3.3 Praktiske funksjoner | Matematikk 10. klasse

Bruke funksjoner til å modellere praktiske situasjoner.

50 min

12 oppgaver

ModelleringPraktiske problemerTolkningAnvendelser

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Innledning

I dette kapittelet skal vi bruke funksjoner til å modellere situasjoner fra virkeligheten. Vi skal:
- Lese og tolke grafer
- Sette opp funksjoner fra tekstoppgaver
- Løse praktiske problemer med funksjoner

Funksjoner er et kraftig verktøy for å forstå sammenhenger og gjøre beregninger i mange ulike situasjoner.

Tolke grafer

Når vi leser en graf, kan vi hente ut mye informasjon:
- Startverdi: Verdien når $x = 0$ (der grafen krysser $y$ -aksen)
- Nullpunkter: Der grafen krysser $x$ -aksen
- Stigning/fall: Når grafen går oppover eller nedover
- Ekstremalpunkter: Topp- og bunnpunkter
- Vekstrate: Hvor bratt grafen stiger eller synker

✏️Eksempel 1: Tolke temperaturkurve

Temperaturen i et rom måles over 12 timer. Ved start er temperaturen 15°C. Den stiger jevnt til 24°C etter 6 timer, og synker så til 18°C etter 12 timer.

a) Tegn en skisse av temperaturkurven.
b) Når var temperaturen høyest?
c) Med hvor mange grader steg temperaturen per time de første 6 timene?

Løsning:

a) Kurven starter ved $(0, 15)$ , går opp til $(6, 24)$ , og ned til $(12, 18)$ .

b) Temperaturen var høyest etter 6 timer (24°C).

c) Stigning per time: $\displaystyle \frac{24 - 15}{6 - 0} = \frac{9}{6} = 1{,}5$ °C per time

📝Oppgave 1

En tank fylles med vann. Ved start er det 100 liter i tanken. Etter 5 minutter er det 250 liter.

Hvor mange liter fylles per minutt?

Sett opp en funksjon $V(t)$ for vannmengden etter $t$ minutter.

Hvor lang tid tar det å fylle tanken til 400 liter?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

En bil kjører fra Oslo. Distansen fra Oslo (i km) er gitt ved $s(t) = 80t$ , der $t$ er antall timer.

Hva er farten til bilen?

Hvor langt har bilen kjørt etter 2,5 timer?

Hvor lang tid tar det å kjøre 360 km?

Løs oppgaven Tren

Sette opp funksjoner fra tekst

For å sette opp en funksjon fra en praktisk situasjon:

1. Identifiser variablene: Hva er $x$ (uavhengig variabel) og hva er $f(x)$ (avhengig variabel)?
2. Finn sammenhengen: Er det en fast verdi pluss noe som varierer? (lineær)
3. Skriv funksjonsuttrykket: Bruk informasjonen til å finne koeffisientene.
4. Sjekk: Sett inn kjente verdier for å verifisere at funksjonen stemmer.

✏️Eksempel 2: Billettpris

Et museum tar 50 kr i inngang. Barn betaler halv pris. En gruppe består av $v$ voksne og $b$ barn.

a) Sett opp en funksjon for totalpris $P(v, b)$ .
b) Hva koster det for 3 voksne og 4 barn?

Løsning:

a) Voksne: 50 kr, Barn: 25 kr
$P(v, b) = 50v + 25b$

b) $P(3, 4) = 50 \cdot 3 + 25 \cdot 4 = 150 + 100 = 250$ kr

📝Oppgave 3

En strømregning består av et fastbeløp på 200 kr/mnd pluss 1,20 kr per kWh.

Sett opp en funksjon $K(x)$ for månedskostnaden der $x$ er forbruket i kWh.

Hva blir regningen ved forbruk på 350 kWh?

Hvor mange kWh kan du bruke hvis budsjettet er 500 kr?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

En bedrift leier ut sykler. Prisen er 50 kr + 20 kr per time.

Sett opp en funksjon $P(t)$ for leieprisen der $t$ er antall timer.

Lag en tabell med priser for 1, 2, 3, 4 og 5 timer.

Tegn grafen.

Hvor mange timer kan du leie for 170 kr?

Sammenligne alternativer

Funksjoner er nyttige for å sammenligne ulike alternativer, for eksempel:
- Hvilket mobilabonnement er billigst?
- Når lønner det seg å velge dagskort fremfor enkeltbilletter?
- Hvilken strømleverandør er best for meg?

For å sammenligne finner vi ofte skjæringspunktet mellom funksjonene.

✏️Eksempel 3: Sammenligne treningssentre

To treningssentre tilbyr:
- Senter A: 300 kr/mnd + 30 kr per trening
- Senter B: 600 kr/mnd med ubegrenset trening

Ved hvor mange treningsøkter per måned er de like dyre?

Løsning:

La $x$ være antall treningsøkter per måned.

Senter A: $K_A(x) = 30x + 300$
Senter B: $K_B(x) = 600$

Finn skjæringspunktet:
$30x + 300 = 600$
$30x = 300$
$x = 10$

Svar: Ved 10 treningsøkter er de like dyre.
- Færre enn 10 økter: Senter A er billigst
- Flere enn 10 økter: Senter B er billigst

📝Oppgave 5

To parkeringsplasser tilbyr:

Parkering A koster 30 kr første time + 20 kr per ekstra time. Parkering B koster 15 kr per time. Sett opp funksjoner.

Ved hvor mange timer er de like dyre?

Hvilken parkering lønner seg for 4 timers parkering?

📝Oppgave 6

En kjøpmann vurderer to leverandører for epler:

Leverandør A: 5 kr per kg. Leverandør B: 100 kr fast + 3 kr per kg. Sett opp funksjoner for kostnad.

Ved hvilken mengde er leverandørene like dyre?

Hvilken leverandør lønner seg ved innkjøp av 80 kg?

📝Oppgave 7

En spareplan gir rente. Etter $t$ år er saldoen $S(t) = 10000 \cdot 1{,}03^t$ kr.

Hvor mye er det på kontoen ved start?

Hvor mye er det etter 5 år?

Hva er renten per år?

📝Oppgave 8

Modeller og visualiser i GeoGebra.

📝Oppgave 9

En rakett skytes opp. Høyden (i meter) etter $t$ sekunder er $h(t) = -5t^2 + 100t$ .

Hvor høyt er raketten etter 5 sekunder?

Når er raketten på det høyeste?

Hva er maksimalhøyden?

Når lander raketten?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

En bonde har 60 meter gjerde og vil lage en rektangulær innhegning langs en vegg (veggen er den ene siden).

Hvis bredden er $x$ meter, hva blir lengden?

Sett opp en funksjon $A(x)$ for arealet.

Finn dimensjonene som gir størst areal.

Hva er det største arealet?

📝Oppgave 11

En kaffekopp med temperatur 90°C avkjøles. Temperaturen etter $t$ minutter er omtrent $T(t) = 20 + 70 \cdot 0{,}95^t$ .

Hva er temperaturen ved start?

Hva er temperaturen etter 10 minutter?

Hva blir temperaturen til slutt (når $t \to \infty$ )?

📝Oppgave 12

Samlet oppgave: En bedrift produserer og selger et produkt. Kostnad: $K(x) = 20x + 500$ kr. Inntekt: $I(x) = 50x$ kr.

Sett opp en funksjon $F(x)$ for fortjenesten.

Ved hvor mange solgte enheter går bedriften i null?

Hva er fortjenesten ved salg av 50 enheter?

Tegn grafene for $K(x)$ , $I(x)$ og $F(x)$ i samme koordinatsystem.

Bruke funksjoner til å modellere praktiske situasjoner.

50 min

12 oppgaver

ModelleringPraktiske problemerTolkningAnvendelser

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Innledning

Funksjoner er et kraftig verktøy for å forstå sammenhenger og gjøre beregninger i mange ulike situasjoner.

Tolke grafer

✏️Eksempel 1: Tolke temperaturkurve

Temperaturen i et rom måles over 12 timer. Ved start er temperaturen 15°C. Den stiger jevnt til 24°C etter 6 timer, og synker så til 18°C etter 12 timer.

a) Tegn en skisse av temperaturkurven.
b) Når var temperaturen høyest?
c) Med hvor mange grader steg temperaturen per time de første 6 timene?

Løsning:

a) Kurven starter ved $(0, 15)$ , går opp til $(6, 24)$ , og ned til $(12, 18)$ .

b) Temperaturen var høyest etter 6 timer (24°C).

c) Stigning per time: $\displaystyle \frac{24 - 15}{6 - 0} = \frac{9}{6} = 1{,}5$ °C per time

📝Oppgave 1

En tank fylles med vann. Ved start er det 100 liter i tanken. Etter 5 minutter er det 250 liter.

Hvor mange liter fylles per minutt?

Sett opp en funksjon $V(t)$ for vannmengden etter $t$ minutter.

Hvor lang tid tar det å fylle tanken til 400 liter?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

En bil kjører fra Oslo. Distansen fra Oslo (i km) er gitt ved $s(t) = 80t$ , der $t$ er antall timer.

Hva er farten til bilen?

Hvor langt har bilen kjørt etter 2,5 timer?

Hvor lang tid tar det å kjøre 360 km?

Løs oppgaven Tren

Sette opp funksjoner fra tekst

For å sette opp en funksjon fra en praktisk situasjon:

✏️Eksempel 2: Billettpris

Et museum tar 50 kr i inngang. Barn betaler halv pris. En gruppe består av $v$ voksne og $b$ barn.

a) Sett opp en funksjon for totalpris $P(v, b)$ .
b) Hva koster det for 3 voksne og 4 barn?

Løsning:

a) Voksne: 50 kr, Barn: 25 kr
$P(v, b) = 50v + 25b$

b) $P(3, 4) = 50 \cdot 3 + 25 \cdot 4 = 150 + 100 = 250$ kr

📝Oppgave 3

En strømregning består av et fastbeløp på 200 kr/mnd pluss 1,20 kr per kWh.

Sett opp en funksjon $K(x)$ for månedskostnaden der $x$ er forbruket i kWh.

Hva blir regningen ved forbruk på 350 kWh?

Hvor mange kWh kan du bruke hvis budsjettet er 500 kr?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

En bedrift leier ut sykler. Prisen er 50 kr + 20 kr per time.

Sett opp en funksjon $P(t)$ for leieprisen der $t$ er antall timer.

Lag en tabell med priser for 1, 2, 3, 4 og 5 timer.

Tegn grafen.

Hvor mange timer kan du leie for 170 kr?

Sammenligne alternativer

For å sammenligne finner vi ofte skjæringspunktet mellom funksjonene.

✏️Eksempel 3: Sammenligne treningssentre

To treningssentre tilbyr:
- Senter A: 300 kr/mnd + 30 kr per trening
- Senter B: 600 kr/mnd med ubegrenset trening

Ved hvor mange treningsøkter per måned er de like dyre?

Løsning:

La $x$ være antall treningsøkter per måned.

Senter A: $K_A(x) = 30x + 300$
Senter B: $K_B(x) = 600$

Finn skjæringspunktet:
$30x + 300 = 600$
$30x = 300$
$x = 10$

Svar: Ved 10 treningsøkter er de like dyre.
- Færre enn 10 økter: Senter A er billigst
- Flere enn 10 økter: Senter B er billigst

📝Oppgave 5

To parkeringsplasser tilbyr:

Parkering A koster 30 kr første time + 20 kr per ekstra time. Parkering B koster 15 kr per time. Sett opp funksjoner.

Ved hvor mange timer er de like dyre?

Hvilken parkering lønner seg for 4 timers parkering?

📝Oppgave 6

En kjøpmann vurderer to leverandører for epler:

Leverandør A: 5 kr per kg. Leverandør B: 100 kr fast + 3 kr per kg. Sett opp funksjoner for kostnad.

Ved hvilken mengde er leverandørene like dyre?

Hvilken leverandør lønner seg ved innkjøp av 80 kg?

📝Oppgave 7

En spareplan gir rente. Etter $t$ år er saldoen $S(t) = 10000 \cdot 1{,}03^t$ kr.

Hvor mye er det på kontoen ved start?

Hvor mye er det etter 5 år?

Hva er renten per år?

📝Oppgave 8

Modeller og visualiser i GeoGebra.

📝Oppgave 9

En rakett skytes opp. Høyden (i meter) etter $t$ sekunder er $h(t) = -5t^2 + 100t$ .

Hvor høyt er raketten etter 5 sekunder?

Når er raketten på det høyeste?

Hva er maksimalhøyden?

Når lander raketten?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

En bonde har 60 meter gjerde og vil lage en rektangulær innhegning langs en vegg (veggen er den ene siden).

Hvis bredden er $x$ meter, hva blir lengden?

Sett opp en funksjon $A(x)$ for arealet.

Finn dimensjonene som gir størst areal.

Hva er det største arealet?

📝Oppgave 11

En kaffekopp med temperatur 90°C avkjøles. Temperaturen etter $t$ minutter er omtrent $T(t) = 20 + 70 \cdot 0{,}95^t$ .

Hva er temperaturen ved start?

Hva er temperaturen etter 10 minutter?

Hva blir temperaturen til slutt (når $t \to \infty$ )?

📝Oppgave 12

Samlet oppgave: En bedrift produserer og selger et produkt. Kostnad: $K(x) = 20x + 500$ kr. Inntekt: $I(x) = 50x$ kr.

Sett opp en funksjon $F(x)$ for fortjenesten.

Ved hvor mange solgte enheter går bedriften i null?

Hva er fortjenesten ved salg av 50 enheter?

Tegn grafene for $K(x)$ , $I(x)$ og $F(x)$ i samme koordinatsystem.