Forstå begrepet momentan vekstfart og sammenhengen med tangenten til en graf.
I forrige kapittel så vi på gjennomsnittlig vekstfart mellom to punkter. Men hva om vi vil vite vekstfarten i ett spesifikt punkt på grafen?
Tenk deg at du kjører bil. Speedometeret viser ikke gjennomsnittsfarten din over en time – det viser farten akkurat nå. Dette kalles momentan vekstfart eller øyeblikkelig vekstfart.
Den momentane vekstfarten til en funksjon i et punkt er stigningstallet til tangenten til grafen i punktet .
Tangenten er den rette linjen som bare berører grafen i ett punkt og har samme retning som grafen i det punktet.
Hvis vi har en graf, kan vi finne den momentane vekstfarten ved å:
1. Tegne tangenten til grafen i det aktuelle punktet
2. Finne stigningstallet til tangenten
For å finne stigningstallet, trenger vi to punkter på tangentlinjen.
Flytt punkt A langs grafen og se hvordan tangenten og dens stigningstall endres.
Funksjonen har en tangent i punktet som også går gjennom punktet . Finn den momentane vekstfarten når .
Tangenten til når går gjennom punktene og .
Vi finner stigningstallet til tangentlinjen:
Stigningstallet til tangenten er , som betyr at den momentane vekstfarten til funksjonen er når .
Når vi lar de to punktene på sekanten nærme seg hverandre, vil sekanten nærme seg tangenten!
Tenk deg at vi har to punkter på grafen: og .
Gjennomsnittlig vekstfart mellom disse er:
Når vi lar bli mindre og mindre (nærme seg 0), vil punktet nærme seg , og sekanten vil nærme seg tangenten. Den momentane vekstfarten er grenseverdien av dette uttrykket når .
Funksjonen har en tangent i punktet .
a) Finn funksjonsverdien .
b) Bruk GeoGebra til å tegne tangenten og finn stigningstallet.
c) Hva er den momentane vekstfarten til når ?
Grafen til funksjonen har en tangent i punktet . Tangenten går også gjennom punktet .
a) Finn stigningstallet til tangenten.
b) Hva er den momentane vekstfarten til når ?
c) Skriv opp likningen for tangenten.
Finn stigningstallet til tangenten
Hva er den momentane vekstfarten til når ?
Skriv opp likningen for tangenten
En bil kjører langs en rett vei. Avstanden (i km) fra startpunktet etter timer er gitt ved .
a) Finn avstanden etter 2 timer.
b) Finn gjennomsnittsfarten mellom og timer.
c) Bruk GeoGebra til å finne momentanfarten (øyeblikkelig fart) når .