5.3 Pytagoras' setning | Matematikk 1T

Repetisjon og utvidelse av Pytagoras.

25 min

10 oppgaver

PytagorasHypotenusKateter

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Pytagoras' setning

Pytagoras' setning er en av de mest kjente setningene i matematikken. Den beskriver sammenhengen mellom sidene i en rettvinklet trekant.

I en rettvinklet trekant kaller vi:
- De to sidene som danner den rette vinkelen for kateter (a og b)
- Siden som ligger overfor den rette vinkelen for hypotenus (c)

Hypotenusen er alltid den lengste siden i en rettvinklet trekant.

📜Pytagoras' setning

I en rettvinklet trekant med kateter

a

b

og hypotenus

c

gjelder:

$a^2 + b^2 = c^2$

Setningen kan også skrives som:
- $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ (for å finne hypotenusen)
- $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ (for å finne en katet)

✏️Eksempel 1

En rettvinklet trekant har kateter 3 cm og 4 cm. Finn hypotenusen.

Vi bruker Pytagoras' setning:

$c^2 = a^2 + b^2$
$c^2 = 3^2 + 4^2$
$c^2 = 9 + 16$
$c^2 = 25$
$c = \sqrt{25} = 5$

Hypotenusen er 5 cm.

✏️Eksempel 2

En rettvinklet trekant har hypotenus 13 cm og én katet på 5 cm. Finn den andre kateten.

Vi løser for den ukjente kateten $b$ :

$a^2 + b^2 = c^2$
$5^2 + b^2 = 13^2$
$25 + b^2 = 169$
$b^2 = 169 - 25 = 144$
$b = \sqrt{144} = 12$

Den andre kateten er 12 cm.

Pytagoreiske tripler

(a, b, c)

✏️Eksempel 3

En stige på 5 meter lener mot en vegg. Foten av stigen står 3 meter fra veggen. Hvor høyt opp på veggen når stigen?

La $h$ være høyden på veggen der stigen treffer.

Stigen, veggen og bakken danner en rettvinklet trekant der stigen er hypotenusen.

$h^2 + 3^2 = 5^2$
$h^2 + 9 = 25$
$h^2 = 16$
$h = 4$

Stigen når 4 meter opp på veggen.

✏️Eksempel 4

Finn diagonalen i et rektangel med sider 6 cm og 8 cm.

Diagonalen i et rektangel deler det i to rettvinklede trekanter.

$d^2 = 6^2 + 8^2$
$d^2 = 36 + 64$
$d^2 = 100$
$d = 10$

Diagonalen er 10 cm.

Den omvendte setningen

Pytagoras' setning gjelder også omvendt: Hvis $a^2 + b^2 = c^2$ for sidene i en trekant, da er trekanten rettvinklet med den rette vinkelen ved hypotenusen $c$ .

Dette er nyttig for å sjekke om en trekant er rettvinklet.

✏️Eksempel 5

Sjekk om en trekant med sider 9, 12 og 15 er rettvinklet.

Vi sjekker om $a^2 + b^2 = c^2$ der $c$ er den lengste siden:

$9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$
$15^2 = 225$

Siden $9^2 + 12^2 = 15^2$ , er trekanten rettvinklet.

Oppsummering

Pytagoras' setning: $a^2 + b^2 = c^2$ i rettvinklede trekanter

Bruk:
- Finn hypotenusen: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$
- Finn en katet: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$
- Sjekk om en trekant er rettvinklet

📝Oppgave 1

Finn hypotenusen i rettvinklede trekanter med følgende kateter:

Kateter 6 og 8

Kateter 5 og 12

Kateter 8 og 15

📝Oppgave 2

Finn den ukjente kateten:

Hypotenus 10, katet 6

Hypotenus 17, katet 15

Hypotenus 25, katet 7

📝Oppgave 3

Avgjør om følgende er rettvinklede trekanter:

Sider 5, 12, 13

Sider 4, 5, 6

Sider 9, 40, 41

📝Oppgave 4

En fotballbane er 100 m lang og 70 m bred. Hvor lang er diagonalen?

📝Oppgave 5

Et telt har form som et prisme. Teltduken på kortsiden er en likebent trekant med grunnlinje 4 m og høyde 2 m. Hvor langt er det fra midten av grunnlinjen til toppen langs teltduken?

📝Oppgave 6

En stige er 6 m lang. Hvor langt fra veggen må foten stå for at toppen skal nå 5 m opp?

📝Oppgave 7

Finn høyden i en likesidet trekant med sider 10 cm.

📝Oppgave 8

Bruk figuren over til å løse oppgaven. I en rettvinklet trekant er katet $a = 9$ cm og katet $b = 12$ cm. Bruk Pytagoras' setning til å finne hypotenusen $c$ .

📝Oppgave 9

Studer figuren for Pytagoras' setning. En rettvinklet trekant har hypotenus $c = 20$ cm og én katet $b = 16$ cm. Finn den andre kateten $a$ .

📝Oppgave 10

Se på figuren. En TV-skjerm oppgis i tommer diagonalt. En 55-tommers TV har bredde 48 tommer. Hvor høy er skjermen? (Bruk at diagonalen deler rektangelet i to rettvinklede trekanter der diagonalen er hypotenusen.)

Oppgaver med figurer

I oppgavene nedenfor skal du bruke Pytagoras' setning til å finne ukjente sider. Studer figuren nøye før du løser oppgaven.

📝Oppgave 11

Bruk figuren til å finne den ukjente siden. Trekanten er rettvinklet.

📝Oppgave 12

Studer figuren nedenfor. Finn den ukjente kateten $x$ .