Matematikk 10. klasseTilbake

5.1 Kombinatorikk

Kombinatorikk

5.1 Kombinatorikk

Telle gunstige utfall systematisk med kombinatorikk.

50 min

14 oppgaver

KombinatorikkMultiplikasjonsprinsippetPermutasjonerKombinasjoner

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Innledning

Kombinatorikk handler om å telle antall muligheter på en systematisk måte. Dette er nyttig i mange sammenhenger - fra å beregne antall mulige passord til å finne sannsynligheter i spill og lotteri.

I dette kapittelet skal vi lære tre viktige verktøy:
- Multiplikasjonsprinsippet - for trinnvise valg
- Permutasjoner - når rekkefølge betyr noe
- Kombinasjoner - når rekkefølge ikke betyr noe

Multiplikasjonsprinsippet

m

✏️Eksempel 1: Antrekk

Marie har 4 bukser og 5 t-skjorter. Hvor mange ulike antrekk kan hun lage?

Løsning:

Vi bruker multiplikasjonsprinsippet:

- Valg av bukse: 4 muligheter
- Valg av t-skjorte: 5 muligheter

Totalt antall antrekk = $4 \cdot 5 = 20$

Marie kan lage 20 ulike antrekk.

✏️Eksempel 2: PIN-kode

En PIN-kode består av 4 siffer (0-9). Hvor mange ulike PIN-koder finnes?

Løsning:

Hvert siffer kan være 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eller 9. Det gir 10 valg per posisjon.

Antall PIN-koder = $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^4 = 10\,000$

Det finnes 10 000 ulike PIN-koder.

📝Oppgave 1

Bruk multiplikasjonsprinsippet til å finne antall muligheter.

a

En restaurant tilbyr 3 forretter, 5 hovedretter og 4 desserter. Hvor mange ulike 3-retters menyer kan settes sammen?

b

Et bilskilt har 2 bokstaver (A-Z) etterfulgt av 5 siffer (0-9). Hvor mange ulike skilt kan lages?

c

Du skal velge brød (3 typer), pålegg (6 typer) og drikke (4 typer) til lunsj. Hvor mange kombinasjoner?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Løs oppgavene med multiplikasjonsprinsippet.

a

Et passord skal ha 3 bokstaver (a-z, 26 valg) etterfulgt av 2 siffer (0-9). Hvor mange passord er mulige?

b

En kafé tilbyr 5 kaffetyper og 8 kakestykker. Hvor mange ulike kaffe-og-kake-valg finnes?

c

Et flervalgstest har 10 spørsmål med 4 svaralternativer hver. Hvor mange ulike besvarelser er mulige?

Løs oppgaven Tren

Fakultet

n!

Permutasjoner

n

✏️Eksempel 3: Rekkefølge i kø

På hvor mange måter kan 6 personer stille seg på rekke?

Løsning:

Første plass: 6 valg
Andre plass: 5 valg (én er allerede plassert)
Tredje plass: 4 valg
... og så videre

Antall måter = $6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$

Det er 720 måter å stille seg på rekke.

✏️Eksempel 4: Pallplasser

I et løp med 10 deltakere skal det deles ut gull, sølv og bronse. På hvor mange måter kan de tre første plassene fordeles?

Løsning:

Vi skal velge 3 fra 10, og rekkefølgen betyr noe (gull ≠ sølv ≠ bronse).

$P(10,3) = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$

Alternativt: Gull kan gå til 10 stk, sølv til 9 stk, bronse til 8 stk: $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$

Det er 720 måter å fordele pallplassene.

📝Oppgave 3

Beregn fakultet.

a

Beregn $5!$

b

Beregn $7!$

c

Forenkle $\displaystyle \frac{8!}{6!}$

d

Forenkle $\displaystyle \frac{10!}{8!}$

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Løs oppgaver med permutasjoner.

a

På hvor mange måter kan 5 bøker ordnes på en hylle?

b

I en klasse på 25 elever skal det velges president, visepresident og sekretær. Hvor mange måter?

c

Hvor mange 4-sifrede tall kan lages av sifrene 1, 2, 3, 4, 5, 6 uten gjentagelse?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Finn antall permutasjoner.

a

Et ord har 7 ulike bokstaver. På hvor mange måter kan bokstavene ordnes?

b

Fra et fotballag på 11 spillere skal det velges kaptein og visekaptein. Antall måter?

c

8 løpere skal ha plass 1 til 4. Antall muligheter?

Løs oppgaven Tren

Kombinasjoner

r

Permutasjon vs. kombinasjon:

- Permutasjon: Rekkefølge betyr noe. Eksempel: Hvem blir 1., 2. og 3.?
- Kombinasjon: Rekkefølge betyr ikke noe. Eksempel: Hvilke 3 personer blir valgt?

Tips: Spør deg selv "Betyr rekkefølgen noe?" for å velge riktig metode.

✏️Eksempel 5: Velge utvalg

En komité på 4 personer skal velges fra en gruppe på 10. På hvor mange måter kan dette gjøres?

Løsning:

Rekkefølgen betyr ikke noe (alle i komiteen er likestilte), så vi bruker kombinasjoner.

$\binom{10}{4} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{5040}{24} = 210$

Det er 210 måter å velge komiteen.

✏️Eksempel 6: Lotteri

I et lotteri trekkes 6 tall fra tallene 1-34. Hvor mange ulike kombinasjoner finnes?

Løsning:

Rekkefølgen tallene trekkes i spiller ingen rolle (1, 5, 12, 20, 25, 34 er samme som 34, 25, 20, 12, 5, 1).

$\binom{34}{6} = \frac{34!}{6! \cdot 28!} = \frac{34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29}{6!}$

$= \frac{968\,330\,880}{720} = 1\,344\,904$

Det finnes 1 344 904 kombinasjoner.

📝Oppgave 6

Beregn kombinasjoner.

a

Beregn $\binom{6}{2}$

b

Beregn $\binom{8}{3}$

c

Beregn $\binom{10}{4}$

d

Beregn $\binom{7}{7}$

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Løs kombinasjonsproblemer.

a

På hvor mange måter kan 3 elever velges fra en klasse på 15 til å representere klassen?

b

Et håndballag skal ha 7 spillere på banen. Hvor mange ulike lag kan settes sammen fra en tropp på 12?

c

I poker får du 5 kort fra en kortstokk på 52. Hvor mange ulike hender finnes?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Avgjør om det er permutasjon eller kombinasjon, og løs.

a

Velge 4 sanger fra 20 til en spilleliste (rekkefølgen i spillelisten betyr noe)

b

Velge 4 ingredienser fra 10 til en salat

c

Sette sammen en PIN-kode på 4 siffer (med gjentagelse)

Løs oppgaven Tren

Sammensatte problemer

Noen ganger må vi kombinere flere metoder for å løse et problem. For eksempel kan vi bruke:

- Totalt minus uønskede: Finn alle muligheter, trekk fra de du ikke vil ha
- Del opp i tilfeller: Løs separat for hver situasjon, summer
- Kombinere kombinatorikk: Bruk både permutasjoner og kombinasjoner i samme oppgave

✏️Eksempel 7: Minst-problemer

Fra en gruppe på 6 gutter og 5 jenter skal det velges et utvalg på 4 personer. På hvor mange måter kan dette gjøres hvis det skal være minst 2 jenter?

Løsning:

"Minst 2 jenter" betyr 2, 3 eller 4 jenter. Vi deler opp i tilfeller:

2 jenter, 2 gutter:
$\binom{5}{2} \cdot \binom{6}{2} = 10 \cdot 15 = 150$

3 jenter, 1 gutt:
$\binom{5}{3} \cdot \binom{6}{1} = 10 \cdot 6 = 60$

4 jenter, 0 gutter:
$\binom{5}{4} \cdot \binom{6}{0} = 5 \cdot 1 = 5$

Totalt: $150 + 60 + 5 = 215$ måter

📝Oppgave 9

Løs sammensatte kombinatoriske problemer.

a

Fra 7 nordmenn og 4 svensker skal det velges et lag på 5 med minst 2 svensker. Hvor mange måter?

b

Et passord på 4 tegn skal inneholde minst ett siffer (0-9). Bokstaver er A-Z (26 stk). Antall muligheter?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

Løs kombinasjonsproblemer med betingelser.

a

En komité på 5 skal velges fra 10 personer. Én bestemt person MÅ være med. Hvor mange måter?

b

Samme som over, men to bestemte personer KAN IKKE begge være med. Antall måter?

c

Du har 8 ulike bøker og skal velge 3 til ferietur. Hvor mange utvalg har med favorittboken din?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 11

Løs oppgaver med kortspill.

a

En kortstokk har 52 kort (4 farger, 13 verdier). Hvor mange måter kan du få 5 kort av samme farge (flush)?

b

Hvor mange måter kan du få 3 ess blant 5 kort?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

Bruk Pascals trekant.

a

Vis at $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ ved å beregne $\binom{6}{2}$ og $\binom{6}{4}$

b

Beregn $\binom{5}{0} + \binom{5}{1} + \binom{5}{2} + \binom{5}{3} + \binom{5}{4} + \binom{5}{5}$

c

Bruk at $\binom{n}{r} + \binom{n}{r+1} = \binom{n+1}{r+1}$ til å finne $\binom{8}{3}$ hvis du vet $\binom{7}{2} = 21$ og $\binom{7}{3} = 35$

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 13

Utfordringsoppgaver i kombinatorikk.

a

En sjakkturning har 8 deltakere. Alle spiller mot alle én gang. Hvor mange partier spilles?

b

Et sjakk-sett har 8 offiserer (dronning, tårn, løper, springer) på hver side. Hvor mange måter kan hvite offiserer plasseres på rad 1 (8 felt)?

c

En pizzarestaurant har 12 toppinger. Du kan velge opptil 4. Hvor mange pizzavarianter finnes (inkludert uten topping)?

📝Oppgave 14

Blandet øvelse - avgjør metode og løs.

a

Hvor mange måter kan bokstavene i ordet MATTE ordnes? (Merk: to T-er)

b

Et treningspass skal inneholde 3 øvelser fra 8 mulige. Rekkefølgen er viktig. Antall muligheter?

c

Lotto: 7 tall fra 1-34. Du krysser av 7 tall. Sannsynligheten for 7 rette? (som brøk)

5.1 Kombinatorikk | Matematikk 10. klasse | Eksamenssett