5.7 Cosinussetningen | Matematikk 1T

Cosinussetningen med bevis og anvendelser.

35 min

10 oppgaver

CosinussetningenUkjente siderUkjente vinkler

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Cosinussetningen

Cosinussetningen er en generalisering av Pytagoras' setning som gjelder for alle trekanter.

📜Cosinussetningen

I en trekant med sider

a

b

c

og motstående vinkler

A

B

C

gjelder:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$
$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

Merk: Når $C = 90°$ blir $\cos C = 0$ , og vi får Pytagoras: $c^2 = a^2 + b^2$ .

Begrunnelse

Plasser trekanten i et koordinatsystem med $C$ i origo, side $b$ langs $x$ -aksen.

Da er $A = (b, 0)$ og $B = (a \cos C, a \sin C)$ .

Avstanden $c$ fra $A$ til $B$ :
$c^2 = (a \cos C - b)^2 + (a \sin C)^2$
$c^2 = a^2 \cos^2 C - 2ab \cos C + b^2 + a^2 \sin^2 C$
$c^2 = a^2(\cos^2 C + \sin^2 C) + b^2 - 2ab \cos C$
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

Når bruker vi cosinussetningen?

Finn ukjent side: Når du kjenner to sider og vinkelen mellom dem (SVS).

Finn ukjent vinkel: Når du kjenner alle tre sidene (SSS).

Omskrevet for å finne vinkel:
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

✏️Eksempel 1

I trekant ABC er $b = 7$ , $c = 10$ og $A = 60°$ . Finn side $a$ .

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A

a^2 = 7^2 + 10^2 - 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \cos 60°

a^2 = 49 + 100 - 140 \cdot 0{,}5

a^2 = 149 - 70 = 79

a = \sqrt{79} \approx 8{,}9

Side $a \approx 8{,}9$

✏️Eksempel 2

I trekant ABC er $a = 5$ , $b = 7$ og $c = 9$ . Finn vinkel $C$ .

\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

\cos C = \frac{5^2 + 7^2 - 9^2}{2 \cdot 5 \cdot 7}

\cos C = \frac{25 + 49 - 81}{70} = \frac{-7}{70} = -0{,}1

C = \cos^{-1}(-0{,}1) \approx 95{,}7°

Vinkel $C \approx 95{,}7°$ (stump vinkel fordi cosinus er negativ)

✏️Eksempel 3

To skip starter fra samme havn. Skip A seiler 30 km mot nord, skip B seiler 40 km i retning 70° øst for nord. Hvor langt fra hverandre er skipene?

Vinkelen mellom rutene er 70°.

$d^2 = 30^2 + 40^2 - 2 \cdot 30 \cdot 40 \cdot \cos 70°$
$d^2 = 900 + 1600 - 2400 \cdot 0{,}342$
$d^2 = 2500 - 820{,}8 = 1679{,}2$
$d = \sqrt{1679{,}2} \approx 41{,}0$

Skipene er cirka 41 km fra hverandre.

✏️Eksempel 4

En parallellogram har sider 8 cm og 12 cm, og den ene diagonalen er 15 cm. Finn vinklene i parallellogrammet.

A

være vinkelen ved den korte siden.

$15^2 = 8^2 + 12^2 - 2 \cdot 8 \cdot 12 \cdot \cos A$
$225 = 64 + 144 - 192 \cos A$
$225 = 208 - 192 \cos A$
$\cos A = \frac{208 - 225}{192} = \frac{-17}{192} \approx -0{,}089$
$A \approx 95{,}1°$

Den andre vinkelen er $180° - 95{,}1° = 84{,}9°$

Oppsummering

Cosinussetningen:
- Finn side: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$
- Finn vinkel: $\displaystyle \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

Bruk:
- SVS (to sider og vinkelen mellom) → finn tredje side
- SSS (alle sider) → finn vinkler

Tips: Positiv cosinus = spiss vinkel, negativ cosinus = stump vinkel

📝Oppgave 1

Finn den ukjente siden:

b = 5

c = 8

A = 45°

. Finn

a

a = 6

c = 10

B = 120°

. Finn

b

📝Oppgave 2

Finn vinklene i trekanter med sider:

a = 3

b = 4

c = 5

. Finn

C

a = 7

b = 8

c = 9

. Finn

C

📝Oppgave 3

Et tomt har form som en firkant. Fra et hjørne måler du at de to sidene er 25 m og 35 m, og vinkelen mellom dem er 110°. Hvor lang er diagonalen mellom de to andre hjørnene?

📝Oppgave 4

Et fly flyr 200 km mot øst, snur 50° mot venstre (mot nord), og flyr 150 km til. Hvor langt er flyet fra startpunktet?

📝Oppgave 5

En trekant har sider 10, 12 og 14. Finn alle tre vinkler.

📝Oppgave 6

En likebent trekant har to sider på 10 cm og en grunnlinje på 12 cm. Finn toppvinkelen.

Cosinussetningen med bevis og anvendelser.

35 min

10 oppgaver

CosinussetningenUkjente siderUkjente vinkler

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Cosinussetningen

Cosinussetningen er en generalisering av Pytagoras' setning som gjelder for alle trekanter.

📜Cosinussetningen

I en trekant med sider

a

b

c

og motstående vinkler

A

B

C

gjelder:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$
$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

Merk: Når $C = 90°$ blir $\cos C = 0$ , og vi får Pytagoras: $c^2 = a^2 + b^2$ .

Begrunnelse

Plasser trekanten i et koordinatsystem med $C$ i origo, side $b$ langs $x$ -aksen.

Da er $A = (b, 0)$ og $B = (a \cos C, a \sin C)$ .

Når bruker vi cosinussetningen?

Finn ukjent side: Når du kjenner to sider og vinkelen mellom dem (SVS).

Finn ukjent vinkel: Når du kjenner alle tre sidene (SSS).

Omskrevet for å finne vinkel:
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

✏️Eksempel 1

I trekant ABC er $b = 7$ , $c = 10$ og $A = 60°$ . Finn side $a$ .

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A

a^2 = 7^2 + 10^2 - 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \cos 60°

a^2 = 49 + 100 - 140 \cdot 0{,}5

a^2 = 149 - 70 = 79

a = \sqrt{79} \approx 8{,}9

Side $a \approx 8{,}9$

✏️Eksempel 2

I trekant ABC er $a = 5$ , $b = 7$ og $c = 9$ . Finn vinkel $C$ .

\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

\cos C = \frac{5^2 + 7^2 - 9^2}{2 \cdot 5 \cdot 7}

\cos C = \frac{25 + 49 - 81}{70} = \frac{-7}{70} = -0{,}1

C = \cos^{-1}(-0{,}1) \approx 95{,}7°

Vinkel $C \approx 95{,}7°$ (stump vinkel fordi cosinus er negativ)

✏️Eksempel 3

To skip starter fra samme havn. Skip A seiler 30 km mot nord, skip B seiler 40 km i retning 70° øst for nord. Hvor langt fra hverandre er skipene?

Vinkelen mellom rutene er 70°.

$d^2 = 30^2 + 40^2 - 2 \cdot 30 \cdot 40 \cdot \cos 70°$
$d^2 = 900 + 1600 - 2400 \cdot 0{,}342$
$d^2 = 2500 - 820{,}8 = 1679{,}2$
$d = \sqrt{1679{,}2} \approx 41{,}0$

Skipene er cirka 41 km fra hverandre.

✏️Eksempel 4

En parallellogram har sider 8 cm og 12 cm, og den ene diagonalen er 15 cm. Finn vinklene i parallellogrammet.

A

være vinkelen ved den korte siden.

$15^2 = 8^2 + 12^2 - 2 \cdot 8 \cdot 12 \cdot \cos A$
$225 = 64 + 144 - 192 \cos A$
$225 = 208 - 192 \cos A$
$\cos A = \frac{208 - 225}{192} = \frac{-17}{192} \approx -0{,}089$
$A \approx 95{,}1°$

Den andre vinkelen er $180° - 95{,}1° = 84{,}9°$

Oppsummering

Cosinussetningen:
- Finn side: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$
- Finn vinkel: $\displaystyle \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

Bruk:
- SVS (to sider og vinkelen mellom) → finn tredje side
- SSS (alle sider) → finn vinkler

Tips: Positiv cosinus = spiss vinkel, negativ cosinus = stump vinkel

📝Oppgave 1

Finn den ukjente siden:

b = 5

c = 8

A = 45°

. Finn

a

a = 6

c = 10

B = 120°

. Finn

b

📝Oppgave 2

Finn vinklene i trekanter med sider:

a = 3

b = 4

c = 5

. Finn

C

a = 7

b = 8

c = 9

. Finn

C

📝Oppgave 3

Et tomt har form som en firkant. Fra et hjørne måler du at de to sidene er 25 m og 35 m, og vinkelen mellom dem er 110°. Hvor lang er diagonalen mellom de to andre hjørnene?

📝Oppgave 4

Et fly flyr 200 km mot øst, snur 50° mot venstre (mot nord), og flyr 150 km til. Hvor langt er flyet fra startpunktet?

📝Oppgave 5

En trekant har sider 10, 12 og 14. Finn alle tre vinkler.

📝Oppgave 6

En likebent trekant har to sider på 10 cm og en grunnlinje på 12 cm. Finn toppvinkelen.