6.3 Rente og lån | Matematikk 10. klasse

Beregne renter, lån og nedbetaling.

55 min

14 oppgaver

RenteRentesrenteLånNedbetalingAnnuitet

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Innledning

De fleste av oss vil i løpet av livet ta opp lån - til bolig, bil eller utdanning. Å forstå hvordan renter og lån fungerer er derfor viktig for din privatøkonomi. I dette kapittelet lærer du om rentesrente, ulike lånetyper og hvordan du beregner hva et lån faktisk koster.

Rente og rentesrente

K_n = K_0 \cdot (1 + r \cdot n)

✏️Eksempel 1: Enkel rente vs. rentesrente

Du setter inn 10 000 kr på en sparekonto med 5% årlig rente. Sammenlign beløpet etter 10 år med:
a) Enkel rente (renten utbetales, ikke reinvestert)
b) Rentesrente (renten legges til kontoen)

Løsning:

a) Enkel rente:
$K_{10} = 10\,000 \cdot (1 + 0{,}05 \cdot 10) = 10\,000 \cdot 1{,}5 = 15\,000 \text{ kr}$

b) Rentesrente:
$K_{10} = 10\,000 \cdot 1{,}05^{10} = 10\,000 \cdot 1{,}629 \approx 16\,289 \text{ kr}$

Forskjell: Med rentesrente får du 1 289 kr mer!

📝Oppgave 1

Beregn med rentesrente

Du setter inn 5000 kr med 4% årlig rente. Hva har du etter 3 år?

Du låner 8000 kr til 6% rente i 2 år. Hvor mye skylder du?

En investering på 20 000 kr vokser 7% årlig. Hva er den verdt etter 5 år?

Du arver 50 000 kr og sparer dem i 8 år til 3,5% rente. Hva har du da?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Sammenlign enkel rente og rentesrente

Beregn 15 000 kr med 6% enkel rente i 5 år.

Beregn 15 000 kr med 6% rentesrente i 5 år.

Hvor mye mer får du med rentesrente?

Løs oppgaven Tren

Nominell og effektiv rente

r_{\text{nom}}

✏️Eksempel 2: Nominell og effektiv rente

En bank tilbyr sparekonto med 6% nominell rente. Renten tilskrives kvartalsvis (4 ganger per år). Hva er den effektive årlige renten?

Løsning:

Kvartalsrente $\displaystyle = \frac{6\%}{4} = 1{,}5\%$ per kvartal

Effektiv rente:
$r_{\text{eff}} = \left(1 + \frac{0{,}06}{4}\right)^4 - 1 = 1{,}015^4 - 1$
$= 1{,}0614 - 1 = 0{,}0614 = 6{,}14\%$

Den effektive renten er høyere enn nominell rente fordi du får rente på renten gjennom året.

📝Oppgave 3

Finn effektiv rente

8% nominell rente, månedlig renteberegning. Finn effektiv rente.

5% nominell rente, halvårlig renteberegning. Finn effektiv rente.

Hvilken gir høyest effektiv rente: 10% med årlig renteberegning eller 9,8% med månedlig?

Løs oppgaven Tren

Lånetyper: Serielån og annuitetslån

\displaystyle \text{Avdrag} = \frac{\text{Lånebeløp}}{\text{Antall terminer}}

✏️Eksempel 3: Serielån

Du tar opp et serielån på 100 000 kr med 6% årlig rente. Lånet skal nedbetales over 4 år med årlige terminer. Lag en nedbetalingsplan.

Løsning:

Årlig avdrag $\displaystyle = \frac{100\,000}{4} = 25\,000$ kr

År	Restgjeld start	Renter (6%)	Avdrag	Terminbeløp	Restgjeld slutt
1	100 000	6 000	25 000	31 000	75 000
2	75 000	4 500	25 000	29 500	50 000
3	50 000	3 000	25 000	28 000	25 000
4	25 000	1 500	25 000	26 500	0

Totale renter:

6000 + 4500 + 3000 + 1500 = 15\,000

📝Oppgave 4

Beregn serielån

Serielån: 80 000 kr, 5% rente, 4 år. Finn årlig avdrag.

Samme lån: Finn terminbeløpet første år.

Samme lån: Finn terminbeløpet tredje år.

Samme lån: Finn totale rentekostnader.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Lag nedbetalingsplan for serielån

Et serielån på 60 000 kr med 8% rente over 3 år. Lag nedbetalingsplan med årlige terminer.

Hva er totale rentekostnader?

Løs oppgaven Tren

Annuitetsformelen

T = L \cdot \frac{r(1+r)^n}{(1+r)^n - 1}

✏️Eksempel 4: Annuitetslån

Du tar opp et annuitetslån på 100 000 kr med 6% årlig rente over 4 år med årlige terminer. Finn terminbeløpet.

Løsning:

$L = 100\,000$ , $r = 0{,}06$ , $n = 4$

$T = 100\,000 \cdot \frac{0{,}06 \cdot (1{,}06)^4}{(1{,}06)^4 - 1}$

$= 100\,000 \cdot \frac{0{,}06 \cdot 1{,}2625}{1{,}2625 - 1}$

$= 100\,000 \cdot \frac{0{,}0757}{0{,}2625} \approx 28\,859 \text{ kr}$

Hvert år betaler du ca. 28 859 kr.

Totalt betalt: $4 \cdot 28\,859 = 115\,436$ kr

Totale renter: $115\,436 - 100\,000 = 15\,436$ kr

📝Oppgave 6

Bruk annuitetsformelen

Annuitetslån: 200 000 kr, 5% rente, 5 år med årlige terminer. Finn terminbeløpet.

Samme lån: Finn totalt beløp betalt.

Samme lån: Finn totale rentekostnader.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Sammenlign serielån og annuitetslån

Et lån på 120 000 kr med 6% rente over 4 år. For serielån: Finn første og siste terminbeløp.

Samme lån som annuitet. Terminbeløpet er ca. 34 646 kr. Bekreft at totale renter er høyere enn serielån.

Hvorfor betaler man mer i renter med annuitetslån?

✏️Eksempel 5: Månedlige terminer

Du tar opp et boliglån på 2 000 000 kr med 4% nominell rente og månedlige terminer over 25 år. Finn det månedlige terminbeløpet (annuitet).

Løsning:

$L = 2\,000\,000$
Månedlig rente: $\displaystyle r = \frac{0{,}04}{12} = 0{,}00333$
Antall terminer: $n = 25 \cdot 12 = 300$

$T = 2\,000\,000 \cdot \frac{0{,}00333 \cdot (1{,}00333)^{300}}{(1{,}00333)^{300} - 1}$

$(1{,}00333)^{300} \approx 2{,}714$

$T = 2\,000\,000 \cdot \frac{0{,}00333 \cdot 2{,}714}{2{,}714 - 1} \approx 10\,559 \text{ kr/mnd}$

Totalt betalt: $300 \cdot 10\,559 = 3\,167\,700$ kr

Totale renter: $3\,167\,700 - 2\,000\,000 = 1\,167\,700$ kr

📝Oppgave 8

Beregn boliglån

Boliglån: 3 000 000 kr, 5% nominell rente, månedlige terminer i 30 år. Månedlig terminbeløp er ca. 16 104 kr. Finn totale rentekostnader.

Samme lån, men over 20 år. Terminbeløpet er ca. 19 799 kr. Finn besparelsen i renter.

Praktiske tips om lån

Ekstra innbetaling: Å betale ekstra på lånet reduserer restgjelden og dermed fremtidige rentekostnader.

Refinansiering: Å flytte lånet til en bank med lavere rente kan spare mye penger.

Avdragsfrihet: Noen lån tilbyr perioder uten avdrag, men renten løper fortsatt - dette øker totalkostnaden.

Forbrukslån vs. boliglån: Forbrukslån har mye høyere rente (10-20%) enn boliglån (3-6%).

📝Oppgave 9

Ekstra innbetaling på lån

Du har et lån på 500 000 kr med 5% rente. Du betaler ekstra 50 000 kr. Hvor mye sparer du i renter per år?

Over 15 år, omtrent hvor mye sparer du totalt? (Forenklet beregning)

Du har et billån på 200 000 kr til 8% rente over 5 år (serielån). Du får 30 000 kr i bonus og bruker det på ekstra avdrag etter år 1. Omtrent hvor mye sparer du i renter?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

Sammenligne lånetilbud

Bank A tilbyr 4,5% rente og 500 kr i etableringsgebyr. Bank B tilbyr 4,2% rente og 3000 kr i etableringsgebyr. For et lån på 100 000 kr over 3 år, hvilken bank er billigst totalt?

For hvilket lånebeløp blir bank B billigere enn bank A?

📝Oppgave 11

Praktiske låneoppgaver

Sara låner 150 000 kr til bil med 7% rente som serielån over 5 år. Finn totale rentekostnader.

Erik vurderer to alternativer for boliglån på 2 mill: A) 25 år med 4% rente B) 15 år med 4,5% rente. Hvilken gir lavest totale rentekostnader?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

Forbrukslån vs. sparing

Du vil kjøpe en TV til 15 000 kr. Alternativ 1: Forbrukslån med 18% rente i 2 år. Alternativ 2: Spare i 8 måneder med 3% rente. Hva blir prisforskjellen?

Du har kredittkortgjeld på 20 000 kr til 20% rente. Hvor mye "tjener" du på å betale den ned i stedet for å investere til 7% avkastning?

📝Oppgave 13

Utfordringsoppgaver

Du setter inn 500 kr hver måned på en sparekonto med 0,4% månedlig rente. Omtrent hvor mye har du etter 2 år?

Et boliglån har flytende rente. Renten øker fra 3% til 5%. Hvor mye øker det månedlige terminbeløpet på et lån på 2 mill over 25 år?

Du arver 200 000 kr. Bør du bruke dem til ekstra avdrag på boliglån (4% rente) eller investere i fond (forventet 8% avkastning)?

📝Oppgave 14

Kritisk tenkning om lån

En bank reklamerer med "Lån 100 000 kr for bare 2000 kr i måneden!" (5 års nedbetalingstid). Hva er den effektive renten?

Hvorfor tilbyr bilforhandlere ofte "0% rente" på billån?

År

Restgjeld start

Renter (6%)

Avdrag

Terminbeløp

Restgjeld slutt

100 000

6 000

25 000

31 000

75 000

4 500

25 000

29 500

50 000

3 000

25 000

28 000

25 000

1 500

25 000

26 500