5.5 Areal av trekanter | Matematikk 1T

Ulike formler for areal av trekanter.

30 min

10 oppgaver

GrunnlinjeHøydeArealsetningen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Areal av trekanter

Det finnes flere måter å beregne arealet av en trekant på. Hvilken formel vi bruker, avhenger av hva vi vet om trekanten.

📜Grunnformel for areal

A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h

der $g$ er grunnlinjen og $h$ er høyden (vinkelrett avstand fra grunnlinjen til motstående hjørne).

Denne formelen fungerer for alle trekanter.

✏️Eksempel 1

Finn arealet av en trekant med grunnlinje 8 cm og høyde 5 cm.

\displaystyle A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 = 20

cm²

📜Arealsetningen

Når vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem:

$A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$

der $a$ og $b$ er to sider, og $C$ er vinkelen mellom dem.

Begrunnelse for arealsetningen

I en trekant der vi kjenner sidene $a$ og $b$ og vinkelen $C$ mellom dem:

Høyden $h$ fra side $a$ ned til side $b$ er: $h = a \cdot \sin C$

Da blir arealet:
$\displaystyle A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h = \frac{1}{2} \cdot b \cdot a \cdot \sin C = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$

✏️Eksempel 2

En trekant har sider 7 cm og 9 cm, og vinkelen mellom dem er 50°. Finn arealet.

\displaystyle A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C

\displaystyle A = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 9 \cdot \sin 50°

\displaystyle A = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 9 \cdot 0{,}766...

A \approx 24{,}1

cm²

✏️Eksempel 3

Finn arealet av en likesidet trekant med side 6 cm.

I en likesidet trekant er alle vinkler 60°.

$\displaystyle A = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin 60°$
$\displaystyle A = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$A = 9\sqrt{3} \approx 15{,}6$ cm²

✏️Eksempel 4

To sider i en trekant er 8 m og 10 m. Vinkelen mellom dem er ukjent, men arealet er 32 m². Finn vinkelen.

\displaystyle A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C

\displaystyle 32 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \sin C

32 = 40 \cdot \sin C

\displaystyle \sin C = \frac{32}{40} = 0{,}8

C = \sin^{-1}(0{,}8) \approx 53{,}1°

Vinkelen er cirka 53,1° (eller 126,9° hvis vinkelen er stump).

Herons formel (tilleggsstoff)

Når vi bare kjenner de tre sidene $a$ , $b$ og $c$ :

$s = \frac{a + b + c}{2}$ (halve omkretsen)

$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

Dette kalles Herons formel.

Velg riktig formel

- Grunnlinje og høyde kjent: $\displaystyle A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
- To sider og vinkelen mellom: $\displaystyle A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$
- Bare sidene kjent: Herons formel

📝Oppgave 1

Finn arealet av trekanter med:

Grunnlinje 10 cm, høyde 6 cm

Grunnlinje 12 cm, høyde 8 cm

Grunnlinje 15 cm, høyde 4 cm

📝Oppgave 2

Bruk arealsetningen til å finne arealet:

Sider 5 og 8, vinkel 30° mellom

Sider 6 og 6, vinkel 60° mellom

Sider 10 og 12, vinkel 90° mellom

📝Oppgave 3

En parallellogram har sider 8 cm og 12 cm, og en vinkel på 70°. Finn arealet.

📝Oppgave 4

Et tomt har form som en trekant. To sider er 40 m og 55 m, og vinkelen mellom dem er 65°. Finn arealet i m².

📝Oppgave 5

En trekant har sider 7 m og 11 m. Vinkelen mellom dem gjør at arealet blir maksimalt. Finn dette arealet.

📝Oppgave 6

Studer figuren over som viser hvordan arealet av en trekant beregnes. En trekant har grunnlinje $g = 14$ cm og høyde $h = 9$ cm. Beregn arealet.

📝Oppgave 7

Se på figuren for areal av trekant. Et trekantet skilt har areal 180 cm² og grunnlinje 24 cm. Hvor høyt er skiltet? (Finn høyden $h$ .)

📝Oppgave 8

Studer figuren for formlike trekanter. Den lille trekanten har sider 3, 4 og 5, mens den store har sider 6, 8 og 10 (forholdstallet $k = 2$ ). Hva er forholdet mellom arealene til de to trekantene?

Oppgaver med figurer

I oppgavene nedenfor skal du beregne arealet av trekanter. Studer figuren og velg riktig formel basert på informasjonen som er gitt.

📝Oppgave 9

Bruk figuren til å finne arealet av trekanten. Grunnlinjen er 8 og høyden er 5.

📝Oppgave 10

I figuren nedenfor har trekanten to sider på 6 og 8, og vinkelen mellom dem er 60°. Finn arealet.