Matematikk 10. klasseTilbake

6.2 Vekstfaktor

Vekstfaktor

6.2 Vekstfaktor

Bruke vekstfaktor til å beregne gjentatt prosentvis endring.

50 min

14 oppgaver

VekstfaktorGjentatt prosentvis endringEksponentiell vekst

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Innledning

Når noe endres med en fast prosent flere ganger, er det tungvint å beregne hver endring for seg. Vekstfaktor gjør dette mye enklere! Vekstfaktor brukes til å beskrive eksponentiell vekst og nedgang, som vi finner overalt: befolkningsvekst, inflasjon, renter og verdifall på biler.

Vekstfaktor

\text{vekstfaktor} = 1 + \frac{p}{100}

✏️Eksempel 1: Finne vekstfaktor

Finn vekstfaktoren for:
a) 12% økning
b) 7% reduksjon
c) Verdi som tredobles
d) Verdi som reduseres til en fjerdedel

Løsning:

a) Vekstfaktor $= 1 + 0{,}12 = 1{,}12$

b) Vekstfaktor $= 1 - 0{,}07 = 0{,}93$

c) Vekstfaktor $= 3$ (tredobling)

d) Vekstfaktor $= 0{,}25$ (en fjerdedel)

📝Oppgave 1

Finn vekstfaktoren

a

5% økning

b

20% reduksjon

c

3,5% økning

d

0,5% reduksjon

e

Verdien dobles

f

Verdien reduseres til 60% av opprinnelig

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Finn prosentendringen ut fra vekstfaktoren

a

Vekstfaktor 1,15

b

Vekstfaktor 0,72

c

Vekstfaktor 1,025

d

Vekstfaktor 0,95

Løs oppgaven Tren

Gjentatt prosentvis endring

\text{ny verdi} = \text{gammel verdi} \cdot v^n

✏️Eksempel 2: Gjentatt prosentvis endring

a) En investering på 50 000 kr vokser med 6% per år. Hva er verdien etter 8 år?

b) En bil til 400 000 kr mister 18% av verdien hvert år. Hva er bilen verdt etter 5 år?

Løsning:

a) Vekstfaktor $= 1{,}06$

Verdi etter 8 år $= 50\,000 \cdot 1{,}06^8 = 50\,000 \cdot 1{,}594 \approx 79\,692$ kr

b) Vekstfaktor $= 0{,}82$

Verdi etter 5 år $= 400\,000 \cdot 0{,}82^5 = 400\,000 \cdot 0{,}371 \approx 148\,481$ kr

📝Oppgave 3

Beregn verdi etter gjentatt endring

a

En sparekonto med 20 000 kr får 4% rente per år. Hva er verdien etter 5 år?

b

En befolkning på 8 000 vokser 2% per år. Hvor mange er det etter 10 år?

c

En maskin til 150 000 kr mister 25% av verdien årlig. Hva er den verdt etter 3 år?

d

Prisene stiger 3% per år. Hvor mye koster en vare til 500 kr om 15 år?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Løs oppgavene om eksponentiell vekst

a

En bakteriekoloni dobles hver time. Hvor mange bakterier er det etter 6 timer hvis det startet med 100?

b

Et radioaktivt stoff halveres hvert 5. år. Hvor mye gjenstår av 200 g etter 20 år?

c

En PC mister 30% av verdien årlig. Etter hvor mange år er den verdt mindre enn halvparten av kjøpsprisen?

Løs oppgaven Tren

Finne antall perioder og doblingtid

\text{Doblingtid} \approx \frac{70}{\text{vekstprosent}}

✏️Eksempel 3: Doblingtid og halveringstid

a) Omtrent hvor lang tid tar det å doble en investering med 5% årlig rente?

b) Et medikament i blodet halveres hver 4. time. Hvor mye gjenstår av 100 mg etter 12 timer?

Løsning:

a) Tommelfingerregelen: Doblingtid $\displaystyle \approx \frac{70}{5} = 14$ år

La oss sjekke: $1{,}05^{14} \approx 1{,}98$ (nesten dobling). Stemmer!

b) Antall halveringsperioder: $\displaystyle \frac{12}{4} = 3$

Mengde etter 12 timer $= 100 \cdot 0{,}5^3 = 100 \cdot 0{,}125 = 12{,}5$ mg

📝Oppgave 5

Bruk tommelfingerregelen

a

Hvor lang tid tar det omtrent å doble en investering med 10% årlig rente?

b

Med 2% årlig befolkningsvekst, hvor lang tid tar det før befolkningen dobles?

c

Prisene stiger 3,5% per år. Omtrent hvor lang tid tar det før prisene dobles?

d

En investering ble doblet på 5 år. Omtrent hvilken årlig rente ga den?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Finn antall perioder med prøving og feiling

a

Hvor mange år tar det før 10 000 kr blir til mer enn 15 000 kr med 8% årlig rente?

b

En bil mister 20% av verdien årlig. Etter hvor mange år er den verdt under 40% av kjøpsprisen?

c

Med 15% årlig vekst, hvor mange år tar det å tredoble en verdi?

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 4: Finne årlig vekstrate

En aksje steg fra 150 kr til 240 kr på 4 år. Hva var den gjennomsnittlige årlige vekstraten?

Løsning:

Vi vet at: $150 \cdot v^4 = 240$

Løser for $v$ :
$v^4 = \frac{240}{150} = 1{,}6$

$v = \sqrt[4]{1{,}6} = 1{,}6^{0{,}25} \approx 1{,}125$

Årlig vekstrate: $1{,}125 - 1 = 0{,}125 = 12{,}5\%$

📝Oppgave 7

Finn den årlige vekstraten

a

En investering vokste fra 25 000 kr til 40 000 kr på 10 år. Finn årlig vekstrate.

b

En befolkning økte fra 50 000 til 80 000 på 20 år. Finn årlig vekstrate.

c

En bil sank i verdi fra 350 000 kr til 140 000 kr på 5 år. Finn årlig verdifall.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Sammenlign ulike vekstscenarier

a

Hva er best over 15 år: 80 000 kr med 6% rente, eller 100 000 kr med 4% rente?

b

Sammenlign: 5% vekst per år i 20 år vs. 10% vekst per år i 10 år.

Løs oppgaven Tren

Praktiske anvendelser av vekstfaktor

Inflasjon: Når prisene stiger 3% per år, kan vi beregne hva ting vil koste i fremtiden.

Befolkningsvekst: Demografer bruker vekstfaktorer for å forutsi fremtidig befolkning.

Investeringer: Renter og avkastning beregnes med vekstfaktorer.

Verdifall: Biler, elektronikk og maskiner mister verdi over tid.

📝Oppgave 9

Praktiske anvendelser

a

Inflasjonen er 4% per år. Hva vil en lunsj til 120 kr koste om 10 år?

b

Norges befolkning er 5,5 millioner og vokser 0,8% per år. Hva blir den om 25 år?

c

En elbil til 450 000 kr mister 15% av verdien årlig. Hva er den verdt etter 4 år?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

Avanserte praktiske oppgaver

a

Du setter inn 1000 kr hver måned på en konto med 0,4% månedlig rente. Omtrent hvor mye har du etter 12 måneder? (Hint: Det første innskuddet får renter i 12 måneder, det siste i 1 måned.)

b

Lønnen din øker 3% hvert år. Du tjener 35 000 kr/mnd nå. Hva er månedslønnen om 20 år, og hva er den totale lønnen du mottar over disse 20 årene? (Forenklet: bruk årslønn)

📝Oppgave 11

Utfordringsoppgaver

a

En vekstfaktor på 1,05 tilsvarer 5% vekst per år. Hva blir den tilsvarende månedlige vekstfaktoren?

b

To byer har befolkning på 100 000 hver. By A vokser 3% per år, by B vokser 1% per år. Etter hvor mange år har A dobbelt så mange innbyggere som B?

c

Et aksjefond hadde følgende årlig avkastning: År 1: +20%, År 2: -10%, År 3: +15%, År 4: -5%. Hva var gjennomsnittlig årlig avkastning?

📝Oppgave 12

Modellering med vekstfaktor

a

En kaffemaskin til 8000 kr mister 25% av verdien første år og 15% hvert år etterpå. Hva er den verdt etter 4 år?

b

Antall elever på en skole synker 2% per år. Nå er det 450 elever. Hvor mange år til det er under 400 elever?

c

En startup vokser 50% per år. Den har nå 10 ansatte. Hvor mange ansatte har den om 5 år?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 13

Sammensatte problemer

a

En investering gir 8% årlig avkastning. Du tar ut 5% av verdien hvert år. Vokser eller synker investeringen over tid?

b

Prisen på en vare stiger 4% per år, men produksjonskostnadene synker 2% per år. Fortjenesten er nå 20% av prisen. Hva blir fortjenesten (i prosent av prisen) om 10 år?

📝Oppgave 14

Kritisk tenkning om vekst

a

Kan eksponentiell vekst fortsette i det uendelige? Diskuter med eksempelet bakterier som dobler seg hver time, startende med 1 bakterie.

b

Hvorfor bruker vi "gjennomsnittlig årlig vekst" når faktisk vekst varierer fra år til år?

6.2 Vekstfaktor | Matematikk 10. klasse | Eksamenssett