1.7 Mengdelære | Matematikk 1T

Lær om mengdenotasjon, tallmengder, intervaller og absoluttverdi.

60 min

13 oppgaver

TallmengderIntervallerUnionSnittDifferanseAbsoluttverdi

Din fremgang i kapitlet

0 / 13 oppgaver

Mengdelære

I matematikk bruker vi mengder til å beskrive samlinger av objekter. En mengde kan inneholde tall, punkter, eller andre matematiske objekter. Vi bruker spesielle symboler for å beskrive mengder og operasjoner på dem.

Video: Mengdelære, tegn og intervaller

En introduksjon til mengdenotasjon og intervaller.

Åpne i YouTube →

Tallmengder

Vi har fire viktige tallmengder som du må kjenne til:

Video: Tallmengder

Om de ulike tallmengdene ℕ, ℤ, ℚ og ℝ.

Åpne i YouTube →

Naturlige tall (ℕ)

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5, ...\}

Heltall (ℤ)

\mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}

Rasjonale tall (ℚ)

\displaystyle \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} \mid a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{N} \right\}

Reelle tall (ℝ)

\mathbb{R}

Sammenheng mellom tallmengdene:

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

Alle naturlige tall er heltall, alle heltall er rasjonale, og alle rasjonale tall er reelle.

Viktige symboler

Her er de viktigste symbolene du må kunne:

Symbol	Betydning
$\in$	er element i / tilhører
$\notin$	er ikke element i
$\subset$	er en delmengde av
$\cup$	union (eller)
$\cap$	snitt (og)
$\setminus$	unntatt / differanse
$\emptyset$	den tomme mengden

✏️Eksempel: Bruk av symboler

Avgjør om følgende utsagn er sanne eller usanne:

a) $5 \in \mathbb{N}$
b) $-3 \in \mathbb{N}$
c) $\displaystyle \frac{1}{2} \in \mathbb{Z}$
d) $\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$
e) $\pi \in \mathbb{R}$

Løsning:

a) $5 \in \mathbb{N}$ er sant — 5 er et naturlig tall.

b) $-3 \in \mathbb{N}$ er usant — negative tall er ikke naturlige tall.

c) $\displaystyle \frac{1}{2} \in \mathbb{Z}$ er usant — heltall kan ikke ha desimaler.

d) $\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$ er usant — $\sqrt{2}$ er irrasjonalt og kan ikke skrives som brøk.

e) $\pi \in \mathbb{R}$ er sant — $\pi$ er et reelt tall (selv om det er irrasjonalt).

Intervaller

Et intervall er en sammenhengende del av tallinja. Vi bruker parenteser og klammer for å angi om endepunktene er med eller ikke:

Notasjon	Betydning	Ulikhet
$\langle a, b \rangle$	fra $a$ til $b$ (begge unntatt)	$a < x < b$
$[a, b]$	fra og med $a$ til og med $b$	$a \leq x \leq b$
$[a, b\rangle$	fra og med $a$ til $b$	$a \leq x < b$
$\langle a, b]$	fra $a$ til og med $b$	$a < x \leq b$
$\langle a, \rightarrow \rangle$	alle tall større enn $a$	$x > a$
$\langle \leftarrow, b]$	alle tall til og med $b$	$x \leq b$

Merk:

\langle

\rangle

kan også skrives som

(

)

Huskeregel for parenteser:
- Klammer

[

eller

]

betyr med (inkluderer endepunktet)
- Parenteser

\langle

eller

\rangle

betyr uten (ekskluderer endepunktet)

Ved uendelig ( $\infty$ eller $-\infty$ ) bruker vi alltid parenteser, fordi uendelig ikke er et tall vi kan inkludere.

✏️Eksempel: Intervaller

Skriv følgende mengder med intervallnotasjon:

a) Alle tall fra 2 til 7 (begge inkludert)
b) Alle tall større enn 5
c) Alle tall fra og med $-3$ til $4$ (uten 4)
d) Alle tall mindre enn eller lik 10

Løsning:

a) $[2, 7]$ — klammer på begge sider fordi begge er inkludert.

b) $\langle 5, \rightarrow \rangle$ eller $\langle 5, \infty \rangle$ — parenteser fordi 5 ikke er med.

c) $[-3, 4\rangle$ — klammer til venstre (med $-3$ ), parenteser til høyre (uten 4).

d) $\langle \leftarrow, 10]$ eller $\langle -\infty, 10]$ — klammer til høyre fordi 10 er med.

📝Oppgave 1

Avgjør hvilken tallmengde hvert tall hører til. Bruk den minste mengden som passer.

7

-4

\displaystyle \frac{2}{3}

\sqrt{9}

\sqrt{5}

0

📝Oppgave 2

Skriv følgende intervaller med intervallnotasjon:

Alle tall fra 1 til 5 (begge inkludert)

Alle tall større enn 3

Alle tall fra $-2$ til $4$ (uten endepunktene)

Alle tall mindre enn eller lik $-1$

Union og snitt

Når vi kombinerer mengder, bruker vi union og snitt:

Union (∪)

A \cup B

Snitt (∩)

A \cap B

✏️Eksempel: Union og snitt

La $A = [2, 6]$ og $B = [4, 9]$ .

Finn:
a) $A \cup B$
b) $A \cap B$

Løsning:

a) $A \cup B = [2, 9]$

Unionen er alle tall som er i minst én av mengdene. Siden $A$ dekker fra 2 til 6 og $B$ dekker fra 4 til 9, blir unionen fra 2 til 9.

b) $A \cap B = [4, 6]$

Snittet er alle tall som er i begge mengder. Begge mengder inneholder tallene fra 4 til 6.

📝Oppgave 3

La $A = [1, 5]$ og $B = [3, 8]$ . Finn:

A \cup B

A \cap B

📝Oppgave 4

La $A = \langle -\infty, 3]$ og $B = \langle 1, \infty \rangle$ . Finn:

A \cup B

A \cap B

Absoluttverdi

Absoluttverdien til et tall er avstanden fra tallet til 0 på tallinja. Absoluttverdien er alltid positiv (eller null).

Video: Absoluttverdi

Om absoluttverdi og hvordan vi regner med det.

Åpne i YouTube →

Absoluttverdi

a > 0

✏️Eksempel: Absoluttverdi

Regn ut:

a) $|5|$
b) $|-7|$
c) $|3 - 8|$
d) $|-2| + |4|$

Løsning:

a) $|5| = 5$

b) $|-7| = 7$

c) $|3 - 8| = |-5| = 5$

d) $|-2| + |4| = 2 + 4 = 6$

📝Oppgave 5

Regn ut:

|9|

|-12|

|4 - 10|

|-3| \cdot |2|

|5 - 8| + |-2|

Skrive mengder med klammer

Vi kan skrive mengder på to måter:

1. Liste opp elementene:
$\{1, 2, 3, 4, 5\}$

2. Beskriv egenskapene (mengdebyggernotasjon):
$\{x \in \mathbb{Z} \mid x > 0 \text{ og } x \leq 5\}$

Her betyr $\mid$ «slik at».

📝Oppgave 6

Skriv mengdene med mengdebyggernotasjon:

\{2, 4, 6, 8, 10\}

\{1, 4, 9, 16, 25\}

📝Oppgave 7

Regn ut:

|7 - 15|

|{-4}| - |{-6}|

|3 - 9| + |9 - 3|

\displaystyle \frac{|{-12}|}{|4|}

|2 - 5| \cdot |{-3}|

||{-7}| - |3||

Differanse av mengder

Differansen $A \setminus B$ («A minus B») er alle elementer som er i $A$ men ikke i $B$ .

Eksempel: Hvis $A = [1, 7]$ og $B = [4, 10]$ , så er $A \setminus B = [1, 4\rangle$

📝Oppgave 8

La $A = [2, 8]$ og $B = [5, 12]$ . Finn:

A \cup B

A \cap B

A \setminus B

B \setminus A

📝Oppgave 9

La $A = \langle -3, 2]$ og $B = [0, 5\rangle$ . Finn:

A \cup B

A \cap B

A \setminus B

📝Oppgave 10

Avgjør om utsagnene er sanne eller usanne:

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}

\mathbb{Q} \subset \mathbb{N}

\sqrt{4} \in \mathbb{N}

\sqrt{3} \in \mathbb{Q}

\displaystyle -\frac{5}{2} \in \mathbb{Z}

0 \in \mathbb{N}

📝Oppgave 11

Forenkle uttrykkene når du vet at $a > 0$ :

|a|

|{-a}|

|a| + |{-a}|

|a - 2a|

📝Oppgave 12

La $A = \{x \in \mathbb{R} \mid |x| < 3\}$ og $B = \{x \in \mathbb{R} \mid |x - 2| < 2\}$ .

Skriv $A$ som et intervall.

Skriv $B$ som et intervall.

Finn $A \cap B$ .

📝Oppgave 13

Avgjør om mengdene er disjunkte (har ingen felles elementer):

A = [1, 3]

B = [5, 7]

A = \langle -\infty, 2 \rangle

B = [2, \infty \rangle

A = [0, 4]

B = [3, 6]

\mathbb{N}

\{x \in \mathbb{Z} \mid x < 0\}

Symbol

Betydning

\in

er element i / tilhører

\notin

er ikke element i

\subset

er en delmengde av

\cup

union (eller)

\cap

snitt (og)

\setminus

unntatt / differanse

\emptyset

den tomme mengden

Notasjon

Betydning

Ulikhet

\langle a, b \rangle

fra

a

til

b

(begge unntatt)

a < x < b

[a, b]

fra og med

a

til og med

b

a \leq x \leq b

[a, b\rangle

fra og med

a

til

b

a \leq x < b

\langle a, b]

fra

a

til og med

b

a < x \leq b

\langle a, \rightarrow \rangle

alle tall større enn

a

x > a

\langle \leftarrow, b]

alle tall til og med

b

x \leq b