3.1 Lineære funksjoner

Innledning

En lineær funksjon er en funksjon der grafen er en rett linje. Lineære funksjoner brukes til å modellere situasjoner der noe øker eller minker jevnt, for eksempel:
- Prisen på en taxi som øker med antall kilometer
- Temperaturen som synker jevnt utover natten
- Lønn som øker med antall timer du jobber

I dette kapittelet skal vi lære om stigningstall, konstantledd, og hvordan vi finner skjæringspunkter mellom linjer.

Stigningstall

Stigningstallet $a$ forteller oss hvor bratt linjen er:
- Hvis $a > 0$: Linjen stiger (går oppover mot høyre)
- Hvis $a < 0$: Linjen synker (går nedover mot høyre)
- Hvis $a = 0$: Linjen er horisontal

Beregne stigningstall mellom to punkter:

Hvis vi har to punkter $(x_1, y_1)$ og $(x_2, y_2)$, kan vi beregne stigningstallet:

$$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Finne funksjonsuttrykket

For å finne funksjonsuttrykket $f(x) = ax + b$ når vi kjenner to punkter:

1. Beregn stigningstallet $a$ fra de to punktene
2. Sett inn ett av punktene i $f(x) = ax + b$ for å finne $b$

Nullpunkt

Nullpunktet er der grafen krysser $x$-aksen, altså der $f(x) = 0$.

For å finne nullpunktet løser vi likningen:
$$ax + b = 0$$
$$x = -\frac{b}{a}$$

Skjæringspunkt mellom linjer

For å finne skjæringspunktet mellom to linjer $f(x) = a_1x + b_1$ og $g(x) = a_2x + b_2$:

1. Sett $f(x) = g(x)$
2. Løs likningen for å finne $x$
3. Sett $x$-verdien inn i en av funksjonene for å finne $y$

Praktiske anvendelser

Lineære funksjoner brukes ofte til å modellere situasjoner i dagliglivet:
- Taxi-pris: Fast startpris + pris per kilometer
- Mobilabonnement: Fast månedspris + pris per minutt/SMS
- Lønn: Fast timelønn ganger antall timer