7.7 Praktisk bruk av derivasjon

Steg 1: Finn $f'(x)$:
$$f'(x) = 3x^2 - 3$$

Steg 2: Løs $f'(x) = 0$:
$$3x^2 - 3 = 0$$
$$3x^2 = 3$$
$$x^2 = 1$$
$$x = \pm 1$$

Steg 3: Bruk andrederiverte:
$$f''(x) = 6x$$
$$f''(-1) = -6 < 0 \quad \Rightarrow \text{toppunkt}$$
$$f''(1) = 6 > 0 \quad \Rightarrow \text{bunnpunkt}$$

Steg 4: Finn funksjonsverdiene:
$$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$$
$$f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 = 1 - 3 = -2$$

Svar: Toppunkt $(-1, 2)$ og bunnpunkt $(1, -2)$.

La $x$ være lengden på sidene vinkelrett på elven, og $y$ være lengden parallelt med elven.

Begrensning (gjerdelengde):
$$2x + y = 100 \quad \Rightarrow \quad y = 100 - 2x$$

Areal som skal maksimeres:
$$A(x) = x \cdot y = x(100 - 2x) = 100x - 2x^2$$

Finn maksimum:
$$A'(x) = 100 - 4x = 0$$
$$4x = 100$$
$$x = 25$$

Da er $y = 100 - 2(25) = 50$.

Kontroll: $A''(x) = -4 < 0$, så dette er et maksimum.

Svar: Sidene vinkelrett på elven skal være 25 m, og siden langs elven 50 m. Arealet blir $25 \cdot 50 = 1250 \text{ m}^2$.

a) Fart:
$$v(t) = s'(t) = 3t^2 - 12t + 9$$

b) Akselerasjon:
$$a(t) = v'(t) = 6t - 12$$

c) I ro når $v(t) = 0$:
$$3t^2 - 12t + 9 = 0$$
$$t^2 - 4t + 3 = 0$$
$$(t-1)(t-3) = 0$$
$$t = 1 \text{ s eller } t = 3 \text{ s}$$

d) Mot høyre når $v(t) > 0$:
$v(t) = 3(t-1)(t-3)$

Fra fortegnsanalyse: $v(t) > 0$ når $t < 1$ eller $t > 3$.

Steg 1: Finn $P'(x)$:
$$P'(x) = -2x + 40$$

Steg 2: Sett $P'(x) = 0$:
$$-2x + 40 = 0$$
$$x = 20$$

Steg 3: Kontroller at dette er et maksimum med $P''(x)$:
$$P''(x) = -2$$

Siden $P''(x) = -2 < 0$, er $x = 20$ et toppunkt (maksimum).

Steg 4: Finn maksimal profitt:
$$P(20) = -(20)^2 + 40(20) - 300 = -400 + 800 - 300 = 100$$

Svar: Bedriften bør produsere 20 enheter per dag for å oppnå maksimal profitt på 100 kr.