Derivasjonsregler for polynomfunksjoner: potensregelen, konstantregelen og sumregelen.
I kapittel 7.3 introduserte vi potensregelen. Nå skal vi se nærmere på alle reglene vi trenger for å derivere polynomfunksjoner effektivt.
Et polynom er en sum av potenser av med koeffisienter:
Flytt eksponenten ned som koeffisient og reduser eksponenten med 1.
Den deriverte av en konstant er alltid 0.
Konstanter kan flyttes utenfor derivasjonen.
Derivasjon av en sum er summen av de deriverte.
Deriver:
a)
b)
c)
a)
Konstantmultiplikasjon + potensregel:
b)
Vi deriverer ledd for ledd (sumregelen):
c)
Deriver funksjonene:
Potensregelen fungerer også for negative eksponenter og brøk-eksponenter:
Deriver:
a)
b)
a) Vi skriver om til potensform:
b) Vi skriver om:
Skriv om til potensform og deriver:
Vi kan derivere den deriverte for å få andrederiverte, som skrives (leses "f tostreket av x").
Andrederiverte brukes blant annet til å avgjøre om et punkt er et maksimum eller minimum.
La . Finn og .
Først finner vi :
Så deriverer vi for å finne :
Finn og :
La . Finn og .
Steg 1: Finn den generelle deriverte :
Steg 2: Sett inn :
Steg 3: Finn andrederiverte :
Steg 4: Sett inn :
Svar: og
Finn verdien av den deriverte i det gitte punktet:
| Regel | Formel |
|---|---|
| Potensregel | |
| Konstantregel | |
| Konstantmultiplikasjon | |
| Sumregel | |
| Differansregel |