Matematikk 10. klasseTilbake

4.2 Trigonometri

Trigonometri

4.2 Trigonometri

Sinus, cosinus og tangens i rettvinklede trekanter.

60 min

16 oppgaver

TrigonometriSinusCosinusTangensRettvinklet trekant

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Innledning

Trigonometri betyr "trekantmaling" og handler om forholdet mellom vinkler og sider i trekanter. Med trigonometri kan vi finne ukjente sider og vinkler i trekanter - noe som har utallige praktiske anvendelser.

I dette kapittelet larer vi om de tre trigonometriske forholdene sinus, cosinus og tangens, og hvordan vi bruker dem til å løse problemer.

Trigonometriske forhold

v

Viktig: "Motstående" og "hosliggende" er alltid i forhold til vinkelen vi ser pa!
- Motstående katet er siden som ligger rett overfor vinkelen
- Hosliggende katet er siden som ligger ved siden av vinkelen (men ikke hypotenusen)

✏️Eksempel 1: Finne en side med sinus

En rettvinklet trekant har hypotenus 10 cm og en vinkel på 30 grader. Finn motstående katet.

Løsning:

Vi skal finne motstående katet og kjenner hypotenusen. Da bruker vi sinus:

$\displaystyle \sin 30° = \frac{\text{motstAende}}{\text{hypotenus}}$

$\displaystyle \sin 30° = \frac{a}{10}$

$a = 10 \cdot \sin 30° = 10 \cdot 0.5 = 5$ cm

Svar: Motstående katet er 5 cm.

📝Oppgave 1

Bruk sinus til å finne motstående katet.

a

Hypotenus 20 cm, vinkel 30 grader.

b

Hypotenus 15 cm, vinkel 45 grader.

c

Hypotenus 12 cm, vinkel 60 grader.

d

Hypotenus 25 cm, vinkel 53 grader.

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 2: Finne en side med cosinus

En rettvinklet trekant har hypotenus 10 cm og en vinkel på 30 grader. Finn hosliggende katet.

Løsning:

Vi skal finne hosliggende katet og kjenner hypotenusen. Da bruker vi cosinus:

$\displaystyle \cos 30° = \frac{\text{hosliggende}}{\text{hypotenus}}$

$\displaystyle \cos 30° = \frac{b}{10}$

$\displaystyle b = 10 \cdot \cos 30° = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 8.66$ cm

Svar: Hosliggende katet er ca. 8.66 cm.

📝Oppgave 2

Bruk cosinus til å finne hosliggende katet.

a

Hypotenus 16 cm, vinkel 60 grader.

b

Hypotenus 20 cm, vinkel 45 grader.

c

Hypotenus 18 cm, vinkel 37 grader.

d

Hypotenus 30 cm, vinkel 70 grader.

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 3: Finne en side med tangens

En rettvinklet trekant har hosliggende katet 8 cm og vinkel 40 grader. Finn motstående katet.

Løsning:

Vi kjenner hosliggende katet og skal finne motstående. Da bruker vi tangens:

$\displaystyle \tan 40° = \frac{\text{motstAende}}{\text{hosliggende}}$

$\displaystyle \tan 40° = \frac{a}{8}$

$a = 8 \cdot \tan 40° \approx 8 \cdot 0.839 \approx 6.71$ cm

Svar: Motstående katet er ca. 6.71 cm.

📝Oppgave 3

Bruk tangens til å finne motstående katet.

a

Hosliggende katet 12 cm, vinkel 45 grader.

b

Hosliggende katet 10 cm, vinkel 30 grader.

c

Hosliggende katet 15 cm, vinkel 55 grader.

d

Hosliggende katet 25 cm, vinkel 20 grader.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Finn hypotenusen nar du kjenner en katet og en vinkel.

a

Motstående katet 6 cm, vinkel 30 grader.

b

Hosliggende katet 9 cm, vinkel 45 grader.

c

Motstående katet 10 cm, vinkel 50 grader.

d

Hosliggende katet 14 cm, vinkel 35 grader.

Løs oppgaven Tren

Inverse trigonometriske funksjoner

v = \arcsin\left(\frac{\text{motstAende}}{\text{hypotenus}}\right) = \sin^{-1}\left(\frac{\text{motstAende}}{\text{hypotenus}}\right)

✏️Eksempel 4: Finne en vinkel

En rettvinklet trekant har kateter 5 cm og 12 cm. Finn de spisse vinklene.

Løsning:

Vi kan bruke tangens til å finne en av vinklene:

$\displaystyle \tan v = \frac{5}{12} \approx 0.417$

$v = \arctan(0.417) \approx 22.6°$

Den andre spisse vinkelen er:
$90° - 22.6° = 67.4°$

Kontroll: $\displaystyle \tan 67.4° = \frac{12}{5} = 2.4$ \checkmark

Svar: Vinklene er ca. 22.6 grader og 67.4 grader.

📝Oppgave 5

Finn den spisse vinkelen.

a

Kateter 3 cm og 4 cm. Finn den minste vinkelen.

b

Motstående katet 7 cm, hypotenus 10 cm.

c

Hosliggende katet 8 cm, hypotenus 15 cm.

d

Kateter 6 cm og 6 cm. Finn vinklene.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Finn alle ukjente sider og vinkler i trekanten.

a

Rettvinklet trekant med hypotenus 20 cm og en vinkel på 35 grader.

b

Rettvinklet trekant med kateter 9 cm og 12 cm.

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 5: Praktisk anvendelse - stige

En stige er 6 meter lang og danner en vinkel på 70 grader med bakken. Hvor hoyt opp på veggen rekker stigen?

Løsning:

Tegn situasjonen: Stigen er hypotenusen, veggen er motstående katet.

$\displaystyle \sin 70° = \frac{h}{6}$

$h = 6 \cdot \sin 70° \approx 6 \cdot 0.940 \approx 5.64$ m

Svar: Stigen rekker ca. 5.64 meter opp på veggen.

📝Oppgave 7

En stige på 8 meter lener mot en vegg.

a

Hvis vinkelen med bakken er 65 grader, hvor hoyt opp på veggen rekker stigen?

b

Hvor langt fra veggen star bunnen av stigen?

c

Av sikkerhetshensyn skal vinkelen være mellom 70 og 75 grader. Gi intervallet for hvor hoyt stigen kan na.

Løs oppgaven Tren

Elevasjonsvinkel og depressjonsvinkel

- Elevasjonsvinkel: Vinkelen opp fra horisontalplanet nar vi ser på noe over oss. - Depressjonsvinkel: Vinkelen ned fra horisontalplanet nar vi ser på noe under oss. Begge vinklene males fra det horisontale planet (vannrett linje).

✏️Eksempel 6: Elevasjonsvinkel

Fra et punkt på bakken er elevasjonsvinkelen til toppen av et tarn 35 grader. Avstanden til tarnets fot er 50 meter. Finn tarnets høyde.

Løsning:

Vi star 50 m fra tarnet (hosliggende katet) og skal finne høyden (motstående katet).

$\displaystyle \tan 35° = \frac{h}{50}$

$h = 50 \cdot \tan 35° \approx 50 \cdot 0.700 \approx 35$ m

Svar: Tarnet er ca. 35 meter hoyt.

📝Oppgave 8

Los oppgavene om elevasjonsvinkler.

a

Fra 80 m avstand er elevasjonsvinkelen til en fjelltopp 25 grader. Finn høyden over observasjonspunktet.

b

Et tre kaster skygge på 15 m nar solens elevasjonsvinkel er 40 grader. Finn treets høyde.

c

En drage flyr i 100 m høyde. Snoren er 130 m lang. Finn elevasjonsvinkelen.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Fra toppen av et fyrtarn som er 40 meter hoyt, ser man ned på en bat. Depresjonsvinkelen til baten er 15 grader. Hvor langt fra fyrtarnet er baten?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

Et fly stiger med konstant vinkel 12 grader. Etter a ha tilbakelagt 2000 m (langs flyruten), hvor hoyt har flyet steget?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 11

En vei har stigning 8% (stiger 8 m per 100 m horisontalt).

a

Finn stigningsvinkelen.

b

Hvor lang er veien (malt langs bakken) for a stige 50 m?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

En kran har en arm på 25 meter som kan heves fra 20 til 75 grader med bakken.

a

Hva er maksimal lofte-høyde?

b

Hva er minimal lofte-høyde?

c

Ved hvilken vinkel er høyden 15 meter?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 13

Et helikopter flyr i 500 m høyde. Fra helikopteret males depresjonsvinkelen til to biler på samme vei til 30 og 45 grader (bilene er på hver sin side av helikopteret). Finn avstanden mellom bilene.

Løs oppgaven Tren

Spesielle vinkler

\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline v & \sin v & \cos v & \tan v \\ \hline 30° & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 45° & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 1 \\ 60° & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} & \sqrt{3} \\ \hline \end{array}

Disse verdiene er nyttige a huske og forekommer ofte på eksamener.

📝Oppgave 14

Bruk de spesielle vinkelverdiene til å finne eksakte svar.

a

Finn hypotenusen nar motstående katet er 5 cm og vinkelen er 30 grader.

b

Finn hosliggende katet nar hypotenusen er 12 cm og vinkelen er 60 grader.

c

Finn motstående katet nar hosliggende katet er 8 cm og vinkelen er 45 grader.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 15

En likesidet trekant har sidelengde 10 cm.

a

Finn høyden i trekanten ved hjelp av trigonometri.

b

Finn arealet av trekanten.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 16

Fra to punkter A og B på samme høyde, 200 m fra hverandre, males elevasjonsvinkelen til toppen av et fjell. Fra A er vinkelen 40 grader, fra B (naermere fjellet) er vinkelen 55 grader.

a

Sett opp to likninger for fjellhøyden h og avstanden x fra B til foten av fjellet.

b

Los likningssystemet og finn fjellhøyden.

Løs oppgaven Tren

4.2 Trigonometri | Matematikk 10. klasse | Eksamenssett