7.5 Definisjonen av derivasjon og numerisk derivasjon

Vi setter inn i formelen:
$$\frac{f(2 + 0{,}1) - f(2)}{0{,}1} = \frac{f(2{,}1) - f(2)}{0{,}1}$$

Vi beregner funksjonsverdiene:
- $f(2{,}1) = 2{,}1^2 = 4{,}41$
- $f(2) = 2^2 = 4$

$$\frac{4{,}41 - 4}{0{,}1} = \frac{0{,}41}{0{,}1} = 4{,}1$$

Newton-kvotienten er $4{,}1$.

Merk: Den eksakte deriverte er $f'(2) = 2 \cdot 2 = 4$, så $4{,}1$ er en god tilnærming!

Vi starter med Newton-kvotienten:
$$\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{(x + h)^2 - x^2}{h}$$

Vi utvider $(x + h)^2$:
$$= \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}$$

Vi forenkler:
$$= \frac{2xh + h^2}{h} = \frac{h(2x + h)}{h} = 2x + h$$

Når $h \to 0$:
$$f'(x) = \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x$$

Dette bekrefter at den deriverte av $x^2$ er $2x$.

Sentraldifferansen er:
$$f'(x) \approx \frac{f(x + h) - f(x - h)}{2h}$$

Med $x = 3$ og $h = 0{,}1$:
$$f'(3) \approx \frac{f(3{,}1) - f(2{,}9)}{2 \cdot 0{,}1} = \frac{3{,}1^2 - 2{,}9^2}{0{,}2}$$

$$= \frac{9{,}61 - 8{,}41}{0{,}2} = \frac{1{,}2}{0{,}2} = 6$$

Kontroll: Den eksakte verdien er $f'(3) = 2 \cdot 3 = 6$. Sentraldifferansen ga eksakt svar her!