3.2 Andregradsfunksjoner | Matematikk 10. klasse

Parabeler, toppunkt/bunnpunkt og symmetrilinje.

55 min

14 oppgaver

AndregradsfunksjonParabelToppunktBunnpunktSymmetrilinje

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Innledning

En andregradsfunksjon (også kalt kvadratisk funksjon) har grafen som en parabel. Parabeler finnes overalt i naturen og teknologien:
- Banen til en ball som kastes
- Formen på en parabol-antenne
- Brubuer og arkitektur

I dette kapittelet lærer du å analysere andregradsfunksjoner og finne viktige punkter som toppunkt, bunnpunkt og nullpunkter.

Andregradsfunksjon

f(x) = ax^2 + bx + c

✏️Eksempel 1: Kjenne igjen andregradsfunksjoner

Hvilke av disse er andregradsfunksjoner?

a) $f(x) = x^2 + 3x - 2$
b) $g(x) = 2x + 5$
c) $h(x) = -3x^2 + 1$
d) $k(x) = x^3 - x^2$

Løsning:

a) $f(x) = x^2 + 3x - 2$ ✓ Andregradsfunksjon ( $a = 1$ , $b = 3$ , $c = -2$ )

b) $g(x) = 2x + 5$ ✗ Lineær funksjon (ingen $x^2$ -ledd)

c) $h(x) = -3x^2 + 1$ ✓ Andregradsfunksjon ( $a = -3$ , $b = 0$ , $c = 1$ )

d) $k(x) = x^3 - x^2$ ✗ Tredjegradsfunksjon (høyeste potens er 3)

📝Oppgave 1

Avgjør om funksjonene er andregradsfunksjoner. Hvis ja, finn $a$ , $b$ og $c$ .

f(x) = 2x^2 - 4x + 1

g(x) = -x^2 + 5

h(x) = 3x - 7

k(x) = x^2

m(x) = 4 - x^2 + 2x

n(x) = (x+1)(x-3)

Løs oppgaven Tren

Parabelens form

Koeffisienten $a$ bestemmer parabelens form:

- Hvis $a > 0$ : Parabelen åpner oppover (smilefjes) og har et bunnpunkt
- Hvis $a < 0$ : Parabelen åpner nedover (sur munn) og har et toppunkt
- Jo større $|a|$ er, desto smalere er parabelen
- Jo mindre $|a|$ er, desto bredere er parabelen

📝Oppgave 2

Avgjør om parabelen åpner oppover eller nedover, og om den har toppunkt eller bunnpunkt.

f(x) = x^2 + 2x - 3

g(x) = -2x^2 + 4x

h(x) = 3x^2 - 6

k(x) = -0{,}5x^2 + x + 2

Løs oppgaven Tren

Symmetrilinje og toppunkt/bunnpunkt

En parabel er symmetrisk om en vertikal linje kalt symmetrilinjen.

Symmetrilinjen har likningen:
$x = -\frac{b}{2a}$

Toppunktet/bunnpunktet ligger på symmetrilinjen. For å finne $y$ -koordinaten setter vi $x$ -verdien inn i funksjonen.

Toppunkt og bunnpunkt

f(x) = ax^2 + bx + c

✏️Eksempel 2: Finne toppunkt/bunnpunkt

Finn toppunkt eller bunnpunkt for:

a) $f(x) = x^2 - 4x + 3$
b) $g(x) = -2x^2 + 8x - 5$

Løsning:

a) $f(x) = x^2 - 4x + 3$ (her er $a = 1$ , $b = -4$ )

$x$ -koordinat: $\displaystyle x = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

$y$ -koordinat: $f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$

Siden $a = 1 > 0$ , har vi bunnpunkt $(2, -1)$

b) $g(x) = -2x^2 + 8x - 5$ (her er $a = -2$ , $b = 8$ )

$x$ -koordinat: $\displaystyle x = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$

$y$ -koordinat: $g(2) = -2 \cdot 2^2 + 8 \cdot 2 - 5 = -8 + 16 - 5 = 3$

Siden $a = -2 < 0$ , har vi toppunkt $(2, 3)$

📝Oppgave 3

Finn symmetrilinjen og toppunkt/bunnpunkt for funksjonene.

f(x) = x^2 - 6x + 5

g(x) = -x^2 + 4x - 3

h(x) = 2x^2 + 8x + 6

k(x) = -3x^2 + 6x

Løs oppgaven Tren

Nullpunkter

Nullpunktene er der parabelen krysser $x$ -aksen, altså der $f(x) = 0$ .

For å finne nullpunktene løser vi andregradslikningen:
$ax^2 + bx + c = 0$

Vi kan bruke:
- Faktorisering (hvis mulig)
- Abc-formelen: $\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Diskriminanten $D = b^2 - 4ac$ forteller oss:
- $D > 0$ : To nullpunkter
- $D = 0$ : Ett nullpunkt (parabelen tangerer $x$ -aksen)
- $D < 0$ : Ingen nullpunkter

✏️Eksempel 3: Finne nullpunkter

Finn nullpunktene for $f(x) = x^2 - 5x + 6$ .

Løsning:

Vi løser $x^2 - 5x + 6 = 0$ .

Metode 1: Faktorisering
Vi leter etter to tall som multiplisert gir 6 og addert gir -5.
$(-2) \cdot (-3) = 6$ og $(-2) + (-3) = -5$

$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0$

$x = 2$ eller $x = 3$

Metode 2: Abc-formelen
$a = 1$ , $b = -5$ , $c = 6$

$\displaystyle x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}$

$\displaystyle x = \frac{5 + 1}{2} = 3$ eller $\displaystyle x = \frac{5 - 1}{2} = 2$

Svar: Nullpunktene er $x = 2$ og $x = 3$

📝Oppgave 4

Finn nullpunktene for funksjonene (bruk faktorisering eller abc-formelen).

f(x) = x^2 - 7x + 12

g(x) = x^2 + 2x - 8

h(x) = x^2 - 9

k(x) = 2x^2 - 6x

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Bruk abc-formelen til å finne nullpunktene.

f(x) = x^2 - 4x + 2

g(x) = 2x^2 + 3x - 2

h(x) = x^2 + 2x + 5

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Tegn parabelen i GeoGebra og finn toppunkt/bunnpunkt og nullpunkter.

📝Oppgave 7

Regn ut funksjonsverdier.

La $f(x) = x^2 - 3x + 2$ . Finn $f(0)$ , $f(1)$ og $f(4)$ .

La $g(x) = -2x^2 + 4x + 1$ . Finn $g(-1)$ , $g(0)$ og $g(2)$ .

Løs oppgaven Tren

Praktiske anvendelser

Andregradsfunksjoner brukes til å modellere mange situasjoner:
- Kastebevegelser: Høyden til en ball som kastes
- Areal: Areal av rektangler med gitt omkrets
- Økonomi: Fortjeneste som funksjon av pris eller produksjonsmengde

✏️Eksempel 4: Kastebevegelse

En ball kastes rett opp. Høyden (i meter) etter

t

sekunder er gitt ved:

h(t) = -5t^2 + 20t + 2

a) Hvor høyt er ballen etter 2 sekunder?
b) Når er ballen på det høyeste?
c) Hva er maksimalhøyden?

Løsning:

a) $h(2) = -5 \cdot 2^2 + 20 \cdot 2 + 2 = -20 + 40 + 2 = 22$ meter

b) $\displaystyle t = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2 \cdot (-5)} = -\frac{20}{-10} = 2$ sekunder

c) Maksimalhøyde: $h(2) = 22$ meter

📝Oppgave 8

En ball kastes fra bakken. Høyden er gitt ved $h(t) = -5t^2 + 30t$ meter.

Hvor høyt er ballen etter 1 sekund?

Når er ballen på det høyeste?

Hva er maksimalhøyden?

Når lander ballen?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Et rektangel skal ha omkrets 40 cm.

Hvis bredden er $x$ cm, hva blir lengden?

Sett opp en funksjon $A(x)$ for arealet.

Finn dimensjonene som gir størst areal.

Hva er det største arealet?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

En bedrift selger et produkt. Fortjenesten (i kr) ved å produsere $x$ enheter er gitt ved: $F(x) = -2x^2 + 80x - 600$

Ved hvor mange enheter er fortjenesten størst?

Hva er den største fortjenesten?

Ved hvilke produksjonsmengder går bedriften i null?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 11

Avgjør hvor mange nullpunkter funksjonen har (beregn diskriminanten).

f(x) = x^2 - 6x + 9

g(x) = x^2 + 4x + 5

h(x) = 2x^2 - 3x - 2

k(x) = -x^2 + 8x - 16

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

En tunnel har parabelformet åpning. Bredden ved bakken er 10 meter og høyden i midten er 6 meter.

Sett opp en funksjon $h(x)$ for høyden der $x$ er avstanden fra midten.

Hva er høyden 2 meter fra midten?

Hvor bred er tunnelen i 4 meters høyde?

📝Oppgave 13

Sammenlign parablene.

Hvilken parabel er smalest: $f(x) = x^2$ , $g(x) = 2x^2$ eller $h(x) = 0{,}5x^2$ ?

Hvordan påvirker $c$ grafens posisjon i $f(x) = x^2 + c$ ?

Skriv funksjonsuttrykket for parabelen $f(x) = x^2$ flyttet 3 enheter opp.

📝Oppgave 14

Avansert: Finn funksjonsuttrykket fra informasjon.

Parabelen har bunnpunkt $(2, -3)$ og går gjennom $(0, 1)$ . Finn funksjonsuttrykket.

Parabelen har nullpunkter $x = 1$ og $x = 5$ , og går gjennom $(0, 10)$ . Finn funksjonsuttrykket.

Parabeler, toppunkt/bunnpunkt og symmetrilinje.

55 min

14 oppgaver

AndregradsfunksjonParabelToppunktBunnpunktSymmetrilinje

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Innledning

I dette kapittelet lærer du å analysere andregradsfunksjoner og finne viktige punkter som toppunkt, bunnpunkt og nullpunkter.

Andregradsfunksjon

f(x) = ax^2 + bx + c

✏️Eksempel 1: Kjenne igjen andregradsfunksjoner

Hvilke av disse er andregradsfunksjoner?

a) $f(x) = x^2 + 3x - 2$
b) $g(x) = 2x + 5$
c) $h(x) = -3x^2 + 1$
d) $k(x) = x^3 - x^2$

Løsning:

a) $f(x) = x^2 + 3x - 2$ ✓ Andregradsfunksjon ( $a = 1$ , $b = 3$ , $c = -2$ )

b) $g(x) = 2x + 5$ ✗ Lineær funksjon (ingen $x^2$ -ledd)

c) $h(x) = -3x^2 + 1$ ✓ Andregradsfunksjon ( $a = -3$ , $b = 0$ , $c = 1$ )

d) $k(x) = x^3 - x^2$ ✗ Tredjegradsfunksjon (høyeste potens er 3)

📝Oppgave 1

Avgjør om funksjonene er andregradsfunksjoner. Hvis ja, finn $a$ , $b$ og $c$ .

f(x) = 2x^2 - 4x + 1

g(x) = -x^2 + 5

h(x) = 3x - 7

k(x) = x^2

m(x) = 4 - x^2 + 2x

n(x) = (x+1)(x-3)

Løs oppgaven Tren

Parabelens form

Koeffisienten $a$ bestemmer parabelens form:

📝Oppgave 2

Avgjør om parabelen åpner oppover eller nedover, og om den har toppunkt eller bunnpunkt.

f(x) = x^2 + 2x - 3

g(x) = -2x^2 + 4x

h(x) = 3x^2 - 6

k(x) = -0{,}5x^2 + x + 2

Løs oppgaven Tren

Symmetrilinje og toppunkt/bunnpunkt

En parabel er symmetrisk om en vertikal linje kalt symmetrilinjen.

Symmetrilinjen har likningen:
$x = -\frac{b}{2a}$

Toppunktet/bunnpunktet ligger på symmetrilinjen. For å finne $y$ -koordinaten setter vi $x$ -verdien inn i funksjonen.

Toppunkt og bunnpunkt

f(x) = ax^2 + bx + c

✏️Eksempel 2: Finne toppunkt/bunnpunkt

Finn toppunkt eller bunnpunkt for:

a) $f(x) = x^2 - 4x + 3$
b) $g(x) = -2x^2 + 8x - 5$

Løsning:

a) $f(x) = x^2 - 4x + 3$ (her er $a = 1$ , $b = -4$ )

$x$ -koordinat: $\displaystyle x = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

$y$ -koordinat: $f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$

Siden $a = 1 > 0$ , har vi bunnpunkt $(2, -1)$

b) $g(x) = -2x^2 + 8x - 5$ (her er $a = -2$ , $b = 8$ )

$x$ -koordinat: $\displaystyle x = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$

$y$ -koordinat: $g(2) = -2 \cdot 2^2 + 8 \cdot 2 - 5 = -8 + 16 - 5 = 3$

Siden $a = -2 < 0$ , har vi toppunkt $(2, 3)$

📝Oppgave 3

Finn symmetrilinjen og toppunkt/bunnpunkt for funksjonene.

f(x) = x^2 - 6x + 5

g(x) = -x^2 + 4x - 3

h(x) = 2x^2 + 8x + 6

k(x) = -3x^2 + 6x

Løs oppgaven Tren

Nullpunkter

Nullpunktene er der parabelen krysser $x$ -aksen, altså der $f(x) = 0$ .

For å finne nullpunktene løser vi andregradslikningen:
$ax^2 + bx + c = 0$

Vi kan bruke:
- Faktorisering (hvis mulig)
- Abc-formelen: $\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Diskriminanten $D = b^2 - 4ac$ forteller oss:
- $D > 0$ : To nullpunkter
- $D = 0$ : Ett nullpunkt (parabelen tangerer $x$ -aksen)
- $D < 0$ : Ingen nullpunkter

✏️Eksempel 3: Finne nullpunkter

Finn nullpunktene for $f(x) = x^2 - 5x + 6$ .

Løsning:

Vi løser $x^2 - 5x + 6 = 0$ .

Metode 1: Faktorisering
Vi leter etter to tall som multiplisert gir 6 og addert gir -5.
$(-2) \cdot (-3) = 6$ og $(-2) + (-3) = -5$

$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0$

$x = 2$ eller $x = 3$

Metode 2: Abc-formelen
$a = 1$ , $b = -5$ , $c = 6$

$\displaystyle x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}$

$\displaystyle x = \frac{5 + 1}{2} = 3$ eller $\displaystyle x = \frac{5 - 1}{2} = 2$

Svar: Nullpunktene er $x = 2$ og $x = 3$

📝Oppgave 4

Finn nullpunktene for funksjonene (bruk faktorisering eller abc-formelen).

f(x) = x^2 - 7x + 12

g(x) = x^2 + 2x - 8

h(x) = x^2 - 9

k(x) = 2x^2 - 6x

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Bruk abc-formelen til å finne nullpunktene.

f(x) = x^2 - 4x + 2

g(x) = 2x^2 + 3x - 2

h(x) = x^2 + 2x + 5

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Tegn parabelen i GeoGebra og finn toppunkt/bunnpunkt og nullpunkter.

📝Oppgave 7

Regn ut funksjonsverdier.

La $f(x) = x^2 - 3x + 2$ . Finn $f(0)$ , $f(1)$ og $f(4)$ .

La $g(x) = -2x^2 + 4x + 1$ . Finn $g(-1)$ , $g(0)$ og $g(2)$ .

Løs oppgaven Tren

Praktiske anvendelser

✏️Eksempel 4: Kastebevegelse

En ball kastes rett opp. Høyden (i meter) etter

t

sekunder er gitt ved:

h(t) = -5t^2 + 20t + 2

a) Hvor høyt er ballen etter 2 sekunder?
b) Når er ballen på det høyeste?
c) Hva er maksimalhøyden?

Løsning:

a) $h(2) = -5 \cdot 2^2 + 20 \cdot 2 + 2 = -20 + 40 + 2 = 22$ meter

b) $\displaystyle t = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2 \cdot (-5)} = -\frac{20}{-10} = 2$ sekunder

c) Maksimalhøyde: $h(2) = 22$ meter

📝Oppgave 8

En ball kastes fra bakken. Høyden er gitt ved $h(t) = -5t^2 + 30t$ meter.

Hvor høyt er ballen etter 1 sekund?

Når er ballen på det høyeste?

Hva er maksimalhøyden?

Når lander ballen?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Et rektangel skal ha omkrets 40 cm.

Hvis bredden er $x$ cm, hva blir lengden?

Sett opp en funksjon $A(x)$ for arealet.

Finn dimensjonene som gir størst areal.

Hva er det største arealet?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

En bedrift selger et produkt. Fortjenesten (i kr) ved å produsere $x$ enheter er gitt ved: $F(x) = -2x^2 + 80x - 600$

Ved hvor mange enheter er fortjenesten størst?

Hva er den største fortjenesten?

Ved hvilke produksjonsmengder går bedriften i null?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 11

Avgjør hvor mange nullpunkter funksjonen har (beregn diskriminanten).

f(x) = x^2 - 6x + 9

g(x) = x^2 + 4x + 5

h(x) = 2x^2 - 3x - 2

k(x) = -x^2 + 8x - 16

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

En tunnel har parabelformet åpning. Bredden ved bakken er 10 meter og høyden i midten er 6 meter.

Sett opp en funksjon $h(x)$ for høyden der $x$ er avstanden fra midten.

Hva er høyden 2 meter fra midten?

Hvor bred er tunnelen i 4 meters høyde?

📝Oppgave 13

Sammenlign parablene.

Hvilken parabel er smalest: $f(x) = x^2$ , $g(x) = 2x^2$ eller $h(x) = 0{,}5x^2$ ?

Hvordan påvirker $c$ grafens posisjon i $f(x) = x^2 + c$ ?

Skriv funksjonsuttrykket for parabelen $f(x) = x^2$ flyttet 3 enheter opp.

📝Oppgave 14

Avansert: Finn funksjonsuttrykket fra informasjon.

Parabelen har bunnpunkt $(2, -3)$ og går gjennom $(0, 1)$ . Finn funksjonsuttrykket.

Parabelen har nullpunkter $x = 1$ og $x = 5$ , og går gjennom $(0, 10)$ . Finn funksjonsuttrykket.