Matematikk 10. klasseTilbake

4.3 Vektorer - introduksjon

Vektorer - introduksjon

4.3 Vektorer - introduksjon

Introduksjon til vektorer i planet.

45 min

10 oppgaver

VektorerVektoraddisjonVektorkomponenter

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Innledning

Mange storrelser i verden rundt oss har bade en storrelse (hvor mye) og en retning (hvor hen). Eksempler er:
- Fart (50 km/t mot nord)
- Kraft (100 N nedover)
- Forflytning (3 km mot ost)

Slike storrelser kalles vektorer. I dette kapittelet larer vi hvordan vi representerer og regner med vektorer.

Vektor

\vec{v}

Vektor vs. skalar:
- En skalar har bare storrelse (f.eks. temperatur, masse, tid)
- En vektor har bade storrelse og retning (f.eks. hastighet, kraft, forflytning)

✏️Eksempel 1: Vektor mellom to punkter

Finn vektoren fra punkt $A(1, 2)$ til punkt $B(4, 6)$ og beregn lengden.

Løsning:

Vektoren fra A til B:
$\vec{AB} = [4 - 1, 6 - 2] = [3, 4]$

Lengden:
$|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Svar: $\vec{AB} = [3, 4]$ med lengde 5.

📝Oppgave 1

Finn vektoren mellom punktene og beregn lengden.

a

Fra $A(0, 0)$ til $B(5, 12)$

b

Fra $P(2, 3)$ til $Q(8, 11)$

c

Fra $R(-1, 4)$ til $S(5, -4)$

d

Fra $M(3, -2)$ til $N(-5, 4)$

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Finn lengden til vektorene.

a

\vec{a} = [3, 4]

b

\vec{b} = [8, 6]

c

\vec{c} = [-5, 12]

d

\vec{d} = [1, 1]

Løs oppgaven Tren

Addisjon av vektorer

\vec{a} + \vec{b} = [a_x + b_x, a_y + b_y]

✏️Eksempel 2: Addisjon av vektorer

Gitt $\vec{a} = [3, 2]$ og $\vec{b} = [1, 4]$ . Finn $\vec{a} + \vec{b}$ .

Løsning:

$\vec{a} + \vec{b} = [3 + 1, 2 + 4] = [4, 6]$

Svar: $\vec{a} + \vec{b} = [4, 6]$

📝Oppgave 3

Regn ut vektorsummene.

a

\vec{a} = [2, 5]

og

\vec{b} = [3, -1]

. Finn

\vec{a} + \vec{b}

b

\vec{u} = [-1, 4]

og

\vec{v} = [6, 2]

. Finn

\vec{u} + \vec{v}

c

\vec{p} = [4, -3]

og

\vec{q} = [-4, 3]

. Finn

\vec{p} + \vec{q}

d

\vec{r} = [7, 2]

og

\vec{s} = [-3, 5]

. Finn

\vec{r} + \vec{s}

Løs oppgaven Tren

Subtraksjon av vektorer

\vec{a} - \vec{b} = [a_x - b_x, a_y - b_y]

📝Oppgave 4

Regn ut vektordifferansene.

a

\vec{a} = [7, 3]

og

\vec{b} = [2, 5]

. Finn

\vec{a} - \vec{b}

b

\vec{u} = [4, -1]

og

\vec{v} = [6, 3]

. Finn

\vec{u} - \vec{v}

c

\vec{p} = [0, 8]

og

\vec{q} = [5, 2]

. Finn

\vec{p} - \vec{q}

Løs oppgaven Tren

Skalarmultiplikasjon

k \cdot \vec{v} = [k \cdot v_x, k \cdot v_y]

✏️Eksempel 3: Skalarmultiplikasjon

Gitt $\vec{v} = [2, -3]$ . Finn $3\vec{v}$ og $-2\vec{v}$ .

Løsning:

$3\vec{v} = 3 \cdot [2, -3] = [6, -9]$

$-2\vec{v} = -2 \cdot [2, -3] = [-4, 6]$

Legg merke til at $-2\vec{v}$ peker i motsatt retning av $\vec{v}$ .

📝Oppgave 5

Utfor skalarmultiplikasjon.

a

Finn $4\vec{a}$ nar $\vec{a} = [3, 2]$

b

Finn $-3\vec{b}$ nar $\vec{b} = [1, -4]$

c

Finn $\displaystyle \frac{1}{2}\vec{c}$ nar $\vec{c} = [6, -10]$

d

Finn $-\vec{d}$ nar $\vec{d} = [5, 7]$

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Regn ut kombinasjonene.

a

Finn $2\vec{a} + 3\vec{b}$ nar $\vec{a} = [1, 2]$ og $\vec{b} = [3, -1]$

b

Finn $4\vec{u} - 2\vec{v}$ nar $\vec{u} = [2, 3]$ og $\vec{v} = [5, 1]$

c

Finn $\vec{a} + 2\vec{b} - 3\vec{c}$ nar $\vec{a} = [1, 0]$ , $\vec{b} = [0, 2]$ , $\vec{c} = [1, 1]$

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 4: Praktisk anvendelse - krefter

To krefter virker på et objekt: $\vec{F_1} = [40, 0]$ N (mot ost) og $\vec{F_2} = [0, 30]$ N (mot nord). Finn den resulterende kraften.

Løsning:

Resultantkraften er summen av kreftene:
$\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2} = [40 + 0, 0 + 30] = [40, 30]$ N

Storrelsen på resultanten:
$|\vec{R}| = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50$ N

Svar: Resultantkraften er $[40, 30]$ N med storrelse 50 N.

📝Oppgave 7

En bat kjorer med fart 20 km/t mot ost. Strommen gar med 5 km/t mot nord.

a

Skriv batens og strommens hastighet som vektorer.

b

Finn den resulterende hastighetsvektoren.

c

Finn den resulterende farten.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Et fly skal fly fra A til B som ligger rett nord. Flyet har lufthastighet 300 km/t. Det blaser vind fra vest mot ost med 50 km/t.

a

I hvilken retning ma flyet styre for a fly rett mot nord? (Hint: Flyets kurs ma kompensere for vinden)

b

Hva blir flyets fart over bakken?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Et skip seiler fra havn A til B med vektor $\vec{AB} = [12, 5]$ km, deretter fra B til C med vektor $\vec{BC} = [-4, 8]$ km.

a

Finn vektoren $\vec{AC}$ fra A til C.

b

Hvor langt er skipet fra utgangspunktet A?

c

Hvor langt har skipet faktisk seilt totalt?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

Gitt tre punkter: $A(1, 2)$ , $B(5, 4)$ og $C(3, 7)$ .

a

Finn vektorene $\vec{AB}$ og $\vec{AC}$ .

b

Finn midtpunktet M på BC ved a bruke $\displaystyle \vec{AM} = \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{BC}$ .

c

Finn tyngdepunktet T (som ligger $\displaystyle \frac{2}{3}$ langs medianen fra A til midtpunktet M).

Løs oppgaven Tren

4.3 Vektorer - introduksjon | Matematikk 10. klasse | Eksamenssett