6.1 Matematisk argumentasjon

Forutsetninger: La $a$ og $b$ være to partall.

Resonnement:
Et partall kan skrives som $2k$ der $k$ er et helt tall.

Så vi kan skrive:
- $a = 2m$ for et helt tall $m$
- $b = 2n$ for et helt tall $n$

Summen blir:
$$a + b = 2m + 2n = 2(m + n)$$

Siden $m + n$ er et helt tall, er $2(m + n)$ på formen $2k$, altså et partall.

Konklusjon: Summen av to partall er alltid et partall.

Forutsetninger: La $a$ og $b$ være to oddetall.

Resonnement:
Et oddetall kan skrives som $2k + 1$ der $k$ er et helt tall.

Så vi kan skrive:
- $a = 2m + 1$ for et helt tall $m$
- $b = 2n + 1$ for et helt tall $n$

Produktet blir:
$$a \cdot b = (2m + 1)(2n + 1)$$
$$= 4mn + 2m + 2n + 1$$
$$= 2(2mn + m + n) + 1$$

Dette er på formen $2k + 1$ der $k = 2mn + m + n$, altså et oddetall.

Konklusjon: Produktet av to oddetall er alltid et oddetall.

Vi bruker motsatt bevis (kontrapositivt bevis):

I stedet for å vise "$n^2$ partall $\Rightarrow$ $n$ partall", viser vi det logisk ekvivalente utsagnet:

"$n$ oddetall $\Rightarrow$ $n^2$ oddetall"

Bevis:
La $n$ være et oddetall, altså $n = 2k + 1$ for et helt tall $k$.

$$n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$$

Dette er på formen $2m + 1$, altså et oddetall.

Konklusjon: Siden $n$ oddetall gir $n^2$ oddetall, må det motsatte også gjelde: $n^2$ partall gir $n$ partall.

Vi bruker motbevis (bevis ved selvmotsigelse):

Anta det motsatte: Anta at $\sqrt{2}$ er rasjonalt.

Da kan $\displaystyle \sqrt{2} = \frac{p}{q}$ der $p$ og $q$ er hele tall uten felles faktorer.

$$\sqrt{2} = \frac{p}{q} \Rightarrow 2 = \frac{p^2}{q^2} \Rightarrow p^2 = 2q^2$$

Så $p^2$ er partall, som betyr at $p$ er partall (vist i eksempel 3).

La $p = 2k$:
$$p^2 = 4k^2 = 2q^2 \Rightarrow q^2 = 2k^2$$

Så $q^2$ er partall, som betyr at $q$ er partall.

Selvmotsigelse: Både $p$ og $q$ er partall, men vi antok at de ikke hadde felles faktorer!

Konklusjon: Antagelsen var feil, så $\sqrt{2}$ må være irrasjonalt.