1.9 Polynomdivisjon med lineær divisor

Del polynomer med uttrykk på formen (x - a).

35 min

10 oppgaver

Lineær divisorFaktorteoremetNullpunkter

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Polynomdivisjon med $(x - a)$

I dette kapitlet ser vi nærmere på divisjon med lineære divisorer på formen $(x - a)$ . Dette er spesielt nyttig for å:
- Faktorisere polynomer
- Finne nullpunkter
- Forenkle uttrykk

📜Faktorteoremet

Hvis $P(a) = 0$ , så er $(x - a)$ en faktor i $P(x)$ .

Med andre ord: Hvis $a$ er et nullpunkt for polynomet $P(x)$ , så går $(x - a)$ opp i $P(x)$ uten rest.

✏️Eksempel 1

Vis at $(x - 2)$ er en faktor i $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$

Løsning:

Vi sjekker om $x = 2$ er et nullpunkt:

$P(2) = 2^3 - 6 \cdot 2^2 + 11 \cdot 2 - 6$
$= 8 - 24 + 22 - 6$
$= 0$

Siden $P(2) = 0$ , er $(x - 2)$ en faktor i $P(x)$ ifølge faktorteoremet.

📝Oppgave 1

Sjekk om den oppgitte faktoren går opp i polynomet ved å sette inn verdien

Er $(x - 1)$ en faktor i $x^2 - 3x + 2$ ?

Er $(x + 2)$ en faktor i $x^2 + 5x + 6$ ?

Er $(x - 3)$ en faktor i $x^2 - 5x + 6$ ?

Er $(x + 1)$ en faktor i $x^2 + 2x + 3$ ?

Finne nullpunkter ved gjetting

For polynomer med heltallskoeffisienter kan vi ofte finne nullpunkter ved å prøve divisorer av konstantleddet.

Strategi: Hvis $P(x) = x^n + ... + c$ har heltallskoeffisienter, prøv $x = \pm 1, \pm 2, \pm 3, ...$ som er divisorer av $c$ .

✏️Eksempel 2

Finn et nullpunkt for $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ og faktoriser.

Løsning:

Konstantleddet er $6$ , så vi prøver divisorer av $6$ : $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

$P(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$ ✓

Siden $P(1) = 0$ , er $(x - 1)$ en faktor.

Vi utfører polynomdivisjon:
$(x^3 - 2x^2 - 5x + 6) : (x - 1) = x^2 - x - 6$

Faktoriserer videre:
$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$

Svar: $P(x) = (x - 1)(x - 3)(x + 2)$

📝Oppgave 2

Finn et nullpunkt og bruk polynomdivisjon til å faktorisere

x^3 - 6x^2 + 11x - 6

x^3 + 6x^2 + 11x + 6

x^3 - 4x^2 + x + 6

📜Restteoremet

Når polynomet

P(x)

deles på

(x - a)

, er resten lik

P(a)

$P(x) = (x - a) \cdot Q(x) + P(a)$

✏️Eksempel 3

Finn resten når $P(x) = x^3 + 2x^2 - x + 3$ deles på $(x - 2)$

Løsning:

Ifølge restteoremet er resten lik $P(2)$ :

$P(2) = 2^3 + 2 \cdot 2^2 - 2 + 3$
$= 8 + 8 - 2 + 3$
$= 17$

Svar: Resten er $17$

📝Oppgave 3

Bruk restteoremet til å finne resten

(x^2 + 3x + 5) : (x - 1)

(x^3 - 2x + 1) : (x + 1)

(x^3 + x^2 - x - 1) : (x - 2)

(2x^3 - 5x + 3) : (x + 2)

Fullstendig faktorisering

For å faktorisere et polynom fullstendig:
1. Finn ett nullpunkt $a$
2. Divider på $(x - a)$
3. Faktoriser kvotienten videre (om mulig)
4. Gjenta til du ikke kan faktorisere mer

✏️Eksempel 4

Faktoriser $P(x) = x^4 - 5x^2 + 4$ fullstendig.

Løsning:

Prøver $x = 1$ :
$P(1) = 1 - 5 + 4 = 0$ ✓

$(x - 1)$ er en faktor. Vi deler:
$(x^4 - 5x^2 + 4) : (x - 1) = x^3 + x^2 - 4x - 4$

Prøver $x = -1$ i $x^3 + x^2 - 4x - 4$ :
$-1 + 1 + 4 - 4 = 0$ ✓

$(x + 1)$ er en faktor. Vi deler:
$(x^3 + x^2 - 4x - 4) : (x + 1) = x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

Svar: $P(x) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)$

📝Oppgave 4

Faktoriser polynomene fullstendig

x^3 - 7x + 6

x^4 - 10x^2 + 9

x^3 + 2x^2 - x - 2

📝Oppgave 5

Utfør polynomdivisjonene

(x^3 - 8) : (x - 2)

(x^3 + 27) : (x + 3)

(x^4 - 16) : (x - 2)

(x^4 - 1) : (x - 1)

Oppsummering

P(a) = 0

Del polynomer med uttrykk på formen (x - a).

35 min

10 oppgaver

Lineær divisorFaktorteoremetNullpunkter

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Polynomdivisjon med $(x - a)$

I dette kapitlet ser vi nærmere på divisjon med lineære divisorer på formen $(x - a)$ . Dette er spesielt nyttig for å:
- Faktorisere polynomer
- Finne nullpunkter
- Forenkle uttrykk

📜Faktorteoremet

Hvis $P(a) = 0$ , så er $(x - a)$ en faktor i $P(x)$ .

Med andre ord: Hvis $a$ er et nullpunkt for polynomet $P(x)$ , så går $(x - a)$ opp i $P(x)$ uten rest.

✏️Eksempel 1

Vis at $(x - 2)$ er en faktor i $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$

Løsning:

Vi sjekker om $x = 2$ er et nullpunkt:

$P(2) = 2^3 - 6 \cdot 2^2 + 11 \cdot 2 - 6$
$= 8 - 24 + 22 - 6$
$= 0$

Siden $P(2) = 0$ , er $(x - 2)$ en faktor i $P(x)$ ifølge faktorteoremet.

📝Oppgave 1

Sjekk om den oppgitte faktoren går opp i polynomet ved å sette inn verdien

Er $(x - 1)$ en faktor i $x^2 - 3x + 2$ ?

Er $(x + 2)$ en faktor i $x^2 + 5x + 6$ ?

Er $(x - 3)$ en faktor i $x^2 - 5x + 6$ ?

Er $(x + 1)$ en faktor i $x^2 + 2x + 3$ ?

Finne nullpunkter ved gjetting

For polynomer med heltallskoeffisienter kan vi ofte finne nullpunkter ved å prøve divisorer av konstantleddet.

Strategi: Hvis $P(x) = x^n + ... + c$ har heltallskoeffisienter, prøv $x = \pm 1, \pm 2, \pm 3, ...$ som er divisorer av $c$ .

✏️Eksempel 2

Finn et nullpunkt for $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ og faktoriser.

Løsning:

Konstantleddet er $6$ , så vi prøver divisorer av $6$ : $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

$P(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$ ✓

Siden $P(1) = 0$ , er $(x - 1)$ en faktor.

Vi utfører polynomdivisjon:
$(x^3 - 2x^2 - 5x + 6) : (x - 1) = x^2 - x - 6$

Faktoriserer videre:
$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$

Svar: $P(x) = (x - 1)(x - 3)(x + 2)$

📝Oppgave 2

Finn et nullpunkt og bruk polynomdivisjon til å faktorisere

x^3 - 6x^2 + 11x - 6

x^3 + 6x^2 + 11x + 6

x^3 - 4x^2 + x + 6

📜Restteoremet

Når polynomet

P(x)

deles på

(x - a)

, er resten lik

P(a)

$P(x) = (x - a) \cdot Q(x) + P(a)$

✏️Eksempel 3

Finn resten når $P(x) = x^3 + 2x^2 - x + 3$ deles på $(x - 2)$

Løsning:

Ifølge restteoremet er resten lik $P(2)$ :

$P(2) = 2^3 + 2 \cdot 2^2 - 2 + 3$
$= 8 + 8 - 2 + 3$
$= 17$

Svar: Resten er $17$

📝Oppgave 3

Bruk restteoremet til å finne resten

(x^2 + 3x + 5) : (x - 1)

(x^3 - 2x + 1) : (x + 1)

(x^3 + x^2 - x - 1) : (x - 2)

(2x^3 - 5x + 3) : (x + 2)

Fullstendig faktorisering

For å faktorisere et polynom fullstendig:
1. Finn ett nullpunkt $a$
2. Divider på $(x - a)$
3. Faktoriser kvotienten videre (om mulig)
4. Gjenta til du ikke kan faktorisere mer

✏️Eksempel 4

Faktoriser $P(x) = x^4 - 5x^2 + 4$ fullstendig.

Løsning:

Prøver $x = 1$ :
$P(1) = 1 - 5 + 4 = 0$ ✓

$(x - 1)$ er en faktor. Vi deler:
$(x^4 - 5x^2 + 4) : (x - 1) = x^3 + x^2 - 4x - 4$

Prøver $x = -1$ i $x^3 + x^2 - 4x - 4$ :
$-1 + 1 + 4 - 4 = 0$ ✓

$(x + 1)$ er en faktor. Vi deler:
$(x^3 + x^2 - 4x - 4) : (x + 1) = x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

Svar: $P(x) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)$

📝Oppgave 4

Faktoriser polynomene fullstendig

x^3 - 7x + 6

x^4 - 10x^2 + 9

x^3 + 2x^2 - x - 2

📝Oppgave 5

Utfør polynomdivisjonene

(x^3 - 8) : (x - 2)

(x^3 + 27) : (x + 3)

(x^4 - 16) : (x - 2)

(x^4 - 1) : (x - 1)

Oppsummering

P(a) = 0

Polynomdivisjon med (x−a)(x - a)(x−a)

Finne nullpunkter ved gjetting

Fullstendig faktorisering

1.9 Polynomdivisjon med lineær divisor

Polynomdivisjon med (x−a)(x - a)(x−a)

Finne nullpunkter ved gjetting

Fullstendig faktorisering

Polynomdivisjon med $(x - a)$

Polynomdivisjon med $(x - a)$