displaystyle \frac{4}{3xy} + \frac{3x}{2y} - 2$

Løsning:

$\displaystyle = \frac{8 + 9x^2 - 12xy}{6xy} = \frac{9x^2 - 12xy + 8}{6xy}$

📝Oppgave 7

Trekk sammen brøkene og forkort hvis mulig

\displaystyle \frac{3}{2xy} + \frac{1}{3x} - 1

\displaystyle \frac{3}{2ab} + \frac{1}{5}

\displaystyle \frac{2}{5x} - \frac{1}{3y} - 1

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 7

Trekk sammen:

$\displaystyle \frac{4}{x + 2} - 2$

Løsning:

$\displaystyle \frac{4}{x + 2} - \frac{2}{1} = \frac{4}{x + 2} - \frac{2(x + 2)}{1(x + 2)} = \frac{4}{x + 2} - \frac{2x + 4}{x + 2} = \frac{4 - (2x + 4)}{x + 2}$

$\displaystyle = \frac{4 - 2x - 4}{x + 2} = \frac{-2x}{x + 2}$

📝Oppgave 8

Trekk sammen brøkene og forkort hvis mulig

\displaystyle \frac{5}{x + 2} + \frac{1}{3}

\displaystyle \frac{2}{x + 3} - \frac{1}{2}

\displaystyle 2 - \frac{x + 2}{3}

\displaystyle \frac{3}{y + 1} + \frac{4}{2(y + 1)}

\displaystyle \frac{x}{5x} - 2

\displaystyle \frac{2}{3} - \frac{x - 3}{3x} - 2

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 8

Trekk sammen:

$\displaystyle \frac{5}{x - 3} - \frac{3}{2}$

Løsning:

$\displaystyle \frac{5}{x - 3} - \frac{3}{2} = \frac{2 \cdot 5}{2(x - 3)} - \frac{3(x - 3)}{2(x - 3)} = \frac{10}{2x - 6} - \frac{3x - 9}{2x - 6}$

$\displaystyle = \frac{10 - (3x - 9)}{2x - 6} = \frac{10 - 3x + 9}{2x - 6} = \frac{-3x + 19}{2x - 6}$

✏️Eksempel 9

Trekk sammen:

$\displaystyle \frac{2}{x - 4} - \frac{1}{x + 4}$

Løsning:

Vi ser fellesnevneren er $(x - 4)(x + 4)$

$\displaystyle \frac{2}{x - 4} - \frac{1}{x + 4} = \frac{2(x + 4)}{(x - 4)(x + 4)} - \frac{1(x - 4)}{(x + 4)(x - 4)}$

$\displaystyle = \frac{2x + 8 - 1(x - 4)}{(x - 4)(x + 4)} = \frac{2x + 8 - x + 4}{(x - 4)(x + 4)} = \frac{x + 12}{x^2 - 16}$

📝Oppgave 9

Trekk sammen brøkene og forkort hvis mulig

\displaystyle \frac{2}{x + 2} + \frac{3}{x - 2}

\displaystyle \frac{2}{x + 3} - \frac{1}{2x + 6}

\displaystyle 3 - \frac{x + 2}{x^2 + 2x}

\displaystyle \frac{3}{y + 4} + \frac{4}{2y + 8} - \frac{1}{3}

\displaystyle \frac{1}{3x} - \frac{2}{x + 1}

\displaystyle \frac{1}{2} - \frac{x - 3}{x - 2} - \frac{2}{x - 1}

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 10

Trekk sammen:

$\displaystyle \frac{2}{x + 2} - \frac{4}{3x - 3}$

Løsning:

$\displaystyle \frac{2}{x + 2} + \frac{4}{3x - 3} = \frac{2}{(x + 2)} - \frac{4}{3(x - 1)}$

$\displaystyle = \frac{3 \cdot 2(x - 1)}{3(x - 1)(x + 2)} - \frac{4(x + 2)}{3(x - 1)(x + 2)} = \frac{6(x - 1) - 4(x + 2)}{3(x - 1)(x + 2)}$

$\displaystyle = \frac{6x - 6 - 4x - 8}{3(x - 1)(x + 2)} = \frac{2x - 14}{3(x - 1)(x + 2)} = \frac{2x - 14}{3x^2 + 3x - 6}$