1.8 Polynomdivisjon - introduksjon | Matematikk 1T

Lær hva polynomdivisjon er og hvordan det brukes.

30 min

8 oppgaver

PolynomdivisjonKvotientRest

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Hva er polynomdivisjon?

Polynomdivisjon er en metode for å dele et polynom på et annet polynom. Det fungerer på samme måte som vanlig divisjon med tall, men vi jobber med algebraiske uttrykk i stedet.

Når vi deler et polynom $P(x)$ på et polynom $D(x)$ , får vi:

$P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$

der:
- $P(x)$ er dividenden (det vi deler)
- $D(x)$ er divisoren (det vi deler på)
- $Q(x)$ er kvotienten (svaret)
- $R(x)$ er resten

✏️Eksempel 1

Utfør divisjonen $\displaystyle \frac{6x^3}{2x}$

Løsning:

Vi deler koeffisientene og trekker fra eksponentene:

$\frac{6x^3}{2x} = \frac{6}{2} \cdot x^{3-1} = 3x^2$

Svar: $3x^2$

📝Oppgave 1

Utfør divisjonene

\displaystyle \frac{8x^4}{2x}

\displaystyle \frac{12x^5}{4x^2}

\displaystyle \frac{15x^3}{5x^3}

\displaystyle \frac{-10x^6}{2x^2}

Divisjon av polynom med monom

Når vi deler et polynom med flere ledd på et monom, deler vi hvert ledd for seg:

$\frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$

✏️Eksempel 2

Utfør divisjonen $\displaystyle \frac{6x^3 + 4x^2 - 2x}{2x}$

Løsning:

Vi deler hvert ledd i telleren på nevneren:

$\frac{6x^3 + 4x^2 - 2x}{2x} = \frac{6x^3}{2x} + \frac{4x^2}{2x} - \frac{2x}{2x}$

$= 3x^2 + 2x - 1$

Svar: $3x^2 + 2x - 1$

📝Oppgave 2

Utfør divisjonene

\displaystyle \frac{8x^2 + 4x}{2x}

\displaystyle \frac{9x^3 - 6x^2 + 3x}{3x}

\displaystyle \frac{x^4 + x^3 + x^2}{x^2}

\displaystyle \frac{12x^5 - 8x^3 + 4x}{4x}

Polynomdivisjon - lang divisjon

Når vi skal dele et polynom på et annet polynom med flere ledd, bruker vi lang divisjon. Dette ligner på vanlig divisjon med tall.

Fremgangsmåte:
1. Del det første leddet i dividenden på det første leddet i divisoren
2. Gang svaret med hele divisoren
3. Trekk fra resultatet
4. Gjenta til graden av resten er lavere enn graden av divisoren

✏️Eksempel 3

Utfør divisjonen $(x^2 + 5x + 6) : (x + 2)$

Løsning:

Vi setter opp lang divisjon:

Steg 1: Del $x^2$ på $x$ : $\displaystyle \frac{x^2}{x} = x$

Steg 2: Gang $x$ med $(x + 2)$ : $x \cdot (x + 2) = x^2 + 2x$

Steg 3: Trekk fra: $(x^2 + 5x + 6) - (x^2 + 2x) = 3x + 6$

Steg 4: Del $3x$ på $x$ : $\displaystyle \frac{3x}{x} = 3$

Steg 5: Gang $3$ med $(x + 2)$ : $3 \cdot (x + 2) = 3x + 6$

Steg 6: Trekk fra: $(3x + 6) - (3x + 6) = 0$

Resten er 0, så $(x + 2)$ går opp i $(x^2 + 5x + 6)$ .

Svar: $(x^2 + 5x + 6) : (x + 2) = x + 3$

📝Oppgave 3

Utfør divisjonene

(x^2 + 7x + 12) : (x + 3)

(x^2 + 3x - 10) : (x - 2)

(x^2 - 9) : (x + 3)

(x^2 - 4x - 5) : (x + 1)

Divisjon med rest

Ikke alle polynomdivisjoner går opp. Når resten ikke er null, skriver vi svaret på formen:

$\frac{P(x)}{D(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{D(x)}$

der $R(x)$ er resten.

✏️Eksempel 4

Utfør divisjonen $(x^2 + 5x + 8) : (x + 2)$

Løsning:

Steg 1: Del $x^2$ på $x$ : $\displaystyle \frac{x^2}{x} = x$

Steg 2: Gang $x$ med $(x + 2)$ : $x^2 + 2x$

Steg 3: Trekk fra: $(x^2 + 5x + 8) - (x^2 + 2x) = 3x + 8$

Steg 4: Del $3x$ på $x$ : $\displaystyle \frac{3x}{x} = 3$

Steg 5: Gang $3$ med $(x + 2)$ : $3x + 6$

Steg 6: Trekk fra: $(3x + 8) - (3x + 6) = 2$

Resten er $2$ .

Svar: $\displaystyle (x^2 + 5x + 8) : (x + 2) = x + 3 + \frac{2}{x + 2}$

📝Oppgave 4

Utfør divisjonene og oppgi kvotient og rest

(x^2 + 4x + 5) : (x + 1)

(x^2 + 2x + 7) : (x + 3)

(2x^2 + 5x + 1) : (x + 2)

(x^3 + 2x^2 - x + 3) : (x + 1)

Divisjon med tredjegradspolynom

Samme metode brukes for polynomer av høyere grad. La oss se på et eksempel med et tredjegradspolynom.

✏️Eksempel 5

Utfør divisjonen $(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) : (x - 1)$

Løsning:

Steg 1: $\displaystyle \frac{x^3}{x} = x^2$
$x^2 \cdot (x - 1) = x^3 - x^2$
Rest: $(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) - (x^3 - x^2) = -5x^2 + 11x - 6$

Steg 2: $\displaystyle \frac{-5x^2}{x} = -5x$
$-5x \cdot (x - 1) = -5x^2 + 5x$
Rest: $(-5x^2 + 11x - 6) - (-5x^2 + 5x) = 6x - 6$

Steg 3: $\displaystyle \frac{6x}{x} = 6$
$6 \cdot (x - 1) = 6x - 6$
Rest: $(6x - 6) - (6x - 6) = 0$

Svar: $(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) : (x - 1) = x^2 - 5x + 6$

📝Oppgave 5

Utfør divisjonene

(x^3 + 6x^2 + 11x + 6) : (x + 1)

(x^3 - 2x^2 - 5x + 6) : (x - 1)

(x^3 + 4x^2 + x - 6) : (x + 2)

(2x^3 - 3x^2 - 5x + 6) : (x - 2)

Oppsummering

P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)

Lær hva polynomdivisjon er og hvordan det brukes.

30 min

8 oppgaver

PolynomdivisjonKvotientRest

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Hva er polynomdivisjon?

Polynomdivisjon er en metode for å dele et polynom på et annet polynom. Det fungerer på samme måte som vanlig divisjon med tall, men vi jobber med algebraiske uttrykk i stedet.

Når vi deler et polynom $P(x)$ på et polynom $D(x)$ , får vi:

$P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$

der:
- $P(x)$ er dividenden (det vi deler)
- $D(x)$ er divisoren (det vi deler på)
- $Q(x)$ er kvotienten (svaret)
- $R(x)$ er resten

✏️Eksempel 1

Utfør divisjonen $\displaystyle \frac{6x^3}{2x}$

Løsning:

Vi deler koeffisientene og trekker fra eksponentene:

$\frac{6x^3}{2x} = \frac{6}{2} \cdot x^{3-1} = 3x^2$

Svar: $3x^2$

📝Oppgave 1

Utfør divisjonene

\displaystyle \frac{8x^4}{2x}

\displaystyle \frac{12x^5}{4x^2}

\displaystyle \frac{15x^3}{5x^3}

\displaystyle \frac{-10x^6}{2x^2}

Divisjon av polynom med monom

Når vi deler et polynom med flere ledd på et monom, deler vi hvert ledd for seg:

$\frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$

✏️Eksempel 2

Utfør divisjonen $\displaystyle \frac{6x^3 + 4x^2 - 2x}{2x}$

Løsning:

Vi deler hvert ledd i telleren på nevneren:

$\frac{6x^3 + 4x^2 - 2x}{2x} = \frac{6x^3}{2x} + \frac{4x^2}{2x} - \frac{2x}{2x}$

$= 3x^2 + 2x - 1$

Svar: $3x^2 + 2x - 1$

📝Oppgave 2

Utfør divisjonene

\displaystyle \frac{8x^2 + 4x}{2x}

\displaystyle \frac{9x^3 - 6x^2 + 3x}{3x}

\displaystyle \frac{x^4 + x^3 + x^2}{x^2}

\displaystyle \frac{12x^5 - 8x^3 + 4x}{4x}

Polynomdivisjon - lang divisjon

Når vi skal dele et polynom på et annet polynom med flere ledd, bruker vi lang divisjon. Dette ligner på vanlig divisjon med tall.

✏️Eksempel 3

Utfør divisjonen $(x^2 + 5x + 6) : (x + 2)$

Løsning:

Vi setter opp lang divisjon:

Steg 1: Del $x^2$ på $x$ : $\displaystyle \frac{x^2}{x} = x$

Steg 2: Gang $x$ med $(x + 2)$ : $x \cdot (x + 2) = x^2 + 2x$

Steg 3: Trekk fra: $(x^2 + 5x + 6) - (x^2 + 2x) = 3x + 6$

Steg 4: Del $3x$ på $x$ : $\displaystyle \frac{3x}{x} = 3$

Steg 5: Gang $3$ med $(x + 2)$ : $3 \cdot (x + 2) = 3x + 6$

Steg 6: Trekk fra: $(3x + 6) - (3x + 6) = 0$

Resten er 0, så $(x + 2)$ går opp i $(x^2 + 5x + 6)$ .

Svar: $(x^2 + 5x + 6) : (x + 2) = x + 3$

📝Oppgave 3

Utfør divisjonene

(x^2 + 7x + 12) : (x + 3)

(x^2 + 3x - 10) : (x - 2)

(x^2 - 9) : (x + 3)

(x^2 - 4x - 5) : (x + 1)

Divisjon med rest

Ikke alle polynomdivisjoner går opp. Når resten ikke er null, skriver vi svaret på formen:

$\frac{P(x)}{D(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{D(x)}$

der $R(x)$ er resten.

✏️Eksempel 4

Utfør divisjonen $(x^2 + 5x + 8) : (x + 2)$

Løsning:

Steg 1: Del $x^2$ på $x$ : $\displaystyle \frac{x^2}{x} = x$

Steg 2: Gang $x$ med $(x + 2)$ : $x^2 + 2x$

Steg 3: Trekk fra: $(x^2 + 5x + 8) - (x^2 + 2x) = 3x + 8$

Steg 4: Del $3x$ på $x$ : $\displaystyle \frac{3x}{x} = 3$

Steg 5: Gang $3$ med $(x + 2)$ : $3x + 6$

Steg 6: Trekk fra: $(3x + 8) - (3x + 6) = 2$

Resten er $2$ .

Svar: $\displaystyle (x^2 + 5x + 8) : (x + 2) = x + 3 + \frac{2}{x + 2}$

📝Oppgave 4

Utfør divisjonene og oppgi kvotient og rest

(x^2 + 4x + 5) : (x + 1)

(x^2 + 2x + 7) : (x + 3)

(2x^2 + 5x + 1) : (x + 2)

(x^3 + 2x^2 - x + 3) : (x + 1)

Divisjon med tredjegradspolynom

Samme metode brukes for polynomer av høyere grad. La oss se på et eksempel med et tredjegradspolynom.

✏️Eksempel 5

Utfør divisjonen $(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) : (x - 1)$

Løsning:

Steg 1: $\displaystyle \frac{x^3}{x} = x^2$
$x^2 \cdot (x - 1) = x^3 - x^2$
Rest: $(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) - (x^3 - x^2) = -5x^2 + 11x - 6$

Steg 2: $\displaystyle \frac{-5x^2}{x} = -5x$
$-5x \cdot (x - 1) = -5x^2 + 5x$
Rest: $(-5x^2 + 11x - 6) - (-5x^2 + 5x) = 6x - 6$

Steg 3: $\displaystyle \frac{6x}{x} = 6$
$6 \cdot (x - 1) = 6x - 6$
Rest: $(6x - 6) - (6x - 6) = 0$

Svar: $(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) : (x - 1) = x^2 - 5x + 6$

📝Oppgave 5

Utfør divisjonene

(x^3 + 6x^2 + 11x + 6) : (x + 1)

(x^3 - 2x^2 - 5x + 6) : (x - 1)

(x^3 + 4x^2 + x - 6) : (x + 2)

(2x^3 - 3x^2 - 5x + 6) : (x - 2)

Oppsummering

P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)