5.6 Sinussetningen | Matematikk 1T

Sinussetningen med bevis og anvendelser.

35 min

10 oppgaver

SinussetningenTvetydige tilfeller

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Sinussetningen

Sinussetningen er en formel som gjelder for alle trekanter, ikke bare rettvinklede. Den gir oss en sammenheng mellom sider og vinkler.

📜Sinussetningen

I en trekant med sider

a

b

c

og motstående vinkler

A

B

C

gjelder:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

eller ekvivalent:

$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$

Begrunnelse

La $h$ være høyden fra $C$ ned til siden $c$ .

Fra den ene rettvinklede trekanten: $\displaystyle \sin A = \frac{h}{b}$ , så $h = b \cdot \sin A$

Fra den andre rettvinklede trekanten: $\displaystyle \sin B = \frac{h}{a}$ , så $h = a \cdot \sin B$

Siden begge uttrykk er lik $h$ :
$b \cdot \sin A = a \cdot \sin B$
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

Ved å gjenta med høyde fra et annet hjørne får vi hele sinussetningen.

Når bruker vi sinussetningen?

Sinussetningen brukes når vi kjenner:
- To vinkler og én side (VSV eller VVS)
- To sider og én vinkel overfor en av sidene (SVS der vinkelen er overfor)

Merk: Hvis vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem, bruker vi cosinussetningen i stedet.

✏️Eksempel 1

I trekant ABC er $A = 40°$ , $B = 75°$ og $a = 10$ . Finn side $b$ .

Vi bruker sinussetningen:

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}

$\frac{10}{\sin 40°} = \frac{b}{\sin 75°}$

$b = \frac{10 \cdot \sin 75°}{\sin 40°} = \frac{10 \cdot 0{,}966}{0{,}643} \approx 15{,}0$

Side $b \approx 15{,}0$

✏️Eksempel 2

I trekant ABC er $a = 8$ , $b = 12$ og $A = 35°$ . Finn vinkel $B$ .

Vi bruker sinussetningen:

\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}

$\frac{\sin 35°}{8} = \frac{\sin B}{12}$

$\sin B = \frac{12 \cdot \sin 35°}{8} = \frac{12 \cdot 0{,}574}{8} \approx 0{,}861$

$B = \sin^{-1}(0{,}861) \approx 59{,}4°$

Vinkel $B \approx 59{,}4°$

Det tvetydige tilfellet

Når vi skal finne en vinkel med sinussetningen, kan det være to mulige løsninger fordi $\sin v = \sin(180° - v)$ .

For eksempel: Hvis $\sin B = 0{,}5$ , kan $B = 30°$ eller $B = 150°$ .

Du må sjekke hvilken verdi som gir mening ved å kontrollere at vinkelsummen blir 180°.

✏️Eksempel 3

I trekant ABC er $a = 7$ , $b = 9$ og $A = 30°$ . Finn alle mulige verdier for vinkel $B$ .

\sin B = \frac{b \cdot \sin A}{a} = \frac{9 \cdot \sin 30°}{7} = \frac{9 \cdot 0{,}5}{7} \approx 0{,}643

$B_1 = \sin^{-1}(0{,}643) \approx 40°$
$B_2 = 180° - 40° = 140°$

Sjekk:
- Hvis $B = 40°$ : $C = 180° - 30° - 40° = 110°$ ✓
- Hvis $B = 140°$ : $C = 180° - 30° - 140° = 10°$ ✓

Begge løsningene er mulige: $B \approx 40°$ eller $B \approx 140°$

✏️Eksempel 4

Et tårn og en bygning står 50 m fra hverandre. Fra toppen av bygningen ser man toppen av tårnet med en vinkel på 35° over horisontalt, og bunnen av tårnet med en vinkel på 20° under horisontalt. Hvor høyt er tårnet?

La $h_b$ være bygningens høyde og $h_t$ tårnets høyde.

Først finner vi avstanden langs synslinjen til bunnen av tårnet:
$\displaystyle \tan 20° = \frac{h_b}{50}$ gir at vi trenger mer info.

Alternativt: La $x$ være hvor mye høyere tårnet er.
$\displaystyle \tan 35° = \frac{x}{50}$
$x = 50 \cdot \tan 35° \approx 35{,}0$ m

Så $h_b$ (fra $\tan 20°$ ): $h_b = 50 \cdot \tan 20° \approx 18{,}2$ m

Tårnets høyde: $h_t = h_b + x \approx 18{,}2 + 35{,}0 = 53{,}2$ m

Oppsummering

Sinussetningen: $\displaystyle \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Bruk til å:
- Finne ukjent side når du kjenner to vinkler og én side
- Finne ukjent vinkel når du kjenner to sider og én motstående vinkel

Husk: Sjekk alltid for tvetydig tilfelle når du finner vinkler!

📝Oppgave 1

Finn den ukjente siden:

A = 50°

B = 70°

a = 15

. Finn

b

A = 45°

C = 80°

c = 20

. Finn

a

📝Oppgave 2

Finn den ukjente vinkelen:

a = 10

b = 14

A = 40°

. Finn

B

a = 8

c = 11

A = 35°

. Finn

C

📝Oppgave 3

I en trekant er $A = 55°$ , $B = 65°$ og $c = 12$ . Finn alle sider.

📝Oppgave 4

I en trekant er $a = 5$ , $b = 8$ og $A = 25°$ . Vis at det finnes to ulike trekanter, og finn begge verdier for $B$ .

Sinussetningen med bevis og anvendelser.

35 min

10 oppgaver

SinussetningenTvetydige tilfeller

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Sinussetningen

Sinussetningen er en formel som gjelder for alle trekanter, ikke bare rettvinklede. Den gir oss en sammenheng mellom sider og vinkler.

📜Sinussetningen

I en trekant med sider

a

b

c

og motstående vinkler

A

B

C

gjelder:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

eller ekvivalent:

$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$

Begrunnelse

La $h$ være høyden fra $C$ ned til siden $c$ .

Fra den ene rettvinklede trekanten: $\displaystyle \sin A = \frac{h}{b}$ , så $h = b \cdot \sin A$

Fra den andre rettvinklede trekanten: $\displaystyle \sin B = \frac{h}{a}$ , så $h = a \cdot \sin B$

Siden begge uttrykk er lik $h$ :
$b \cdot \sin A = a \cdot \sin B$
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

Ved å gjenta med høyde fra et annet hjørne får vi hele sinussetningen.

Når bruker vi sinussetningen?

Sinussetningen brukes når vi kjenner:
- To vinkler og én side (VSV eller VVS)
- To sider og én vinkel overfor en av sidene (SVS der vinkelen er overfor)

Merk: Hvis vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem, bruker vi cosinussetningen i stedet.

✏️Eksempel 1

I trekant ABC er $A = 40°$ , $B = 75°$ og $a = 10$ . Finn side $b$ .

Vi bruker sinussetningen:

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}

$\frac{10}{\sin 40°} = \frac{b}{\sin 75°}$

$b = \frac{10 \cdot \sin 75°}{\sin 40°} = \frac{10 \cdot 0{,}966}{0{,}643} \approx 15{,}0$

Side $b \approx 15{,}0$

✏️Eksempel 2

I trekant ABC er $a = 8$ , $b = 12$ og $A = 35°$ . Finn vinkel $B$ .

Vi bruker sinussetningen:

\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}

$\frac{\sin 35°}{8} = \frac{\sin B}{12}$

$\sin B = \frac{12 \cdot \sin 35°}{8} = \frac{12 \cdot 0{,}574}{8} \approx 0{,}861$

$B = \sin^{-1}(0{,}861) \approx 59{,}4°$

Vinkel $B \approx 59{,}4°$

Det tvetydige tilfellet

Når vi skal finne en vinkel med sinussetningen, kan det være to mulige løsninger fordi $\sin v = \sin(180° - v)$ .

For eksempel: Hvis $\sin B = 0{,}5$ , kan $B = 30°$ eller $B = 150°$ .

Du må sjekke hvilken verdi som gir mening ved å kontrollere at vinkelsummen blir 180°.

✏️Eksempel 3

I trekant ABC er $a = 7$ , $b = 9$ og $A = 30°$ . Finn alle mulige verdier for vinkel $B$ .

\sin B = \frac{b \cdot \sin A}{a} = \frac{9 \cdot \sin 30°}{7} = \frac{9 \cdot 0{,}5}{7} \approx 0{,}643

$B_1 = \sin^{-1}(0{,}643) \approx 40°$
$B_2 = 180° - 40° = 140°$

Sjekk:
- Hvis $B = 40°$ : $C = 180° - 30° - 40° = 110°$ ✓
- Hvis $B = 140°$ : $C = 180° - 30° - 140° = 10°$ ✓

Begge løsningene er mulige: $B \approx 40°$ eller $B \approx 140°$

✏️Eksempel 4

La $h_b$ være bygningens høyde og $h_t$ tårnets høyde.

Først finner vi avstanden langs synslinjen til bunnen av tårnet:
$\displaystyle \tan 20° = \frac{h_b}{50}$ gir at vi trenger mer info.

Alternativt: La $x$ være hvor mye høyere tårnet er.
$\displaystyle \tan 35° = \frac{x}{50}$
$x = 50 \cdot \tan 35° \approx 35{,}0$ m

Så $h_b$ (fra $\tan 20°$ ): $h_b = 50 \cdot \tan 20° \approx 18{,}2$ m

Tårnets høyde: $h_t = h_b + x \approx 18{,}2 + 35{,}0 = 53{,}2$ m

Oppsummering

Sinussetningen: $\displaystyle \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Bruk til å:
- Finne ukjent side når du kjenner to vinkler og én side
- Finne ukjent vinkel når du kjenner to sider og én motstående vinkel

Husk: Sjekk alltid for tvetydig tilfelle når du finner vinkler!

📝Oppgave 1

Finn den ukjente siden:

A = 50°

B = 70°

a = 15

. Finn

b

A = 45°

C = 80°

c = 20

. Finn

a

📝Oppgave 2

Finn den ukjente vinkelen:

a = 10

b = 14

A = 40°

. Finn

B

a = 8

c = 11

A = 35°

. Finn

C

📝Oppgave 3

I en trekant er $A = 55°$ , $B = 65°$ og $c = 12$ . Finn alle sider.

📝Oppgave 4

I en trekant er $a = 5$ , $b = 8$ og $A = 25°$ . Vis at det finnes to ulike trekanter, og finn begge verdier for $B$ .