5.2 Sannsynlighetsberegning | Matematikk 10. klasse

Beregne sannsynligheter for uavhengige og avhengige hendelser.

55 min

14 oppgaver

SannsynlighetUavhengige hendelserAvhengige hendelserBetinget sannsynlighet

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Innledning

Sannsynlighetsregning handler om å beregne sjansen for at hendelser inntreffer. Vi bygger videre på klassisk sannsynlighet og lærer å håndtere mer komplekse situasjoner:

- Uavhengige hendelser - utfallet av én påvirker ikke den andre
- Avhengige hendelser - utfallet av én påvirker den andre
- Betinget sannsynlighet - sannsynlighet gitt at noe har skjedd

Klassisk sannsynlighet

A

✏️Eksempel 1: Terningkast

En vanlig terning kastes. Finn sannsynligheten for å få:
a) Tallet 4
b) Et partall
c) Et tall større enn 4

Løsning:

Mulige utfall: {1, 2, 3, 4, 5, 6} - totalt 6 utfall

a) Gunstige for "4": {4} - 1 utfall
$P(4) = \frac{1}{6}$

b) Gunstige for partall: {2, 4, 6} - 3 utfall
$P(\text{partall}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

c) Gunstige for tall > 4: {5, 6} - 2 utfall
$P(\text{tall} > 4) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

📝Oppgave 1

Beregn sannsynligheter for enkle hendelser.

En terning kastes. Finn sannsynligheten for å få 6.

En terning kastes. Finn sannsynligheten for å få et oddetall.

En mynt kastes. Finn sannsynligheten for kron.

I en pose er det 4 røde, 3 blå og 2 grønne kuler. Finn sannsynligheten for å trekke en rød kule.

Løs oppgaven Tren

Addisjonssetningen

A

En standard kortstokk har 52 kort fordelt på 4 farger:

Farge	Symbol	Farge på kortet
Hjerter	♥	Rød
Ruter	♦	Rød
Spar	♠	Sort
Kløver	♣	Sort

Hver farge har 13 kort: Ess (1), 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Knekt, Dame, Konge.
Nyttige tall:
- Totalt: 52 kort
- Hver farge: 13 kort
- Røde kort: 26 (hjerter + ruter)

- Sorte kort: 26 (spar + kløver)

- Ess: 4 (ett i hver farge)
- Bildekort (knekt, dame, konge): 12 (3 per farge)

✏️Eksempel 2: Korttrekk med addisjonssetningen

Fra en kortstokk med 52 kort trekkes ett kort. Finn sannsynligheten for å få ruter eller et ess.

Løsning:

- Ruter: 13 kort $\displaystyle \Rightarrow P(\text{ruter}) = \frac{13}{52}$
- Ess: 4 kort $\displaystyle \Rightarrow P(\text{ess}) = \frac{4}{52}$
- Ruter-ess: 1 kort $\displaystyle \Rightarrow P(\text{ruter og ess}) = \frac{1}{52}$

Siden man kan få ruter-ess (begge samtidig), bruker vi addisjonssetningen:

$P(\text{ruter eller ess}) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$

📝Oppgave 2

Bruk addisjonssetningen.

En terning kastes. Finn sannsynligheten for å få 2 eller 5.

Et kort trekkes. Finn sannsynligheten for spar eller knekt.

I en klasse er 15 med i fotball og 12 i håndball, hvorav 5 i begge. Klassen har 30 elever. Finn sannsynligheten for at en tilfeldig elev er med i fotball eller håndball.

Løs oppgaven Tren

Uavhengige hendelser

A

✏️Eksempel 3: To terningkast

To terninger kastes. Finn sannsynligheten for å få 6 på begge.

Løsning:

Terningene er uavhengige - resultatet av den ene påvirker ikke den andre.

$\displaystyle P(6 \text{ på første}) = \frac{1}{6}$

$\displaystyle P(6 \text{ på andre}) = \frac{1}{6}$

$P(6 \text{ på begge}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$

✏️Eksempel 4: Gjentatte myntkast

En mynt kastes 4 ganger. Finn sannsynligheten for å få kron alle gangene.

Løsning:

Hvert kast er uavhengig med $\displaystyle P(\text{kron}) = \frac{1}{2}$ .

$P(4 \text{ kron}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$

📝Oppgave 3

Regn med uavhengige hendelser.

To terninger kastes. Finn sannsynligheten for å få 1 på begge.

En mynt kastes 3 ganger. Finn sannsynligheten for 3 kron.

To kort trekkes MED tilbakelegging. Finn sannsynligheten for to ess.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Løs oppgaver med uavhengige hendelser.

Et lyskryss er grønt 40% av tiden. Finn sannsynligheten for grønt i to kryss etter hverandre.

En basketballspiller har 70% treffprosent på frikast. Finn sannsynligheten for å treffe 3 frikast på rad.

En terning kastes 5 ganger. Finn sannsynligheten for å IKKE få 6 noen av gangene.

Løs oppgaven Tren

Avhengige hendelser

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)

✏️Eksempel 5: Trekking uten tilbakelegging

Fra en kortstokk trekkes to kort UTEN tilbakelegging. Finn sannsynligheten for at begge er ess.

Løsning:

Første kort - ess: $\displaystyle P = \frac{4}{52}$

Andre kort - ess (gitt at første var ess): $\displaystyle P = \frac{3}{51}$ (3 ess igjen av 51 kort)

$P(\text{to ess}) = \frac{4}{52} \cdot \frac{3}{51} = \frac{12}{2652} = \frac{1}{221}$

✏️Eksempel 6: Kuler i pose

En pose inneholder 5 røde og 3 blå kuler. To kuler trekkes uten tilbakelegging. Finn sannsynligheten for at begge er røde.

Løsning:

Totalt 8 kuler (5 røde, 3 blå).

Første rød: $\displaystyle P = \frac{5}{8}$

Andre rød (gitt første rød): $\displaystyle P = \frac{4}{7}$ (4 røde igjen av 7 kuler)

$P(\text{to røde}) = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}$

📝Oppgave 5

Regn med avhengige hendelser (uten tilbakelegging).

To kort trekkes uten tilbakelegging. Finn sannsynligheten for to hjerter.

En pose har 6 røde og 4 grønne kuler. To trekkes uten tilbakelegging. Sannsynlighet for to grønne?

Fra en gruppe på 8 jenter og 7 gutter velges to tilfeldig. Sannsynligheten for to gutter?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Løs oppgaver med flere trekninger uten tilbakelegging.

Tre kort trekkes uten tilbakelegging. Finn sannsynligheten for tre spar.

En pose har 10 kuler: 6 hvite og 4 svarte. Tre trekkes. Sannsynligheten for tre hvite?

Løs oppgaven Tren

Betinget sannsynlighet

P(B|A)

✏️Eksempel 7: Betinget sannsynlighet

I en klasse er 60% jenter. 30% av jentene spiller fotball, og 50% av guttene spiller fotball. Finn sannsynligheten for at en tilfeldig elev som spiller fotball er jente.

Løsning:

La J = jente, G = gutt, F = spiller fotball.

$P(J) = 0{,}60$ , $P(G) = 0{,}40$
$P(F|J) = 0{,}30$ , $P(F|G) = 0{,}50$

Først finner vi $P(F)$ med total sannsynlighet:
$P(F) = P(J) \cdot P(F|J) + P(G) \cdot P(F|G)$
$= 0{,}60 \cdot 0{,}30 + 0{,}40 \cdot 0{,}50 = 0{,}18 + 0{,}20 = 0{,}38$

Nå bruker vi Bayes' setning:
$P(J|F) = \frac{P(J) \cdot P(F|J)}{P(F)} = \frac{0{,}60 \cdot 0{,}30}{0{,}38} = \frac{0{,}18}{0{,}38} \approx 0{,}474$

Sannsynligheten er ca. 47,4%.

📝Oppgave 7

Bruk betinget sannsynlighet.

I en gruppe er 40% gutter. 25% av guttene har briller, og 20% av jentene har briller. Finn sannsynligheten for at en tilfeldig person med briller er gutt.

En test for en sykdom er positiv 95% av tiden hvis personen er syk, og positiv 3% av tiden hvis personen er frisk. 1% av befolkningen er syk. Finn sannsynligheten for å være syk gitt positiv test.

Løs oppgaven Tren

Komplementær sannsynlighet

For hendelser av typen "minst én" er det ofte lettere å regne:

$P(\text{minst én}) = 1 - P(\text{ingen})$

Dette kalles komplementmetoden.

✏️Eksempel 8: Minst én 6-er

En terning kastes 4 ganger. Finn sannsynligheten for å få minst én 6-er.

Løsning:

$P(\text{minst én 6-er}) = 1 - P(\text{ingen 6-ere})$

$\displaystyle P(\text{ikke 6}) = \frac{5}{6}$ for hvert kast.

$P(\text{ingen 6-ere}) = \left(\frac{5}{6}\right)^4 = \frac{625}{1296}$

$P(\text{minst én 6-er}) = 1 - \frac{625}{1296} = \frac{671}{1296} \approx 0{,}518$

Sannsynligheten er ca. 51,8%.

📝Oppgave 8

Bruk komplementmetoden.

En mynt kastes 5 ganger. Finn sannsynligheten for minst én kron.

To terninger kastes. Finn sannsynligheten for at minst én viser 1.

En familie har 4 barn. Finn sannsynligheten for minst én jente (50/50 for hvert barn).

Løs oppgaven Tren

Sammensatte problemer

I mange oppgaver må vi kombinere flere teknikker:
- Telle utfall med kombinatorikk
- Bruke addisjons- eller multiplikasjonssetningen
- Avgjøre om hendelser er uavhengige eller avhengige
- Bruke komplementmetoden

✏️Eksempel 9: Terningsum

To terninger kastes. Finn sannsynligheten for at summen blir 7.

Løsning:

Totalt antall utfall: $6 \cdot 6 = 36$

Gunstige utfall (sum = 7):
(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) - totalt 6 utfall

$P(\text{sum} = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

📝Oppgave 9

Løs oppgaver med to terninger.

To terninger kastes. Finn sannsynligheten for sum 11.

To terninger kastes. Finn sannsynligheten for at summen er minst 10.

To terninger kastes. Finn sannsynligheten for at produktet er 12.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

Sammensatte sannsynlighetsoppgaver.

Tre kort trekkes fra en kortstokk uten tilbakelegging. Finn sannsynligheten for minst ett ess.

En pose har 3 røde, 2 blå og 5 grønne kuler. To trekkes. Finn sannsynligheten for ulike farger.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 11

Løs utfordrende sannsynlighetsoppgaver.

3 venner møtes. Finn sannsynligheten for at minst 2 har bursdag samme ukedag.

Du skal kaste en terning til du får 6. Finn sannsynligheten for at du trenger nøyaktig 3 kast.

Et lag vinner hver kamp med 60% sannsynlighet. Finn sannsynligheten for å vinne minst 2 av 3 kamper.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

Avgjør om hendelsene er uavhengige eller avhengige, og beregn.

En mønt kastes og en terning kastes. Finn P(kron OG 6).

Fra en kortstokk trekkes 2 kort uten tilbakelegging. Finn P(første er ruter OG andre er spar).

En pose har 5 hvite og 5 svarte kuler. Én trekkes, legges tilbake, så trekkes én til. P(begge hvite)?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 13

Bruk trediagram eller tabell.

En mynt kastes to ganger. Bruk et utfallstre til å finne sannsynligheten for nøyaktig én kron.

To terninger kastes. Lag en tabell over alle summer og finn den mest sannsynlige summen.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 14

Utfordringsoppgaver i sannsynlighet.

En boks inneholder 2 gullmynter og 3 sølvmynter. Du trekker 2 mynter. Gitt at den første er gull, hva er sannsynligheten for at den andre også er gull?

Fødselsdagsparadokset: I en gruppe på 23 personer, finn sannsynligheten for at minst to har samme bursdag (ignorer skuddår).

Du kaster 3 terninger. Finn sannsynligheten for at alle viser samme tall (Yatzy).

Løs oppgaven Tren

Farge

Symbol

Farge på kortet

Hjerter

♥

Rød

Ruter

♦

Rød

Spar

♠

Sort

Kløver

♣

Sort