1.5 Faktorisering og kvadratsetningene | Matematikk for økonomer

Faktorisering av tall og uttrykk og de tre kvadratsetningene.

60 min

13 oppgaver

PrimtallsfaktoriseringFaktorisering av uttrykkFørste kvadratsetningAndre kvadratsetningKonjugatsetningen

Din fremgang i kapitlet

0 / 13 oppgaver

Faktorisering

Enkel faktorisering

Når vi faktoriserer et tall skriver vi det som et produkt av to eller flere andre tall. Tallet 8 kan vi for eksempel faktorisere til $4 \cdot 2$ eller alternativt kan vi skrive det som $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Faktorisering er spesielt nyttig når vi arbeider med brøker fordi det kan hjelpe oss å stryke likt imot likt over og under brøkstreken.

Primtallsfaktorisering

Primtall er tall som kun er delelige på seg selv og tallet 1. Tallet 1 er ikke inkludert.

Når vi primtallsfaktoriserer skriver vi tallene vi faktoriserer som et produkt av kun primtall. Eksempelvis så er en primtallsfaktorisering av $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ forskjellig fra en faktorisering som $12 = 4 \cdot 3$ eller $12 = 2 \cdot 6$ ettersom 4 ikke er et primtall.

Primtall: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 …

✏️Eksempel 1

Primtallsfaktoriser:

a) 6
b) 27
c) 74
d) 520

Løsning:

a) $6 = 2 \cdot 3$

b) $27 = 9 \cdot 3 = 3 \cdot 3 \cdot 3$

c) $74 = 2 \cdot 37$

d) $520 = 52 \cdot 10 = 2 \cdot 26 \cdot 2 \cdot 5 = 2 \cdot 2 \cdot 13 \cdot 2 \cdot 5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 13$

📝Oppgave 1

Primtallsfaktoriser tallene

390

1050

Løs oppgaven Tren

Å forkorte enkle brøker ved hjelp av faktorisering

Når vi skal forkorte brøker så finner vi felles faktorer over og under brøkstreken og stryker disse imot hverandre. I motsetning til primtallsfaktorisering er målet vårt å finne høyest mulig felles faktor over og under brøkstreken, på den måten kan vi forkorte raskest mulig.

Noen ganger kan det også lønne seg å faktorisere litt av gangen. Dette handler mest om erfaring.

✏️Eksempel 2

Forkort brøkene:

a) $\displaystyle \frac{18}{6}$

b) $\displaystyle \frac{45}{75}$

c) $\displaystyle \frac{2000}{750}$

Løsning:

a) $\displaystyle \frac{18}{6} = \frac{3 \cdot {\color{red}6}}{{\color{red}6}} = 3$

b) $\displaystyle \frac{45}{75} = \frac{3 \cdot {\color{red}15}}{5 \cdot {\color{red}15}} = \frac{3}{5}$

c) $\displaystyle \frac{2000}{750} = \frac{200 \cdot {\color{red}10}}{75 \cdot {\color{red}10}} = \frac{{\color{blue}25} \cdot 8}{{\color{blue}25} \cdot 3} = \frac{8}{3}$

📝Oppgave 2

Forkort brøkene

\displaystyle \frac{22}{2}

\displaystyle \frac{25}{10}

\displaystyle \frac{9}{6}

\displaystyle \frac{360}{12}

\displaystyle \frac{108}{54}

\displaystyle \frac{1008}{252}

Løs oppgaven Tren

Faktorisering av uttrykk med flere ledd

Vi skal nå lære hvordan vi faktoriserer ut det som er felles i uttrykk med "flere ledd" (altså uttrykk som har + eller − som skiller leddene).

✏️Eksempel 3

Faktoriser uttrykkene:

a) $4x + 8$
b) $6x^2 - 3x$
c) $4x^3 - 12x^2 + 4x$
d) $15x^2y^2 - 20x^2y$

Løsning:

I a) har det som er felles blitt markert {\color{blue}blått}. Det er dette vi kan faktorisere ut.
Det som er igjen er markert med {\color{red}rødt}. Dette skal stå igjen inne i en parentes.

a) $4x + 8 = {\color{blue}4} \cdot {\color{red}x} + {\color{blue}4} \cdot {\color{red}2} = 4({\color{red}x + 2})$

b) $6x^2 - 3x = 3x \cdot 2x - 3x \cdot 1 = 3x(2x - 1)$

c) $4x^3 - 12x^2 + 4x = 4x(x^2 - 3x + 1)$

d) $15x^2y^2 - 20x^2y = 5x^2y(3y - 4)$

Merk: Når vi har faktorisert så kan vi kontrollere at vi har faktorisert riktig ved å gange ut uttrykket vi har fått.

📝Oppgave 3

Faktoriser ut det som er felles (Skrives vanligvis kun "Faktoriser")

2x + 4

9y + 3

8x^2 - 4x + 12

16xy - 9y

15x^2 - 3xy^3

14a^2b + 42b^3

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 4

Faktoriser ut $-3$ fra uttrykket: $-3x + 9$

Løsning:

Vi kan tenke slik:

Vi setter $-3$ utenfor en parentes. Inne i parentesen skal det stå det vi må gange $-3$ med for å få uttrykket til venstre for likhetstegnet.

$-3x + 9 = -3 \cdot x - 3 \cdot (-3) = -3(x - 3)$

✏️Eksempel 5

Løs oppgavene:

a) Faktoriser ut det som står foran $x$ (altså 3) fra $3x + 2$

b) Faktoriser ut det foran x-en med høyest eksponent: $\displaystyle \frac{1}{2}x^2 + 2x + 2$

Løsning:

Når vi faktoriserer ut et tall kan vi også tenke at det som skal stå igjen inne i parentesen er det originale uttrykket delt på det som faktoriseres ut.

a) $\displaystyle 3x + 2 = 3 \cdot x + 3 \cdot \frac{2}{3} = 3\left(x + \frac{2}{3}\right)$

Merk: Fordelen med å faktorisere ut det som står foran $x$ er at vi lett kan se hva $x$ må være for at det inne i parentesen skal bli 0. I dette tilfellet kan vi se at $\displaystyle x = -\frac{2}{3}$ gjør at det som står inne i parentesen blir 0. Vi kommer tilbake til dette litt senere.

b) $\displaystyle \frac{1}{2}x^2 + 2x + 2 = \frac{1}{2} \cdot x^2 + \frac{1}{2} \cdot 4x + \frac{1}{2} \cdot 4 = \frac{1}{2}(x^2 + 4x + 4)$

📝Oppgave 4

Faktoriser ut det som står foran x-en med høyest potens

-2x + 6

3x + 1

\displaystyle \frac{1}{2}x - 3

-2x^2 + 10x - 12

\displaystyle -\frac{1}{5}x + 4

4x^2 + 4x + 1

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Faktoriser ut det som står foran x-en med høyest potens og det som eventuelt er felles.

\displaystyle \frac{1}{6}x + 1

\displaystyle \frac{1}{3}x^2 + 2x + 3

-2x^2 + x

16x^2 - 9

-5x^2 - 3

\displaystyle \left(-\frac{1}{2}\right)x^3 - 5x

Løs oppgaven Tren

Kvadratsetningene

I begynnelsen så kan kvadratsetningene virke nokså uviktige. Det virker jo bare som vi lærer en "hurtigregel" for hvordan gange sammen uttrykk som er opphøyd i 2. Men, det er bare begynnelsen på hva vi bruker kvadratsetningene til. Spesielt 3. kvadratsetning (Konjugatsetningen) er spesielt viktig å lære seg da den brukes mye i matematikken.

📜1. Kvadratsetning

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Bevis: (Det er faktisk viktig å forstå hvorfor)

$(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Husk: $b \cdot a = a \cdot b$

📜2. Kvadratsetning

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Bevis:

$(a - b)^2 = (a - b)(a - b) = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$

✏️Eksempel 6

Regn ut ved hjelp av 1. kvadratsetning:

a) $(x + 3)^2$
b) $(2x + 5y)^2$
c) $3(x + 2)^2$

Løsning:

Vi bruker 1. kvadratsetning: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

a) $(x + 3)^2$

Her er $a = x$ og $b = 3$ :

$(x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$

b) $(2x + 5y)^2$

Her er $a = 2x$ og $b = 5y$ :

$(2x + 5y)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 5y + (5y)^2 = 4x^2 + 20xy + 25y^2$

c) $3(x + 2)^2$

Her regner vi først ut $(x + 2)^2$ og ganger med 3:

$3(x + 2)^2 = 3(x^2 + 4x + 4) = 3x^2 + 12x + 12$

✏️Eksempel 7

Regn ut ved hjelp av 2. kvadratsetning:

a) $(x - 5)^2$
b) $(x^2 - 2y)^2$

Løsning:

Vi bruker 2. kvadratsetning: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

a) $(x - 5)^2$

Her er $a = x$ og $b = 5$ :

$(x - 5)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 - 10x + 25$

b) $(x^2 - 2y)^2$

Her er $a = x^2$ og $b = 2y$ :

$(x^2 - 2y)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 2y + (2y)^2 = x^4 - 4x^2y + 4y^2$

📝Oppgave 6

Regn ut ved hjelp av 1. eller 2. Kvadratsetning

(x + 2)^2

(x - 9)^2

2(x + 6)^2

-2(x - 4)^2

(2x - 7)^2

(-2a + b)^2

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Regn ut ved hjelp av 1. eller 2. Kvadratsetning

(3 + x)^2

2(x - 3)^2

5(x + 2y)^2

-2(3x + 5y)^2

\displaystyle \frac{1}{2}(2x - 6y)^2

(2x^3 - 2z^2)^2

Løs oppgaven Tren

Faktorisering ved hjelp av 1. og 2. kvadratsetning

En av de nyttigste bruksområdene for kvadratsetningene er at vi kan faktorisere enkelte andregraduttrykk om vi gjennomfører de i motsatt retning.

Om vi har en likning på formen $x^2 + b \cdot x + c$ og $\displaystyle \left(\frac{b}{2}\right)^2 = c$ , så kan vi faktorisere ved hjelp av kvadratsetningene:

$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$

✏️Eksempel 8

Faktoriser ved å bruke 1. og 2. kvadratsetning i motsatt retning:

a) $x^2 + 4x + 4$
b) $2x^2 - 12x + 18$

Løsning:

a) Vi skal faktorisere $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$

Her ser vi at det som står foran $x$ , altså $b = 4$ .
Vi må nå sjekke om $\displaystyle \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(\frac{4}{2}\right)^2 = 2^2 = c$ .
$c = 4$ så dette vilkåret er også oppfylt. Vi kan derfor faktorisere ved hjelp av kvadratsetningen i motsatt retning.

Denne utregningen føres normalt sett ikke og vi nøyer oss med å kun føre resultatet:

$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$

b) $2x^2 - 12x + 18 = 2(x^2 - 6x + 9) = 2(x - 3)^2$

📝Oppgave 8

Faktoriser ved hjelp av 1. og 2. Kvadratsetning.

NB: Husk at om det står noe foran $x^2$ skal det faktoriseres ut først.

x^2 + 6x + 9

x^2 - 16x + 64

2x^2 + 8x + 8

3x^2 - 18x + 27

-x^2 + 10x - 25

-4x^2 + 8x - 4

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Faktoriser ved hjelp av 1. og 2. Kvadratsetning.

NB: Husk at om det er noe som er felles eller som står foran $x^2$ skal det faktoriseres ut først.

x^2 + 18x + 81

-2x^2 - 8x - 8

-3x^2 + 24x - 48

4x^3 - 8x^2 + 4x

-3x^3 + 30x^2 - 75x

\displaystyle x^2 + x + \frac{1}{4}

Løs oppgaven Tren

📜3. Kvadratsetning (Konjugatsetningen)

(a + b)(a - b) = a^2 - b^2

Bevis:

$(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2$

✏️Eksempel 9

Regn ut ved hjelp av 3. kvadratsetning:

a) $(x + 2)(x - 2)$
b) $(x^2 + 3y)(x^2 - 3y)$

Løsning:

Vi bruker konjugatsetningen (3. kvadratsetning): $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

a) $(x + 2)(x - 2)$

Her er $a = x$ og $b = 2$ :

$(x + 2)(x - 2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$

b) $(x^2 + 3y)(x^2 - 3y)$

Her er $a = x^2$ og $b = 3y$ :

$(x^2 + 3y)(x^2 - 3y) = (x^2)^2 - (3y)^2 = x^4 - 9y^2$

📝Oppgave 10

Regn ut ved hjelp av 3. Kvadratsetning

(x + 3)(x - 3)

(x + 9)(x - 9)

(2x + \sqrt{3})(2x - \sqrt{3})

(x^2 - 6)(x^2 + 6)

3(x + 4)(x - 4)

-2(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)

Løs oppgaven Tren

3. Kvadratsetning i motsatt retning

Vi kan også bruke konjugatsetningen til å faktorisere uttrykk på formen $a^2 - b^2$ :

$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

✏️Eksempel 10

Faktoriser uttrykkene ved å bruke 3. kvadratsetning i motsatt retning:

Altså: $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

a) $x^2 - 9$
b) $4x^2 - 25$
c) $4x^2 - 12$

Løsning:

a) $x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x + 3)(x - 3)$

b) $4x^2 - 25 = (2x)^2 - 5^2 = (2x + 5)(2x - 5)$

c) $4x^2 - 12 = 4(x^2 - 3) = 4\left(x^2 - \left(\sqrt{3}\right)^2\right) = 4(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})$

📝Oppgave 11

Faktoriser ved hjelp av 3. Kvadratsetning

x^2 - 4

x^2 - 81

4x^2 - 9

9x^2 - 81

x^4 - y^4

9a^4 - 16b^4

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

Faktoriser ved hjelp av 3. Kvadratsetning (Husk å faktorisere ut det som er felles først)

2x^2 - 8

12x^2 - 27

4x^2 - 36y^2

Løs oppgaven Tren

Faktorisering

Enkel faktorisering

Når vi faktoriserer et tall skriver vi det som et produkt av to eller flere andre tall. Tallet 8 kan vi for eksempel faktorisere til

4 \cdot 2

eller alternativt kan vi skrive det som

2 \cdot 2 \cdot 2

Faktorisering er spesielt nyttig når vi arbeider med brøker fordi det kan hjelpe oss å stryke likt imot likt over og under brøkstreken.

Kvadratsetningene