7.2 Momentan vekstfart

Forstå begrepet momentan vekstfart og sammenhengen med tangenten til en graf.

35 min

3 oppgaver

Momentan vekstfartTangentGrenseverdi

Din fremgang i kapitlet

0 / 3 oppgaver

Fra gjennomsnittlig til momentan vekstfart

I forrige kapittel så vi på gjennomsnittlig vekstfart mellom to punkter. Men hva om vi vil vite vekstfarten i ett spesifikt punkt på grafen?

Tenk deg at du kjører bil. Speedometeret viser ikke gjennomsnittsfarten din over en time – det viser farten akkurat nå. Dette kalles momentan vekstfart eller øyeblikkelig vekstfart.

Momentan vekstfart

f

Finne momentan vekstfart grafisk

Hvis vi har en graf, kan vi finne den momentane vekstfarten ved å:
1. Tegne tangenten til grafen i det aktuelle punktet
2. Finne stigningstallet til tangenten

For å finne stigningstallet, trenger vi to punkter på tangentlinjen.

📊Utforsk tangent og momentan vekstfart

Flytt punkt A langs grafen og se hvordan tangenten og dens stigningstall endres.

✏️Eksempel 1: Momentan vekstfart fra graf

Funksjonen $f(x) = x^2 - 1$ har en tangent i punktet $(2, 3)$ som også går gjennom punktet $(3, 7)$ . Finn den momentane vekstfarten når $x = 2$ .

Løsning:

Tangenten til $f(x)$ når $x = 2$ går gjennom punktene $(2, 3)$ og $(3, 7)$ .

Vi finner stigningstallet til tangentlinjen:
$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{7 - 3}{3 - 2} = \frac{4}{1} = 4$

Stigningstallet til tangenten er $4$ , som betyr at den momentane vekstfarten til funksjonen er $4$ når $x = 2$ .

Viktig sammenheng:
- Gjennomsnittlig vekstfart → Stigningstallet til sekanten (linje gjennom to punkter på grafen)
- Momentan vekstfart → Stigningstallet til tangenten (linje som berører grafen i ett punkt)

Når vi lar de to punktene på sekanten nærme seg hverandre, vil sekanten nærme seg tangenten!

Fra sekant til tangent

Tenk deg at vi har to punkter på grafen: $A = (a, f(a))$ og $B = (a + h, f(a + h))$ .

Gjennomsnittlig vekstfart mellom disse er:
$\frac{f(a + h) - f(a)}{h}$

Når vi lar $h$ bli mindre og mindre (nærme seg 0), vil punktet $B$ nærme seg $A$ , og sekanten vil nærme seg tangenten. Den momentane vekstfarten er grenseverdien av dette uttrykket når $h \to 0$ .

📝Oppgave 7.2.1

Funksjonen $g(x) = x^2 + 2x$ har en tangent i punktet $x = 1$ .

a) Finn funksjonsverdien $g(1)$ .
b) Bruk GeoGebra til å tegne tangenten og finn stigningstallet.
c) Hva er den momentane vekstfarten til $g(x)$ når $x = 1$ ?

📝Oppgave 7.2.2

Grafen til funksjonen $f$ har en tangent i punktet $P = (3, 5)$ . Tangenten går også gjennom punktet $Q = (5, 11)$ .

a) Finn stigningstallet til tangenten.
b) Hva er den momentane vekstfarten til $f$ når $x = 3$ ?
c) Skriv opp likningen for tangenten.

Finn stigningstallet til tangenten

Hva er den momentane vekstfarten til $f$ når $x = 3$ ?

Skriv opp likningen for tangenten

📝Oppgave 7.2.3

En bil kjører langs en rett vei. Avstanden $s$ (i km) fra startpunktet etter $t$ timer er gitt ved $s(t) = t^2 + 4t$ .

a) Finn avstanden etter 2 timer.
b) Finn gjennomsnittsfarten mellom $t = 1$ og $t = 3$ timer.
c) Bruk GeoGebra til å finne momentanfarten (øyeblikkelig fart) når $t = 2$ .

Oppsummering:
- Momentan vekstfart er vekstfarten i et bestemt punkt
- Grafisk er dette stigningstallet til tangenten i punktet
- Tangenten berører grafen i bare ett punkt og har samme retning som grafen der
- Momentan vekstfart er grenseverdien av gjennomsnittlig vekstfart når intervallet krymper mot null

Matematikk 1TTilbake