5.2 Kongruens og formlikhet
Kongruente og formlike figurer.
30 min
10 oppgaver
KongruensFormlikhetMålestokk
Din fremgang i kapitlet
0 / 10 oppgaver
Kongruens
To figurer er kongruente når de har nøyaktig samme form og størrelse. De er identiske kopier av hverandre.
Kongruente figurer har:
- Like store sider
- Like store vinkler
- Samme areal
Kongruente trekanter
To trekanter er kongruente hvis de oppfyller ett av følgende kriterier:
SSS (side-side-side): Alle tre sidene er parvis like lange.
SAS (side-vinkel-side): To sider og vinkelen mellom dem er like.
ASA (vinkel-side-vinkel): To vinkler og siden mellom dem er like.
SSA (side-side-vinkel): To sider og én vinkel er like (med visse betingelser).
✏️Eksempel 1
Trekant ABC har sidene AB = 5 cm, BC = 7 cm og AC = 6 cm.
Trekant DEF har sidene DE = 5 cm, EF = 7 cm og DF = 6 cm.
Er trekantene kongruente?
Løsning:
Vi sjekker SSS-kriteriet (side-side-side):
- AB = DE = 5 cm ✓
- BC = EF = 7 cm ✓
- AC = DF = 6 cm ✓
Alle tre sidene er parvis like lange.
Svar: Ja, trekantene er kongruente etter SSS-kriteriet.
📝Oppgave 1
Avgjør om trekantene er kongruente og oppgi hvilket kriterium som brukes
a
Trekant 1: sider 3, 4, 5. Trekant 2: sider 3, 4, 5.
b
Trekant 1: sider 6, 8, 10. Trekant 2: sider 6, 8, 11.
c
Begge har sider 4 og 5, og vinkelen mellom er 60°
d
Begge har vinkler 50° og 70°, og siden mellom er 8 cm
Formlikhet
To figurer er formlike når de har samme form, men ikke nødvendigvis samme størrelse. Den ene figuren er en forstørret eller forminsket versjon av den andre.
Formlike figurer har:
- Like store vinkler
- Samsvarende sider med samme forhold (forholdstall)
Formlike trekanter
To trekanter er formlike hvis de oppfyller ett av følgende kriterier:
AA (vinkel-vinkel): To vinkler er parvis like store.
SSS (forhold): Alle tre sidene har samme forholdstall.
SAS (forhold): To sider har samme forholdstall og vinkelen mellom dem er lik.
Forholdstallet mellom samsvarende sider kalles skaleringsfaktoren eller forstørrelsesfaktoren.
✏️Eksempel 2
Trekant ABC har sidene 3 cm, 4 cm og 5 cm.
Trekant DEF har sidene 6 cm, 8 cm og 10 cm.
Er trekantene formlike? Finn i så fall forstørrelsesfaktoren.
Løsning:
Vi sjekker forholdene mellom samsvarende sider:
-
-
-
Alle forholdene er like, så trekantene er formlike.
Forstørrelsesfaktoren er 2.
Trekant DEF er dobbelt så stor som trekant ABC.
📝Oppgave 2
Avgjør om trekantene er formlike og finn forstørrelsesfaktoren
a
Trekant 1: sider 2, 3, 4. Trekant 2: sider 4, 6, 8.
b
Trekant 1: sider 5, 10, 15. Trekant 2: sider 1, 2, 3.
c
Trekant 1: sider 3, 4, 5. Trekant 2: sider 6, 7, 10.
d
Trekant 1: sider 6, 9, 12. Trekant 2: sider 2, 3, 4.
✏️Eksempel 3
To trekanter er formlike med forstørrelsesfaktor 3.
Den lille trekanten har sider 4 cm, 5 cm og 7 cm.
Finn sidene i den store trekanten.
Løsning:
Vi multipliserer alle sidene med forstørrelsesfaktoren 3:
- cm
- cm
- cm
Svar: Den store trekanten har sider 12 cm, 15 cm og 21 cm.
📝Oppgave 3
Finn de ukjente sidene i den formlike trekanten
a
Liten trekant: 3, 4, 5. Forstørrelsesfaktor: 4
b
Stor trekant: 15, 20, 25. Forminskingsfaktor:
c
Liten trekant: 2, 3, 4. Forstørrelsesfaktor: 2,5
Målestokk
Målestokk er forholdet mellom en avstand på en tegning/kart og den virkelige avstanden.
For eksempel betyr målestokk 1:100 at 1 cm på tegningen tilsvarer 100 cm (1 m) i virkeligheten.
✏️Eksempel 4
Et kart har målestokk 1:50 000.
Avstanden mellom to byer er 8 cm på kartet.
Hvor lang er den virkelige avstanden?
Løsning:
Målestokk 1:50 000 betyr at 1 cm på kartet = 50 000 cm i virkeligheten.
Virkelig avstand = Avstand på kart × 50 000
cm
cm
m
km
Svar: Den virkelige avstanden er 4 km.
📝Oppgave 4
Regn ut med målestokk
a
Målestokk 1:100. 5 cm på tegning. Finn virkelig lengde.
b
Målestokk 1:25 000. 6 cm på kart. Finn virkelig avstand.
c
Målestokk 1:500. Virkelig lengde 30 m. Finn lengde på tegning.
d
Målestokk 1:200. Et rom er 8 cm × 5 cm på tegningen. Finn virkelig størrelse.
✏️Eksempel 5
To formlike trekanter har en ukjent side. Den lille trekanten har sider 3 cm, 4 cm og cm.
Den store trekanten har sider 9 cm, 12 cm og 18 cm. Finn .
Løsning:
Først finner vi forstørrelsesfaktoren ved å sammenligne kjente sider:
og
Faktoren er 3, så:
cm
Svar: cm
📝Oppgave 5
Finn den ukjente siden i de formlike trekantene
a
Trekant 1: 2, 3, x. Trekant 2: 8, 12, 16.
b
Trekant 1: 5, x, 10. Trekant 2: 15, 21, 30.
c
Trekant 1: x, 6, 8. Trekant 2: 12, 18, 24.
📝Oppgave 6
Bestem målestokken
a
En modell av et hus er 20 cm høy. Huset er 10 m høyt.
b
Avstanden mellom to byer er 5 cm på kartet og 25 km i virkeligheten.
c
En plantegning viser et rom som 4 cm × 3 cm. Rommet er 8 m × 6 m.
📝Oppgave 7
Areal ved formlikhet
a
To formlike trekanter har forstørrelsesfaktor 3. Den lille har areal 4 cm². Finn arealet til den store.
b
To formlike rektangler. Det lille er 2 cm × 3 cm. Det store er 6 cm × 9 cm. Sammenlign arealene.
📝Oppgave 8
Praktiske oppgaver med formlikhet
a
Et tre kaster en skygge på 12 m. Samtidig kaster en 2 m høy stolpe en skygge på 3 m. Hvor høyt er treet?
b
Et foto er 10 cm × 15 cm. Det skal forstørres slik at den lange siden blir 45 cm. Hvor lang blir den korte siden?
📝Oppgave 9
Bevis at trekantene er formlike og finn ukjente mål
a
Trekant ABC har vinkler 30°, 60°, 90°. Trekant DEF har vinkler 30°, 60°, 90°. Begrunn at de er formlike.
b
I oppgave a), hvis AB = 4 og DE = 12, hva er forstørrelsesfaktoren?
📝Oppgave 10
Sammensatte oppgaver
a
En arkitekt tegner et hus i målestokk 1:50. Taket på tegningen har sider 6 cm, 6 cm og 8 cm. Hva er de virkelige målene?
b
To formlike trekanter. Den ene har omkrets 24 cm, den andre 36 cm. Hva er forstørrelsesfaktoren?