6.2 Lese og forstå bevis

$(a + b)^2 = (a + b)(a + b)$

Ved å gange ut parentesene:
$= a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b$
$= a^2 + ab + ab + b^2$
$= a^2 + 2ab + b^2$ ∎

Bevis (geometrisk):

Et kvadrat med side $(a + b)$ har areal $(a + b)^2$.

Dette kvadratet kan deles inn i:
- Et kvadrat med side $a$ (areal $a^2$)
- Et kvadrat med side $b$ (areal $b^2$)
- To rektangler med sider $a$ og $b$ (areal $ab$ hver)

Totalt areal: $a^2 + b^2 + 2ab = a^2 + 2ab + b^2$ ∎

Tegn et stort kvadrat med side $a + b$.

Metode 1: Del opp i fire rettvinklede trekanter og et lite kvadrat i midten.
- Fire trekanter med areal $\displaystyle \frac{1}{2}ab$ hver: totalt $2ab$
- Kvadrat i midten har side $c$ (hypotenusene): areal $c^2$
- Totalt areal: $2ab + c^2$

Metode 2: Del opp i to rektangler og to kvadrater.
- To kvadrater med sider $a$ og $b$: areal $a^2 + b^2$
- To rektangler med sider $a$ og $b$: areal $2ab$
- Totalt areal: $a^2 + b^2 + 2ab$

Sammenlignet:
$$2ab + c^2 = a^2 + b^2 + 2ab$$
$$c^2 = a^2 + b^2$$ ∎

Anta det motsatte: $\sqrt{3}$ er rasjonalt.

Da kan vi skrive $\displaystyle \sqrt{3} = \frac{p}{q}$ der $p$ og $q$ er hele tall uten felles faktorer (brøken er maksimalt forkortet).

$$\sqrt{3} = \frac{p}{q} \Rightarrow 3 = \frac{p^2}{q^2} \Rightarrow p^2 = 3q^2$$

Så $p^2$ er delelig med 3, som betyr at $p$ er delelig med 3.

La $p = 3k$:
$$p^2 = 9k^2 = 3q^2 \Rightarrow q^2 = 3k^2$$

Så $q^2$ er delelig med 3, som betyr at $q$ er delelig med 3.

Selvmotsigelse: Både $p$ og $q$ er delelig med 3, men vi antok at brøken var maksimalt forkortet!

Konklusjon: $\sqrt{3}$ er irrasjonalt. ∎

Grunntilfelle ($n = 1$):
Venstre side: $1$
Høyre side: $\displaystyle \frac{1 \cdot 2}{2} = 1$ ✓

Induksjonsantagelse:
Anta at formelen stemmer for $n = k$:
$$1 + 2 + ... + k = \frac{k(k+1)}{2}$$

Induksjonssteg (vis for $n = k + 1$):
$$1 + 2 + ... + k + (k + 1)$$
$$= \frac{k(k+1)}{2} + (k + 1) \text{ (bruker antagelsen)}$$
$$= \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2}$$
$$= \frac{(k+1)(k+2)}{2}$$
$$= \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}$$

Dette er formelen med $n = k + 1$. ✓

Konklusjon: Formelen gjelder for alle $n \geq 1$. ∎