7.3 Den deriverte | Matematikk 1T

Introduksjon til den deriverte og derivasjonsregler for polynomfunksjoner.

45 min

5 oppgaver

Derivertf'(x)KonstantregelPotensregelSumregel

Din fremgang i kapitlet

0 / 5 oppgaver

Den deriverte funksjonen

I forrige kapittel fant vi momentan vekstfart i ett punkt. Men hva om vi vil ha en formel for momentan vekstfart i alle punkter?

Det er akkurat det den deriverte gir oss! Den deriverte er en ny funksjon som forteller oss stigningstallet til tangenten (momentan vekstfart) for enhver $x$ -verdi.

Den deriverte

f(x)

Viktig å huske

Den deriverte funksjonen $f'(x)$ beskriver det momentane stigningstallet til den originale funksjonen $f(x)$ .

- Når $f'(x) > 0$ : $f$ er stigende
- Når $f'(x) < 0$ : $f$ er synkende
- Når $f'(x) = 0$ : $f$ har et topp- eller bunnpunkt (eller vendepunkt)

Derivasjon av konstante funksjoner

En konstant funksjon $f(x) = a$ er en horisontal linje. Stigningstallet til en horisontal linje er alltid 0.

Konstant funksjon

f(x) = a \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 0

Den deriverte av en konstant er alltid 0.

Derivasjon av lineære funksjoner

En lineær funksjon $f(x) = ax + b$ har konstant stigningstall lik $a$ . Tangenten i et hvilket som helst punkt er selve linjen, med stigningstall $a$ .

Lineær funksjon

f(x) = ax + b \quad \Rightarrow \quad f'(x) = a

Den deriverte av en lineær funksjon er stigningstallet.

✏️Eksempel 1: Derivasjon av lineære funksjoner

Deriver funksjonene:
a) $f(x) = 3$
b) $f(x) = 4x - 2$
c) $f(x) = x + 9$

Løsning:

a) $f(x) = 3$ er en konstant, så:
$f'(x) = 0$

b) $f(x) = 4x - 2$ er lineær med stigningstall $4$ , så:
$f'(x) = 4$

c) $f(x) = x + 9 = 1 \cdot x + 9$ er lineær med stigningstall $1$ , så:
$f'(x) = 1$

📝Oppgave 7.3.1

Deriver funksjonene:

f(x) = 4

f(x) = 3x

f(x) = -7x + 10

f(x) = \pi x - 3

f(a) = 3a + 2

f(x) = -(x + 3) = -x - 3

Potensregelen for derivasjon

For å derivere funksjoner som $x^2$ , $x^3$ osv., bruker vi potensregelen:

Potensregelen

f(x) = x^n \quad \Rightarrow \quad f'(x) = n \cdot x^{n-1}

Flytt eksponenten ned som koeffisient og reduser eksponenten med 1.

Huskeregel: "Ta ned og trekk fra én"
- Ta eksponenten ned foran som koeffisient
- Trekk fra én fra eksponenten

Eksempel: $x^5$ → $5x^{5-1} = 5x^4$

✏️Eksempel 2: Potensregelen

Deriver funksjonene:
a) $f(x) = x^5$
b) $f(x) = 3x^4 - 2x + 5$
c) $\displaystyle f(x) = \frac{2}{x^3}$

Løsning:

a) $f(x) = x^5$
$f'(x) = 5 \cdot x^{5-1} = 5x^4$

b) $f(x) = 3x^4 - 2x + 5$

Vi deriverer ledd for ledd:
$f'(x) = 3 \cdot 4 \cdot x^{4-1} - 2 = 12x^3 - 2$

c) $\displaystyle f(x) = \frac{2}{x^3} = 2x^{-3}$

$f'(x) = 2 \cdot (-3) \cdot x^{-3-1} = -6x^{-4} = -\frac{6}{x^4}$

📝Oppgave 7.3.2

Deriver funksjonene:

f(x) = x^3

f(x) = x^2 + 2x - 3

f(x) = -7x^3 + 10

f(x) = x^5 + 3x^2

f(a) = -3a^7 + 2a

f(x) = ax^4 - bx

✏️Eksempel 3: Finne verdien av den deriverte

La $f(x) = 2x^2 - 5x$ .
a) Finn $f(3)$
b) Finn $f(-2)$
c) Finn $f'(-2)$

Løsning:

a) $f(3) = 2 \cdot 3^2 - 5 \cdot 3 = 2 \cdot 9 - 15 = 18 - 15 = 3$

b) $f(-2) = 2 \cdot (-2)^2 - 5 \cdot (-2) = 2 \cdot 4 + 10 = 8 + 10 = 18$

c) Vi finner først $f'(x)$ :
$f'(x) = 4x - 5$

Deretter setter vi inn $x = -2$ :
$f'(-2) = 4 \cdot (-2) - 5 = -8 - 5 = -13$

📝Oppgave 7.3.3

Finn $f'(2)$ for hver funksjon:

f(x) = x^2 - 3

\displaystyle f(x) = \frac{7}{2}x^2 - 5x

f(x) = x^{-2} + x

📝Oppgave 7.3.4

Finn $f'(-3)$ for hver funksjon:

f(x) = 2x^2 - 3x

\displaystyle f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x

f(x) = 4x

📊Utforsk derivasjon i GeoGebra

Prøv kommandoen Derivert(f) for å se den deriverte funksjonen.

📝Oppgave 7.3.5

Høyden

h

(i meter) til en ball som kastes rett opp er gitt ved:

h(t) = -5t^2 + 20t + 1

der

t

er tiden i sekunder.

a) Finn $h'(t)$ (den deriverte av høydefunksjonen).
b) Hva representerer $h'(t)$ fysisk?
c) Finn $h'(2)$ og tolk svaret.
d) Når er $h'(t) = 0$ ? Hva skjer da?

Oppsummering: Derivasjonsregler

f(x) = a \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 0

Introduksjon til den deriverte og derivasjonsregler for polynomfunksjoner.

45 min

5 oppgaver

Derivertf'(x)KonstantregelPotensregelSumregel

Din fremgang i kapitlet

0 / 5 oppgaver

Den deriverte funksjonen

I forrige kapittel fant vi momentan vekstfart i ett punkt. Men hva om vi vil ha en formel for momentan vekstfart i alle punkter?

Det er akkurat det den deriverte gir oss! Den deriverte er en ny funksjon som forteller oss stigningstallet til tangenten (momentan vekstfart) for enhver $x$ -verdi.

Den deriverte

f(x)

Viktig å huske

Den deriverte funksjonen $f'(x)$ beskriver det momentane stigningstallet til den originale funksjonen $f(x)$ .

- Når $f'(x) > 0$ : $f$ er stigende
- Når $f'(x) < 0$ : $f$ er synkende
- Når $f'(x) = 0$ : $f$ har et topp- eller bunnpunkt (eller vendepunkt)

Derivasjon av konstante funksjoner

En konstant funksjon $f(x) = a$ er en horisontal linje. Stigningstallet til en horisontal linje er alltid 0.

Konstant funksjon

f(x) = a \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 0

Den deriverte av en konstant er alltid 0.

Derivasjon av lineære funksjoner

En lineær funksjon $f(x) = ax + b$ har konstant stigningstall lik $a$ . Tangenten i et hvilket som helst punkt er selve linjen, med stigningstall $a$ .

Lineær funksjon

f(x) = ax + b \quad \Rightarrow \quad f'(x) = a

Den deriverte av en lineær funksjon er stigningstallet.

✏️Eksempel 1: Derivasjon av lineære funksjoner

Deriver funksjonene:
a) $f(x) = 3$
b) $f(x) = 4x - 2$
c) $f(x) = x + 9$

Løsning:

a) $f(x) = 3$ er en konstant, så:
$f'(x) = 0$

b) $f(x) = 4x - 2$ er lineær med stigningstall $4$ , så:
$f'(x) = 4$

c) $f(x) = x + 9 = 1 \cdot x + 9$ er lineær med stigningstall $1$ , så:
$f'(x) = 1$

📝Oppgave 7.3.1

Deriver funksjonene:

f(x) = 4

f(x) = 3x

f(x) = -7x + 10

f(x) = \pi x - 3

f(a) = 3a + 2

f(x) = -(x + 3) = -x - 3

Potensregelen for derivasjon

For å derivere funksjoner som $x^2$ , $x^3$ osv., bruker vi potensregelen:

Potensregelen

f(x) = x^n \quad \Rightarrow \quad f'(x) = n \cdot x^{n-1}

Flytt eksponenten ned som koeffisient og reduser eksponenten med 1.

Huskeregel: "Ta ned og trekk fra én"
- Ta eksponenten ned foran som koeffisient
- Trekk fra én fra eksponenten

Eksempel: $x^5$ → $5x^{5-1} = 5x^4$

✏️Eksempel 2: Potensregelen

Deriver funksjonene:
a) $f(x) = x^5$
b) $f(x) = 3x^4 - 2x + 5$
c) $\displaystyle f(x) = \frac{2}{x^3}$

Løsning:

a) $f(x) = x^5$
$f'(x) = 5 \cdot x^{5-1} = 5x^4$

b) $f(x) = 3x^4 - 2x + 5$

Vi deriverer ledd for ledd:
$f'(x) = 3 \cdot 4 \cdot x^{4-1} - 2 = 12x^3 - 2$

c) $\displaystyle f(x) = \frac{2}{x^3} = 2x^{-3}$

$f'(x) = 2 \cdot (-3) \cdot x^{-3-1} = -6x^{-4} = -\frac{6}{x^4}$

📝Oppgave 7.3.2

Deriver funksjonene:

f(x) = x^3

f(x) = x^2 + 2x - 3

f(x) = -7x^3 + 10

f(x) = x^5 + 3x^2

f(a) = -3a^7 + 2a

f(x) = ax^4 - bx

✏️Eksempel 3: Finne verdien av den deriverte

La $f(x) = 2x^2 - 5x$ .
a) Finn $f(3)$
b) Finn $f(-2)$
c) Finn $f'(-2)$

Løsning:

a) $f(3) = 2 \cdot 3^2 - 5 \cdot 3 = 2 \cdot 9 - 15 = 18 - 15 = 3$

b) $f(-2) = 2 \cdot (-2)^2 - 5 \cdot (-2) = 2 \cdot 4 + 10 = 8 + 10 = 18$

c) Vi finner først $f'(x)$ :
$f'(x) = 4x - 5$

Deretter setter vi inn $x = -2$ :
$f'(-2) = 4 \cdot (-2) - 5 = -8 - 5 = -13$

📝Oppgave 7.3.3

Finn $f'(2)$ for hver funksjon:

f(x) = x^2 - 3

\displaystyle f(x) = \frac{7}{2}x^2 - 5x

f(x) = x^{-2} + x

📝Oppgave 7.3.4

Finn $f'(-3)$ for hver funksjon:

f(x) = 2x^2 - 3x

\displaystyle f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x

f(x) = 4x

📊Utforsk derivasjon i GeoGebra

Prøv kommandoen Derivert(f) for å se den deriverte funksjonen.

📝Oppgave 7.3.5

Høyden

h

(i meter) til en ball som kastes rett opp er gitt ved:

h(t) = -5t^2 + 20t + 1

der

t

er tiden i sekunder.

a) Finn $h'(t)$ (den deriverte av høydefunksjonen).
b) Hva representerer $h'(t)$ fysisk?
c) Finn $h'(2)$ og tolk svaret.
d) Når er $h'(t) = 0$ ? Hva skjer da?

Oppsummering: Derivasjonsregler

f(x) = a \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 0