5.4 Trigonometri i rettvinklede trekanter | Matematikk 1T

Sinus, cosinus og tangens i rettvinklede trekanter.

30 min

12 oppgaver

sincostanRettvinklede trekanter

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Trigonometri

Trigonometri betyr «trekantmåling» og handler om sammenhengen mellom vinkler og sider i trekanter.

I en rettvinklet trekant definerer vi tre viktige forhold mellom sidene:
- Sinus (sin)
- Cosinus (cos)
- Tangens (tan)

Disse defineres i forhold til en spiss vinkel i trekanten.

Sider i forhold til en vinkel

v

📜Definisjon av sin, cos og tan

For en spiss vinkel

v

i en rettvinklet trekant:

$\sin v = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}}$

$\cos v = \frac{\text{hosliggende katet}}{\text{hypotenus}}$

$\tan v = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hosliggende katet}}$

Huskeregel: SOH-CAH-TOA
- Sin = Opposite / Hypotenuse
- Cos = Adjacent / Hypotenuse
- Tan = Opposite / Adjacent

✏️Eksempel 1

I en rettvinklet trekant er vinkelen $v = 30°$ , og hypotenusen er 10 cm. Finn motstående katet.

Vi bruker sinus fordi vi skal finne motstående katet når vi kjenner hypotenusen:

$\displaystyle \sin 30° = \frac{\text{motstående}}{\text{hypotenus}}$

$\displaystyle \sin 30° = \frac{x}{10}$

$x = 10 \cdot \sin 30° = 10 \cdot 0{,}5 = 5$

Motstående katet er 5 cm.

✏️Eksempel 2

I en rettvinklet trekant er vinkelen $v = 45°$ , og hosliggende katet er 8 cm. Finn hypotenusen.

Vi bruker cosinus:

$\displaystyle \cos 45° = \frac{\text{hosliggende}}{\text{hypotenus}}$

$\displaystyle \cos 45° = \frac{8}{c}$

$\displaystyle c = \frac{8}{\cos 45°} = \frac{8}{0{,}707...} \approx 11{,}3$

Hypotenusen er cirka 11,3 cm.

Finne vinkler

Når vi kjenner sidene og skal finne en vinkel, bruker vi inverse trigonometriske funksjoner:

- $\displaystyle v = \arcsin\left(\frac{\text{motstående}}{\text{hypotenus}}\right)$ eller $v = \sin^{-1}(...)$
- $\displaystyle v = \arccos\left(\frac{\text{hosliggende}}{\text{hypotenus}}\right)$ eller $v = \cos^{-1}(...)$
- $\displaystyle v = \arctan\left(\frac{\text{motstående}}{\text{hosliggende}}\right)$ eller $v = \tan^{-1}(...)$

På kalkulatoren finner du disse som «sin⁻¹», «cos⁻¹» og «tan⁻¹».

✏️Eksempel 3

I en rettvinklet trekant er katetene 3 cm og 4 cm. Finn den minste spisse vinkelen.

Den minste vinkelen ligger overfor den korteste kateten (3 cm).

La $v$ være denne vinkelen. Da er 3 cm motstående og 4 cm hosliggende.

$\displaystyle \tan v = \frac{3}{4} = 0{,}75$

$v = \tan^{-1}(0{,}75) \approx 36{,}9°$

Den minste vinkelen er cirka 36,9°.

✏️Eksempel 4

En rampe skal ha en stigning på 8°. Hvor lang må rampen være for å nå en høyde på 1,2 m?

Høyden (1,2 m) er motstående katet, rampen er hypotenusen.

$\displaystyle \sin 8° = \frac{1{,}2}{L}$

$\displaystyle L = \frac{1{,}2}{\sin 8°} = \frac{1{,}2}{0{,}139...} \approx 8{,}6$

Rampen må være cirka 8,6 m lang.

Spesielle vinkler

Verdiene for 30°, 45° og 60° er nyttige å kjenne:

Vinkel	sin	cos	tan
30°	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$
45°	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$	1
60°	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$

Oppsummering

Velg riktig funksjon:
- Kjent hypotenus + vil finne motstående → sin
- Kjent hypotenus + vil finne hosliggende → cos
- Kjent én katet + vil finne den andre → tan
- Skal finne vinkel → bruk invers (sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹)

📝Oppgave 1

Finn den ukjente siden $x$ :

Vinkel 30°, hypotenus 12, finn motstående

Vinkel 60°, hypotenus 10, finn hosliggende

Vinkel 45°, hosliggende 7, finn motstående

📝Oppgave 2

Finn vinkelen $v$ :

Motstående 5, hypotenus 10

Hosliggende 6, hypotenus 12

Motstående 8, hosliggende 8

📝Oppgave 3

Et tre kaster en skygge på 15 m når solens vinkel over horisonten er 35°. Hvor høyt er treet?

📝Oppgave 4

En helikopterpilot ser ned på et skip med en vinkel på 25° under horisontalt. Helikopteret er 800 m over havet. Hva er den horisontale avstanden til skipet?

📝Oppgave 5

En sti går rett opp en bakke. Etter 200 m har du steget 50 m i høyden. Hva er stigningsvinkelen?

📝Oppgave 6

Et fly tar av med en vinkel på 12° over horisonten. Etter å ha fløyet 3 km (langs flybanen), hvor høyt og langt horisontalt er det fra startpunktet?

Finn høyden

Finn horisontal avstand

📝Oppgave 7

Studer figuren over som viser de trigonometriske forholdene. I en rettvinklet trekant er vinkelen $v = 40°$ og hypotenusen $c = 15$ cm. Bruk definisjonene fra figuren til å finne motstående katet $a$ og hosliggende katet $b$ .

Finn motstående katet $a$

Finn hosliggende katet $b$

📝Oppgave 8

Se på figuren for trigonometri. I trekanten er hosliggende katet $b = 8$ cm og motstående katet $a = 6$ cm. Bruk tangens fra figuren til å finne vinkelen $v$ .

📝Oppgave 9

Bruk huskeregelen SOH-CAH-TOA fra figuren. En fyrlykt er 35 m høy. Fra et punkt på bakken ser man toppen av fyrlykten med en elevasjonsvinkel på 28°. Hvor langt unna fyrlykten står man?

Oppgaver med figurer

I oppgavene nedenfor skal du bruke trigonometri til å finne ukjente sider eller vinkler. Studer figuren nøye og identifiser hvilke sider som er hosliggende, motstående og hypotenus i forhold til den gitte vinkelen.

📝Oppgave 10

Bruk figuren til å finne den ukjente siden. Trekanten har en vinkel på 35° og hypotenus 10.

📝Oppgave 11

I figuren nedenfor er hypotenusen 12 og vinkelen er 40°. Finn den hosliggende kateten.

Vinkel

sin

cos

tan

30°

\displaystyle \frac{1}{2}

\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}

45°

\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}

\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}

60°

\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}

\displaystyle \frac{1}{2}

\sqrt{3}