Introduksjon til den deriverte og derivasjonsregler for polynomfunksjoner.
I forrige kapittel fant vi momentan vekstfart i ett punkt. Men hva om vi vil ha en formel for momentan vekstfart i alle punkter?
Det er akkurat det den deriverte gir oss! Den deriverte er en ny funksjon som forteller oss stigningstallet til tangenten (momentan vekstfart) for enhver -verdi.
Den deriverte av funksjonen skrives (leses "f derivert av x").
gir oss stigningstallet til tangenten til i punktet .
Med andre ord: er den momentane vekstfarten til når .
Den deriverte funksjonen beskriver det momentane stigningstallet til den originale funksjonen .
- Når : er stigende
- Når : er synkende
- Når : har et topp- eller bunnpunkt (eller vendepunkt)
En konstant funksjon er en horisontal linje. Stigningstallet til en horisontal linje er alltid 0.
Den deriverte av en konstant er alltid 0.
En lineær funksjon har konstant stigningstall lik . Tangenten i et hvilket som helst punkt er selve linjen, med stigningstall .
Den deriverte av en lineær funksjon er stigningstallet.
Deriver funksjonene:
a)
b)
c)
a) er en konstant, så:
b) er lineær med stigningstall , så:
c) er lineær med stigningstall , så:
Deriver funksjonene:
For å derivere funksjoner som , osv., bruker vi potensregelen:
Flytt eksponenten ned som koeffisient og reduser eksponenten med 1.
Eksempel: →
Deriver funksjonene:
a)
b)
c)
a)
b)
Vi deriverer ledd for ledd:
c)
Deriver funksjonene:
La .
a) Finn
b) Finn
c) Finn
a)
b)
c) Vi finner først :
Deretter setter vi inn :
Finn for hver funksjon:
Finn for hver funksjon:
Prøv kommandoen Derivert(f) for å se den deriverte funksjonen.
a) Finn (den deriverte av høydefunksjonen).
b) Hva representerer fysisk?
c) Finn og tolk svaret.
d) Når er ? Hva skjer da?
Lineær funksjon:
Potensregel:
Konstantmultiplikasjon:
Sumregel: