Bruk derivasjon til å løse praktiske problemer med optimering, fart og akselerasjon.
Derivasjon har mange praktiske bruksområder:
- Optimering: Finne maksimum og minimum (f.eks. maksimal profitt, minste kostnad)
- Fart og akselerasjon: Analysere bevegelse
- Vekstrater: Beskrive hvordan ting endrer seg over tid
I dette kapittelet ser vi på hvordan vi bruker derivasjon til å løse slike problemer.
Vi har sett at i punkter der grafen har horisontal tangent. Dette er kandidater for topp- eller bunnpunkt.
Fremgangsmåte:
1. Finn
2. Løs
3. Bruk fortegnsskjema eller andrederiverte for å avgjøre om det er topp eller bunn
La . Da er et kandidat for ekstremalpunkt.
Metode 1: Fortegnsanalyse av
- Hvis går fra til ved : Toppunkt
- Hvis går fra til ved : Bunnpunkt
Metode 2: Andrederiverte
- Hvis : Toppunkt (grafen er konkav, bøyer nedover)
- Hvis : Bunnpunkt (grafen er konveks, bøyer oppover)
Finn eventuelle topp- og bunnpunkt for .
Steg 1: Finn :
Steg 2: Løs :
Steg 3: Bruk andrederiverte:
Steg 4: Finn funksjonsverdiene:
Svar: Toppunkt og bunnpunkt .
Finn topp- og/eller bunnpunkt for funksjonene:
Mange praktiske problemer handler om å finne den beste løsningen – den som gir størst profitt, minst avfall, kortest tid, osv.
Fremgangsmåte for optimering:
1. Les problemet nøye og identifiser hva som skal maksimeres/minimeres
2. Sett opp en funksjon som beskriver dette
3. Finn og løs for
4. Sjekk om løsningen gir maksimum eller minimum
5. Kontroller at løsningen er innenfor eventuelle begrensninger
En bonde skal lage et rektangulært innhegnet område ved en elv. Han har 100 meter gjerde og trenger ikke gjerde langs elven.
Hva er de optimale dimensjonene for å få størst mulig areal?
La være lengden på sidene vinkelrett på elven, og være lengden parallelt med elven.
Begrensning (gjerdelengde):
Areal som skal maksimeres:
Finn maksimum:
Da er .
Kontroll: , så dette er et maksimum.
Svar: Sidene vinkelrett på elven skal være 25 m, og siden langs elven 50 m. Arealet blir .
Løs optimeringsproblemene:
Summen av to positive tall er 20. Finn tallene slik at produktet blir størst mulig.
En ball kastes opp. Høyden er meter. Finn maksimal høyde.
Hvis beskriver posisjonen til et objekt som funksjon av tid , så er:
- Fart (hastighet): (deriverte av posisjon)
- Akselerasjon: (deriverte av fart)
Hvis er posisjonen ved tid :
| Størrelse | Symbol | Sammenheng |
|---|---|---|
| Posisjon | Gitt funksjon | |
| Fart | ||
| Akselerasjon |
a) Finn farten
b) Finn akselerasjonen
c) Når er partikkelen i ro?
d) Når beveger partikkelen seg mot høyre?
a) Fart:
b) Akselerasjon:
c) I ro når :
d) Mot høyre når :
Fra fortegnsanalyse: når eller .
En ball kastes rett opp. Høyden (i meter) etter sekunder er .
Finn farten (den deriverte) som funksjon av
Hva er starthastigheten (farten når )?
Når er ballen på vei ned (negativ fart)?
Hva er akselerasjonen?
Hvor mange enheter bør bedriften produsere for å maksimere profitten?
Steg 1: Finn :
Steg 2: Sett :
Steg 3: Kontroller at dette er et maksimum med :
Siden , er et toppunkt (maksimum).
Steg 4: Finn maksimal profitt:
Svar: Bedriften bør produsere 20 enheter per dag for å oppnå maksimal profitt på 100 kr.
Løs optimeringsproblemene ved hjelp av derivasjon:
Et rektangel har omkrets 24 cm. Finn sidelengdene som gir størst areal.
Profittfunksjonen til en bedrift er kr, der er antall solgte enheter. Finn antall enheter som gir maksimal profitt.
Ekstremalpunkt:
- Finn
- Bruk til å avgjøre topp (f'' < 0) eller bunn (f'' > 0)
Optimering:
1. Sett opp funksjonen som skal optimeres
2. Finn
3. Kontroller at løsningen er et maksimum/minimum
4. Sjekk eventuelle begrensninger
Bevegelse:
- Fart:
- Akselerasjon: