7.1 Gjennomsnittlig vekstfart | Matematikk 1T

Forstå og beregne gjennomsnittlig vekstfart mellom to punkter på en graf.

35 min

5 oppgaver

StigningstallEttpunktsformelenGjennomsnittlig vekstfartSekant

Din fremgang i kapitlet

0 / 5 oppgaver

Stigningstall og vekstfart

Før vi ser på vekstfart, må vi forstå stigningstall. Stigningstallet forteller oss hvor bratt en linje er.

$\Delta$ (delta) betyr endring i matematikken:
- $\Delta x$ betyr endringen i $x$ -verdien
- $\Delta y$ betyr endringen i $y$ -verdien

Stigningstall

P_1 = (x_1, y_1)

✏️Eksempel 1: Finn stigningstallet

Finn stigningstallet til linjen som går gjennom punktene $(1, 3)$ og $(3, 9)$ .

Løsning:

Vi velger $P_1 = (1, 3)$ og $P_2 = (3, 9)$ .

Fra $P_1$ ser vi at $x_1 = 1$ og $y_1 = 3$ .
Fra $P_2$ ser vi at $x_2 = 3$ og $y_2 = 9$ .

$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{9 - 3}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$

Stigningstallet er $a = 3$ , som betyr at $y$ -verdien øker med 3 når $x$ -verdien øker med 1.

📝Oppgave 7.1.1

Finn stigningstallet til en linje som går gjennom punktene

P_1 = (1, 3)

P_2 = (4, 9)

(-1, -2)

(1, -4)

(2, 5)

(-1, -4)

(1, 3)

(5, 5)

Ettpunktsformelen

Ettpunktsformelen bruker ett punkt på linjen og stigningstallet til å finne likningen for hele linjen.

Ettpunktsformelen

a

✏️Eksempel 2: Bruk ettpunktsformelen

Finn likningen til en linje som går gjennom punktet $(1, 2)$ og har stigningstallet 3.

Løsning:

Her ser vi at $(x_0, y_0) = (1, 2)$ , altså $x_0 = 1$ , $y_0 = 2$ og stigningstallet $a = 3$ .

Vi setter inn i ettpunktsformelen:
$y - y_0 = a(x - x_0)$
$y - 2 = 3(x - 1)$
$y - 2 = 3x - 3$
$y = 3x - 1$

📝Oppgave 7.1.2

Finn likningen for linjen som

går gjennom punktet $(x_0, y_0) = (1, 0)$ og har stigningstall $a = 3$

går gjennom punktet $(2, -3)$ og har stigningstallet $a = -2$

går gjennom punktet $(1, 3)$ og har stigningstallet $a = 0$

✏️Eksempel 3: Linje gjennom to punkter

Finn likningen til en linje som går gjennom punktene $(1, 5)$ og $(3, 9)$ .

Løsning:

Vi finner først stigningstallet til linjen gjennom de 2 punktene:
$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{9 - 5}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$

Vi velger $(1, 5)$ som $(x_0, y_0)$ og bruker ettpunktsformelen:
$y - y_0 = a(x - x_0)$
$y - 5 = 2(x - 1)$
$y - 5 = 2x - 2$
$y = 2x + 3$

📝Oppgave 7.1.3

Finn likningen til en linje som går gjennom punktene

(1, 3)

(5, 7)

(0, 3)

(5, 13)

(1, -2)

(3, -4)

(2, 5)

(4, 5)

Gjennomsnittlig vekstfart

Nå som vi kan finne stigningstall, kan vi se på gjennomsnittlig vekstfart for en funksjon.

Gjennomsnittlig vekstfart beskriver hvor mye funksjonsverdien i gjennomsnitt endrer seg per enhet $x$ i et gitt intervall. Grafisk er dette stigningstallet til sekanten (linjen som skjærer grafen i to punkter).

Gjennomsnittlig vekstfart

f

📊Utforsk gjennomsnittlig vekstfart

Prøv å tegne en funksjon og en sekant. Bruk kommandoen Stigning(linje) for å finne stigningstallet til sekanten.

✏️Eksempel 4: Gjennomsnittlig vekstfart

La $f(x) = x^2 - 1$ . Finn gjennomsnittlig vekstfart når $x \in [-2, 1]$ .

Løsning:

Vi trenger å finne stigningstallet til linjen som går gjennom punktene $A = (-2, f(-2))$ og $B = (1, f(1))$ .

Vi begynner med å finne $f(-2)$ og $f(1)$ :
$f(-2) = (-2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$
$f(1) = 1^2 - 1 = 1 - 1 = 0$

Vi har nå altså punktene $A = (-2, 3)$ og $B = (1, 0)$ .

$\text{Gjennomsnittlig vekstfart} = \frac{f(1) - f(-2)}{1 - (-2)} = \frac{0 - 3}{1 + 2} = \frac{-3}{3} = -1$

Den gjennomsnittlige vekstfarten til $f(x)$ i intervallet $x \in [-2, 1]$ er altså lik $-1$ .

📝Oppgave 7.1.4

La $f(x) = x^2 - 3x + 2$ . Finn den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallene:

x \in [1, 5]

x \in [-2, 2]

x \in [1, 2]

📝Oppgave 7.1.5

En ball kastes opp i luften. Høyden

h

(i meter) over bakken etter

t

sekunder er gitt ved:

h(t) = -5t^2 + 20t + 1

Finn den gjennomsnittlige hastigheten (vekstfarten) til ballen i de gitte tidsintervallene:

t \in [0, 1]

t \in [1, 2]

t \in [2, 3]

Oppsummering:
- Stigningstallet til en linje gjennom to punkter er

\displaystyle a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

- Ettpunktsformelen:

y - y_0 = a(x - x_0)

- Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet

[x_1, x_2]

\displaystyle \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}

- Grafisk er gjennomsnittlig vekstfart stigningstallet til sekanten

Forstå og beregne gjennomsnittlig vekstfart mellom to punkter på en graf.

35 min

5 oppgaver

StigningstallEttpunktsformelenGjennomsnittlig vekstfartSekant

Din fremgang i kapitlet

0 / 5 oppgaver

Stigningstall og vekstfart

Før vi ser på vekstfart, må vi forstå stigningstall. Stigningstallet forteller oss hvor bratt en linje er.

$\Delta$ (delta) betyr endring i matematikken:
- $\Delta x$ betyr endringen i $x$ -verdien
- $\Delta y$ betyr endringen i $y$ -verdien

Stigningstall

P_1 = (x_1, y_1)

✏️Eksempel 1: Finn stigningstallet

Finn stigningstallet til linjen som går gjennom punktene $(1, 3)$ og $(3, 9)$ .

Løsning:

Vi velger $P_1 = (1, 3)$ og $P_2 = (3, 9)$ .

Fra $P_1$ ser vi at $x_1 = 1$ og $y_1 = 3$ .
Fra $P_2$ ser vi at $x_2 = 3$ og $y_2 = 9$ .

$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{9 - 3}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$

Stigningstallet er $a = 3$ , som betyr at $y$ -verdien øker med 3 når $x$ -verdien øker med 1.

📝Oppgave 7.1.1

Finn stigningstallet til en linje som går gjennom punktene

P_1 = (1, 3)

P_2 = (4, 9)

(-1, -2)

(1, -4)

(2, 5)

(-1, -4)

(1, 3)

(5, 5)

Ettpunktsformelen

Ettpunktsformelen bruker ett punkt på linjen og stigningstallet til å finne likningen for hele linjen.

Ettpunktsformelen

a

✏️Eksempel 2: Bruk ettpunktsformelen

Finn likningen til en linje som går gjennom punktet $(1, 2)$ og har stigningstallet 3.

Løsning:

Her ser vi at $(x_0, y_0) = (1, 2)$ , altså $x_0 = 1$ , $y_0 = 2$ og stigningstallet $a = 3$ .

Vi setter inn i ettpunktsformelen:
$y - y_0 = a(x - x_0)$
$y - 2 = 3(x - 1)$
$y - 2 = 3x - 3$
$y = 3x - 1$

📝Oppgave 7.1.2

Finn likningen for linjen som

går gjennom punktet $(x_0, y_0) = (1, 0)$ og har stigningstall $a = 3$

går gjennom punktet $(2, -3)$ og har stigningstallet $a = -2$

går gjennom punktet $(1, 3)$ og har stigningstallet $a = 0$

✏️Eksempel 3: Linje gjennom to punkter

Finn likningen til en linje som går gjennom punktene $(1, 5)$ og $(3, 9)$ .

Løsning:

Vi finner først stigningstallet til linjen gjennom de 2 punktene:
$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{9 - 5}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$

Vi velger $(1, 5)$ som $(x_0, y_0)$ og bruker ettpunktsformelen:
$y - y_0 = a(x - x_0)$
$y - 5 = 2(x - 1)$
$y - 5 = 2x - 2$
$y = 2x + 3$

📝Oppgave 7.1.3

Finn likningen til en linje som går gjennom punktene

(1, 3)

(5, 7)

(0, 3)

(5, 13)

(1, -2)

(3, -4)

(2, 5)

(4, 5)

Gjennomsnittlig vekstfart

Nå som vi kan finne stigningstall, kan vi se på gjennomsnittlig vekstfart for en funksjon.

Gjennomsnittlig vekstfart

f

📊Utforsk gjennomsnittlig vekstfart

Prøv å tegne en funksjon og en sekant. Bruk kommandoen Stigning(linje) for å finne stigningstallet til sekanten.

✏️Eksempel 4: Gjennomsnittlig vekstfart

La $f(x) = x^2 - 1$ . Finn gjennomsnittlig vekstfart når $x \in [-2, 1]$ .

Løsning:

Vi trenger å finne stigningstallet til linjen som går gjennom punktene $A = (-2, f(-2))$ og $B = (1, f(1))$ .

Vi begynner med å finne $f(-2)$ og $f(1)$ :
$f(-2) = (-2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$
$f(1) = 1^2 - 1 = 1 - 1 = 0$

Vi har nå altså punktene $A = (-2, 3)$ og $B = (1, 0)$ .

$\text{Gjennomsnittlig vekstfart} = \frac{f(1) - f(-2)}{1 - (-2)} = \frac{0 - 3}{1 + 2} = \frac{-3}{3} = -1$

Den gjennomsnittlige vekstfarten til $f(x)$ i intervallet $x \in [-2, 1]$ er altså lik $-1$ .

📝Oppgave 7.1.4

La $f(x) = x^2 - 3x + 2$ . Finn den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallene:

x \in [1, 5]

x \in [-2, 2]

x \in [1, 2]

📝Oppgave 7.1.5

En ball kastes opp i luften. Høyden

h

(i meter) over bakken etter

t

sekunder er gitt ved:

h(t) = -5t^2 + 20t + 1

Finn den gjennomsnittlige hastigheten (vekstfarten) til ballen i de gitte tidsintervallene:

t \in [0, 1]

t \in [1, 2]

t \in [2, 3]

Oppsummering:
- Stigningstallet til en linje gjennom to punkter er

\displaystyle a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

- Ettpunktsformelen:

y - y_0 = a(x - x_0)

- Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet

[x_1, x_2]

\displaystyle \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}

- Grafisk er gjennomsnittlig vekstfart stigningstallet til sekanten