Lær å lese, forstå og utvikle enkle matematiske bevis.
I dette kapitlet lærer du å lese og forstå matematiske bevis. Et bevis er en fullstendig logisk begrunnelse for hvorfor en matematisk påstand er sann.
Du skal lære:
- Strukturen i et matematisk bevis
- Ulike typer bevis (direkte, indirekte, induksjon)
- Hvordan lese og analysere bevis fra læreboka
- Hvordan utvikle egne enkle bevis
Et matematisk bevis er en kjede av logiske argumenter som viser at en påstand (teorem) følger fra aksimer, definisjoner og tidligere beviste resultater.
Viktige begreper:
- Teorem/setning: En påstand som kan bevises
- Lemma: En hjelpesetning som brukes i et større bevis
- Korollar: En enkel følge av et teorem
Når du leser et bevis, bør du:
1. Forstå påstanden: Hva skal bevises? Hva betyr alle begrepene?
2. Identifiser strukturen: Er det et direkte bevis, motbevis, eller induksjon?
3. Følg hvert steg: Hvorfor følger dette steget fra det forrige?
4. Se det store bildet: Hva er hovedideen i beviset?
5. Prøv selv: Kan du gjenskape beviset uten å se på løsningen?
Bevis at .
Ved å gange ut parentesene:
∎
Bevis (geometrisk):
Et kvadrat med side har areal .
Dette kvadratet kan deles inn i:
- Et kvadrat med side (areal )
- Et kvadrat med side (areal )
- To rektangler med sider og (areal hver)
Totalt areal: ∎
I et direkte bevis starter vi med det vi vet (premissene) og arbeider oss logisk frem til konklusjonen.
Struktur:
1. Anta at premissen er sann
2. Bruk definisjoner, setninger og logikk
3. Vis at konklusjonen følger
Eksempel på direkte bevis: Vis at summen av to partall er partall.
Bevis Pytagoras' setning.
Tegn et stort kvadrat med side .
Metode 1: Del opp i fire rettvinklede trekanter og et lite kvadrat i midten.
- Fire trekanter med areal hver: totalt
- Kvadrat i midten har side (hypotenusene): areal
- Totalt areal:
Metode 2: Del opp i to rektangler og to kvadrater.
- To kvadrater med sider og : areal
- To rektangler med sider og : areal
- Totalt areal:
Sammenlignet:
∎
I et indirekte bevis (motbevis) antar vi at påstanden er usann og viser at dette fører til en selvmotsigelse.
Struktur:
1. Anta at konklusjonen er usann
2. Utled logiske konsekvenser
3. Finn en selvmotsigelse
4. Konkluder at må være sann
Når brukes det: Når det er vanskelig å bevise noe direkte, eller når påstanden involverer "det finnes ikke" eller "uendelig mange".
Vis at er irrasjonalt.
Anta det motsatte: er rasjonalt.
Da kan vi skrive der og er hele tall uten felles faktorer (brøken er maksimalt forkortet).
Så er delelig med 3, som betyr at er delelig med 3.
La :
Så er delelig med 3, som betyr at er delelig med 3.
Selvmotsigelse: Både og er delelig med 3, men vi antok at brøken var maksimalt forkortet!
Konklusjon: er irrasjonalt. ∎
Matematisk induksjon brukes til å bevise påstander som gjelder for alle naturlige tall.
Struktur:
1. Grunntilfelle: Vis at påstanden er sann for (eller et annet startpunkt)
2. Induksjonsantagelse: Anta at påstanden er sann for
3. Induksjonssteg: Vis at påstanden da også er sann for
Analogi: Som dominobrikker – hvis den første faller, og hver brikke slår ned den neste, så faller alle.
Vis at for alle .
Grunntilfelle ():
Venstre side:
Høyre side: ✓
Induksjonsantagelse:
Anta at formelen stemmer for :
Induksjonssteg (vis for ):
Dette er formelen med . ✓
Konklusjon: Formelen gjelder for alle . ∎
| Bevistype | Når brukes det | Struktur |
|---|---|---|
| Direkte | Standard tilnærming | direkte |
| Kontraposisjon | Når konklusjonen er "negativ" | |
| Motbevis | Når direkte er vanskelig | Anta , finn selvmotsigelse |
| Induksjon | For påstander om alle | Grunntilfelle + induksjonssteg |
Les beviset for 1. kvadratsetning i eksempel 1. Bevis deretter 2. og 3. kvadratsetning på samme måte.
2. kvadratsetning:
3. kvadratsetning:
Bruk induksjon til å bevise at for alle .
Vis ved motbevis at er irrasjonalt.
Bruk induksjon til å bevise at er delelig med 6 for alle .
Bevis geometrisk at arealet av en sirkel er ved å dele sirkelen i mange tynne "kakestykker" og omorganisere dem.
Vis ved induksjon at for alle .