4.4 Areal og volum | Matematikk 10. klasse

Beregne areal og volum av komplekse figurer.

55 min

14 oppgaver

ArealVolumKjegleKuleSammensatte figurer

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Innledning

I dette kapittelet skal vi arbeide med volum og overflate av tredimensjonale figurer. Vi skal se på kjegler, kuler og pyramider, samt sammensatte figurer som bestar av flere enkle former.

Dette er praktisk kunnskap som brukes i alt fra arkitektur til emballasjedesign!

Volumformler for romfigurer

V = \pi r^2 h

Legg merke til: En kjegle har

\displaystyle \frac{1}{3}

av volumet til en sylinder med samme grunnflate og høyde. Det samme gjelder for pyramide sammenlignet med et prisme.

✏️Eksempel 1: Volum av kjegle

En kjegle har radius 6 cm og høyde 10 cm. Finn volumet.

Løsning:

$\displaystyle V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 6^2 \cdot 10 = \frac{1}{3}\pi \cdot 36 \cdot 10 = 120\pi$

$V = 120\pi \approx 377$ cm $^3$

Svar: Volumet er $120\pi \approx 377$ cm $^3$ .

📝Oppgave 1

Beregn volumet av kjeglene.

Radius 3 cm, høyde 8 cm.

Radius 9 cm, høyde 12 cm.

Radius 5 cm, høyde 15 cm.

Diameter 14 cm, høyde 9 cm.

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 2: Volum av kule

En kule har radius 6 cm. Finn volumet.

Løsning:

$\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 6^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 216 = 288\pi$

$V = 288\pi \approx 905$ cm $^3$

Svar: Volumet er $288\pi \approx 905$ cm $^3$ .

📝Oppgave 2

Beregn volumet av kulene.

Radius 3 cm.

Radius 9 cm.

Diameter 10 cm.

Radius 1.5 m (svar i liter, 1 m $^3$ = 1000 L).

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Beregn volumet av pyramidene.

Pyramide med kvadratisk grunnflate 10 cm x 10 cm og høyde 12 cm.

Pyramide med rektangulaer grunnflate 6 cm x 8 cm og høyde 15 cm.

Pyramide med trekantformet grunnflate (grunnlinje 10 cm, høyde i grunnflaten 8 cm) og pyramidehøyde 9 cm.

Løs oppgaven Tren

Overflateformler

A = 4\pi r^2

✏️Eksempel 3: Overflate av kule

En kule har radius 5 cm. Finn overflatearealet.

Løsning:

$A = 4\pi r^2 = 4\pi \cdot 25 = 100\pi$

$A = 100\pi \approx 314$ cm $^2$

Svar: Overflaten er $100\pi \approx 314$ cm $^2$ .

📝Oppgave 4

Beregn overflatearealet.

Kule med radius 7 cm.

Sylinder med radius 4 cm og høyde 10 cm.

Kube med side 8 cm.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

En kjegle har radius 6 cm og høyde 8 cm.

Finn slanthøyden (siden av kjeglen).

Finn volumet.

Finn overflatearealet (bunn + sideflate).

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 4: Sammensatt figur

En iskremkjegle bestar av en halvkule (r = 3 cm) på toppen av en kjegle (r = 3 cm, h = 8 cm). Finn totalvolumet.

Løsning:

Halvkule:
$\displaystyle V_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi \cdot 27 = 18\pi$ cm $^3$

Kjegle:
$\displaystyle V_2 = \frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 8 = 24\pi$ cm $^3$

Totalt:
$V = 18\pi + 24\pi = 42\pi \approx 132$ cm $^3$

Svar: Totalvolumet er $42\pi \approx 132$ cm $^3$ .

📝Oppgave 6

Finn volumet av de sammensatte figurene.

Sylinder (r = 4 cm, h = 10 cm) med halvkule på toppen (r = 4 cm).

Kube (side 6 cm) med pyramide på toppen (grunnflate 6 x 6 cm, høyde 4 cm).

Kjegle (r = 5 cm, h = 12 cm) med halvkule på toppen (r = 5 cm).

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

En sylinder har et sylindrisk hull gjennom midten (ror). Ytre radius er 8 cm, indre radius er 5 cm, og høyden er 12 cm.

Finn volumet av det massive materialet.

Finn overflatearealet (inkludert innsiden av hullet).

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

En kuleformet tank skal romme 8000 liter vann. Finn radius på tanken.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Sammenlign volumene.

En kjegle og en sylinder har begge radius 5 cm og høyde 12 cm. Hvor mange kjegler skal til for a fylle sylinderen?

En halvkule og en kjegle har begge radius 6 cm. Kjeglen har høyde 12 cm. Hvilken har størst volum?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

En ball med radius 10 cm legges i en kubisk boks der ballen akkurat far plass.

Hva er sidelengden i boksen?

Finn volumet av tom plass i boksen.

Hvor stor andel av boksen er tom?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 11

En sylinder har radius $r$ og høyde $h$ . Hvis bade radius og høyde oker med 50%, hvor mye oker volumet prosentvis?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

Et sandslott har form som en kjegle med radius 30 cm og høyde 40 cm.

Finn volumet av sandslottet.

Hvis sanden veier 1.5 g/cm $^3$ , hvor mye veier sandslottet?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 13

En vannmelon kan modelleres som en ellipsoide (strukket kule) med halvakser 15 cm, 12 cm og 12 cm. Volumet er $\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi abc$ der $a$ , $b$ , $c$ er halvaksene.

Finn volumet av vannmelonen.

Hvis 40% av vannmelonen er spiselig fruktmasse og resten er skall og kjaerner, hvor mye spiselig masse er det?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 14

En silo har form som en sylinder med en halvkule på toppen og en kjegle i bunnen.

Sylinderen har radius 4 m og høyde 10 m. Halvkulen og kjeglen har samme radius. Kjeglen har høyde 3 m. Finn totalvolumet.

Hvis siloen fylles med korn som veier 750 kg/m $^3$ , hvor mye korn rommer siloen?

Løs oppgaven Tren

Beregne areal og volum av komplekse figurer.

55 min

14 oppgaver

ArealVolumKjegleKuleSammensatte figurer

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Innledning

I dette kapittelet skal vi arbeide med volum og overflate av tredimensjonale figurer. Vi skal se på kjegler, kuler og pyramider, samt sammensatte figurer som bestar av flere enkle former.

Dette er praktisk kunnskap som brukes i alt fra arkitektur til emballasjedesign!

Volumformler for romfigurer

V = \pi r^2 h

Legg merke til: En kjegle har

\displaystyle \frac{1}{3}

av volumet til en sylinder med samme grunnflate og høyde. Det samme gjelder for pyramide sammenlignet med et prisme.

✏️Eksempel 1: Volum av kjegle

En kjegle har radius 6 cm og høyde 10 cm. Finn volumet.

Løsning:

$\displaystyle V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 6^2 \cdot 10 = \frac{1}{3}\pi \cdot 36 \cdot 10 = 120\pi$

$V = 120\pi \approx 377$ cm $^3$

Svar: Volumet er $120\pi \approx 377$ cm $^3$ .

📝Oppgave 1

Beregn volumet av kjeglene.

Radius 3 cm, høyde 8 cm.

Radius 9 cm, høyde 12 cm.

Radius 5 cm, høyde 15 cm.

Diameter 14 cm, høyde 9 cm.

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 2: Volum av kule

En kule har radius 6 cm. Finn volumet.

Løsning:

$\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 6^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 216 = 288\pi$

$V = 288\pi \approx 905$ cm $^3$

Svar: Volumet er $288\pi \approx 905$ cm $^3$ .

📝Oppgave 2

Beregn volumet av kulene.

Radius 3 cm.

Radius 9 cm.

Diameter 10 cm.

Radius 1.5 m (svar i liter, 1 m $^3$ = 1000 L).

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Beregn volumet av pyramidene.

Pyramide med kvadratisk grunnflate 10 cm x 10 cm og høyde 12 cm.

Pyramide med rektangulaer grunnflate 6 cm x 8 cm og høyde 15 cm.

Pyramide med trekantformet grunnflate (grunnlinje 10 cm, høyde i grunnflaten 8 cm) og pyramidehøyde 9 cm.

Løs oppgaven Tren

Overflateformler

A = 4\pi r^2

✏️Eksempel 3: Overflate av kule

En kule har radius 5 cm. Finn overflatearealet.

Løsning:

$A = 4\pi r^2 = 4\pi \cdot 25 = 100\pi$

$A = 100\pi \approx 314$ cm $^2$

Svar: Overflaten er $100\pi \approx 314$ cm $^2$ .

📝Oppgave 4

Beregn overflatearealet.

Kule med radius 7 cm.

Sylinder med radius 4 cm og høyde 10 cm.

Kube med side 8 cm.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

En kjegle har radius 6 cm og høyde 8 cm.

Finn slanthøyden (siden av kjeglen).

Finn volumet.

Finn overflatearealet (bunn + sideflate).

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 4: Sammensatt figur

En iskremkjegle bestar av en halvkule (r = 3 cm) på toppen av en kjegle (r = 3 cm, h = 8 cm). Finn totalvolumet.

Løsning:

Halvkule:
$\displaystyle V_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi \cdot 27 = 18\pi$ cm $^3$

Kjegle:
$\displaystyle V_2 = \frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 8 = 24\pi$ cm $^3$

Totalt:
$V = 18\pi + 24\pi = 42\pi \approx 132$ cm $^3$

Svar: Totalvolumet er $42\pi \approx 132$ cm $^3$ .

📝Oppgave 6

Finn volumet av de sammensatte figurene.

Sylinder (r = 4 cm, h = 10 cm) med halvkule på toppen (r = 4 cm).

Kube (side 6 cm) med pyramide på toppen (grunnflate 6 x 6 cm, høyde 4 cm).

Kjegle (r = 5 cm, h = 12 cm) med halvkule på toppen (r = 5 cm).

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

En sylinder har et sylindrisk hull gjennom midten (ror). Ytre radius er 8 cm, indre radius er 5 cm, og høyden er 12 cm.

Finn volumet av det massive materialet.

Finn overflatearealet (inkludert innsiden av hullet).

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

En kuleformet tank skal romme 8000 liter vann. Finn radius på tanken.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Sammenlign volumene.

En kjegle og en sylinder har begge radius 5 cm og høyde 12 cm. Hvor mange kjegler skal til for a fylle sylinderen?

En halvkule og en kjegle har begge radius 6 cm. Kjeglen har høyde 12 cm. Hvilken har størst volum?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

En ball med radius 10 cm legges i en kubisk boks der ballen akkurat far plass.

Hva er sidelengden i boksen?

Finn volumet av tom plass i boksen.

Hvor stor andel av boksen er tom?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 11

En sylinder har radius $r$ og høyde $h$ . Hvis bade radius og høyde oker med 50%, hvor mye oker volumet prosentvis?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

Et sandslott har form som en kjegle med radius 30 cm og høyde 40 cm.

Finn volumet av sandslottet.

Hvis sanden veier 1.5 g/cm $^3$ , hvor mye veier sandslottet?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 13

En vannmelon kan modelleres som en ellipsoide (strukket kule) med halvakser 15 cm, 12 cm og 12 cm. Volumet er $\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi abc$ der $a$ , $b$ , $c$ er halvaksene.

Finn volumet av vannmelonen.

Hvis 40% av vannmelonen er spiselig fruktmasse og resten er skall og kjaerner, hvor mye spiselig masse er det?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 14

En silo har form som en sylinder med en halvkule på toppen og en kjegle i bunnen.

Sylinderen har radius 4 m og høyde 10 m. Halvkulen og kjeglen har samme radius. Kjeglen har høyde 3 m. Finn totalvolumet.

Hvis siloen fylles med korn som veier 750 kg/m $^3$ , hvor mye korn rommer siloen?

Løs oppgaven Tren