7.6 Derivasjon av polynomfunksjoner | Matematikk 1T

Derivasjonsregler for polynomfunksjoner: potensregelen, konstantregelen og sumregelen.

45 min

16 oppgaver

PotensregelenKonstantregelenSumregelenPolynomderivering

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Derivasjonsregler for polynomer

I kapittel 7.3 introduserte vi potensregelen. Nå skal vi se nærmere på alle reglene vi trenger for å derivere polynomfunksjoner effektivt.

Et polynom er en sum av potenser av $x$ med koeffisienter:
$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$

Potensregelen

f(x) = x^n \quad \Rightarrow \quad f'(x) = n \cdot x^{n-1}

Flytt eksponenten ned som koeffisient og reduser eksponenten med 1.

Konstantregelen

f(x) = c \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 0

Den deriverte av en konstant er alltid 0.

Konstantmultiplikasjon

(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)

Konstanter kan flyttes utenfor derivasjonen.

Sumregelen

(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)

Derivasjon av en sum er summen av de deriverte.

✏️Eksempel 1: Derivere polynomer

Deriver:
a) $f(x) = 5x^4$
b) $f(x) = x^3 + x^2 - 7x + 3$
c) $\displaystyle f(x) = 2x^5 - \frac{1}{2}x^4 + 3x$

Løsning:

a) $f(x) = 5x^4$

Konstantmultiplikasjon + potensregel:
$f'(x) = 5 \cdot 4x^{4-1} = 20x^3$

b) $f(x) = x^3 + x^2 - 7x + 3$

Vi deriverer ledd for ledd (sumregelen):
$f'(x) = 3x^2 + 2x - 7$

c) $\displaystyle f(x) = 2x^5 - \frac{1}{2}x^4 + 3x$

$f'(x) = 2 \cdot 5x^4 - \frac{1}{2} \cdot 4x^3 + 3 = 10x^4 - 2x^3 + 3$

📝Oppgave 7.6.1

Deriver funksjonene:

f(x) = 4x^3

f(x) = -2x^5

\displaystyle f(x) = \frac{1}{3}x^6

f(x) = x^2 + 5x - 1

f(x) = 3x^4 - 2x^3 + x

f(x) = -x^3 + 4x^2 - 6

Negative og brøk-eksponenter

Potensregelen fungerer også for negative eksponenter og brøk-eksponenter:

$f(x) = x^{-2} = \frac{1}{x^2} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$

$f(x) = x^{1/2} = \sqrt{x} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

✏️Eksempel 2: Negative eksponenter

Deriver:
a) $\displaystyle f(x) = \frac{3}{x^2}$
b) $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x} + 2x$

Løsning:

a) Vi skriver om til potensform: $f(x) = 3x^{-2}$
$f'(x) = 3 \cdot (-2) \cdot x^{-3} = -6x^{-3} = -\frac{6}{x^3}$

b) Vi skriver om: $f(x) = x^{-1} + 2x$
$f'(x) = -1 \cdot x^{-2} + 2 = -\frac{1}{x^2} + 2$

📝Oppgave 7.6.2

Skriv om til potensform og deriver:

\displaystyle f(x) = \frac{5}{x^3}

\displaystyle f(x) = \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2}

\displaystyle f(x) = x^2 + \frac{4}{x}

Andrederiverte

Vi kan derivere den deriverte for å få andrederiverte, som skrives $f''(x)$ (leses "f tostreket av x").

$f(x) \xrightarrow{\text{deriverer}} f'(x) \xrightarrow{\text{deriverer igjen}} f''(x)$

Andrederiverte brukes blant annet til å avgjøre om et punkt er et maksimum eller minimum.

✏️Eksempel 3: Finne andrederiverte

La $f(x) = x^4 - 3x^2 + 2x$ . Finn $f'(x)$ og $f''(x)$ .

Løsning:

Først finner vi $f'(x)$ :
$f'(x) = 4x^3 - 6x + 2$

Så deriverer vi $f'(x)$ for å finne $f''(x)$ :
$f''(x) = 12x^2 - 6$

📝Oppgave 7.6.3

Finn $f'(x)$ og $f''(x)$ :

f(x) = x^3 - 2x

f(x) = 2x^4 + x^2 - 5

f(x) = -x^5 + 3x^3

✏️Eksempel 4: Beregne derivert i et punkt

La $f(x) = x^3 - 2x^2 + x$ . Finn $f'(2)$ og $f''(2)$ .

Løsning:

Steg 1: Finn den generelle deriverte $f'(x)$ :
$f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$

Steg 2: Sett inn $x = 2$ :
$f'(2) = 3(2)^2 - 4(2) + 1 = 12 - 8 + 1 = 5$

Steg 3: Finn andrederiverte $f''(x)$ :
$f''(x) = 6x - 4$

Steg 4: Sett inn $x = 2$ :
$f''(2) = 6(2) - 4 = 12 - 4 = 8$

Svar: $f'(2) = 5$ og $f''(2) = 8$

📝Oppgave 7.6.4

Finn verdien av den deriverte i det gitte punktet:

f(x) = x^4 - 2x^3

. Finn

f'(1)

f''(1)

\displaystyle f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + x

. Finn

f'(3)

f''(3)

Oppsummering: Derivasjonsregler

(x^n)' = nx^{n-1}

Regel	Formel
Potensregel	$(x^n)' = nx^{n-1}$
Konstantregel	$(c)' = 0$
Konstantmultiplikasjon	$(c \cdot f)' = c \cdot f'$
Sumregel	$(f + g)' = f' + g'$
Differansregel	$(f - g)' = f' - g'$

Regel	Formel
Potensregel	$(x^n)' = nx^{n-1}$
Konstantregel	$(c)' = 0$
Konstantmultiplikasjon	$(c \cdot f)' = c \cdot f'$
Sumregel	$(f + g)' = f' + g'$
Differansregel	$(f - g)' = f' - g'$

Regel

Formel

Potensregel

(x^n)' = nx^{n-1}

Konstantregel

(c)' = 0

Konstantmultiplikasjon

(c \cdot f)' = c \cdot f'

Sumregel

(f + g)' = f' + g'

Differansregel

(f - g)' = f' - g'