2.4 Ulikheter

Løse første- og andregradsulikheter.

50 min

12 oppgaver

UlikheterFørstegradsulikhetAndregradsulikhetFortegnslinje

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Ulikheter er matematiske utsagn som beskriver at en størrelse er større eller mindre enn en annen. Vi skal lære aa løse ulikheter og uttrykke løsningene.

Ulikheter

<

✏️Eksempel 1: Førstegradsulikheter

Løs ulikhetene:
a) $3x - 7 > 8$
b) $-2x + 5 \leq 11$

a)
$3x - 7 > 8$
$3x > 15$
$x > 5$

b)
$-2x + 5 \leq 11$
$-2x \leq 6$
$x \geq -3$ (snur tegnet!)

📝Oppgave 2.4.1

Løs ulikhetene.

Løs $4x + 3 > 19$

Løs $5 - 2x \geq 13$

Løs $3(x - 2) < 2(x + 1)$

Løs $\displaystyle \frac{x - 1}{3} \leq 2$

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 2: Doble ulikheter

Løs ulikheten $-3 < 2x + 1 \leq 7$

Trekker fra 1 fra alle ledd:
$-4 < 2x \leq 6$

Deler på 2:
$-2 < x \leq 3$

Løsningsmengden er alle $x$ slik at $-2 < x \leq 3$ .

📝Oppgave 2.4.2

Løs de doble ulikhetene.

Løs $1 < 3x - 2 < 10$

Løs $-5 \leq 2x + 3 \leq 9$

Løs $\displaystyle 0 < \frac{x + 1}{2} \leq 4$

Løs $-2 < 1 - x < 5$

Løs oppgaven Tren

Fortegnsskjema

For aa løse andregradsulikheter bruker vi fortegnsskjema : 1. Finn nullpunktene til uttrykket 2. Tegn en tallinje med nullpunktene 3. Bestem fortegnet i hvert intervall 4. Les av løsningen

✏️Eksempel 3: Andregradsulikheter

Løs ulikheten $x^2 - 4x - 5 > 0$

Faktorserer: $(x - 5)(x + 1) > 0$

Nullpunkter: $x = 5$ og $x = -1$

Fortegnsskjema:
- For $x < -1$ : $(-)(-) = +$ (positiv)
- For $-1 < x < 5$ : $(+)(-) = -$ (negativ)
- For $x > 5$ : $(+)(+) = +$ (positiv)

Løsning: $x < -1$ eller $x > 5$

📝Oppgave 2.4.3

Løs andregradsulikhetene.

Løs $x^2 - 9 > 0$

Løs $x^2 - 2x - 8 \leq 0$

Løs $x^2 + 4x + 3 < 0$

Løs $x^2 - 6x + 9 \geq 0$

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 4: Praktisk anvendelse

En ball kastes opp. Høyden (i meter) etter $t$ sekunder er $h(t) = -5t^2 + 20t$ . Når er ballen høyere enn 15 meter?

-5t^2 + 20t > 15

-5t^2 + 20t - 15 > 0

t^2 - 4t + 3 < 0

(deler på -5, snur tegnet)

(t - 1)(t - 3) < 0

$1 < t < 3$

Ballen er høyere enn 15 meter mellom 1 og 3 sekunder.

📝Oppgave 2.4.4

Løs praktiske problemer med ulikheter.

Arealet av et rektangel med bredde $x$ og lengde $(x + 4)$ skal være minst 45 cm^2. Finn mulige verdier for $x$ .

En ball kastes med høyde $h(t) = -4t^2 + 24t$ . Når er ballen over 32 meter?

En produsent har fortjeneste $P(x) = -2x^2 + 100x - 800$ kr ved salg av $x$ enheter. For hvilke $x$ er fortjenesten positiv?

Løs oppgaven Tren

Matematikk 10. klasseTilbake

2.4 Ulikheter

Løse første- og andregradsulikheter.

50 min

12 oppgaver

UlikheterFørstegradsulikhetAndregradsulikhetFortegnslinje

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Ulikheter er matematiske utsagn som beskriver at en størrelse er større eller mindre enn en annen. Vi skal lære aa løse ulikheter og uttrykke løsningene.

Ulikheter

<

✏️Eksempel 1: Førstegradsulikheter

Løs ulikhetene:
a) $3x - 7 > 8$
b) $-2x + 5 \leq 11$

a)
$3x - 7 > 8$
$3x > 15$
$x > 5$

b)
$-2x + 5 \leq 11$
$-2x \leq 6$
$x \geq -3$ (snur tegnet!)

📝Oppgave 2.4.1

Løs ulikhetene.

Løs $4x + 3 > 19$

Løs $5 - 2x \geq 13$

Løs $3(x - 2) < 2(x + 1)$

Løs $\displaystyle \frac{x - 1}{3} \leq 2$

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 2: Doble ulikheter

Løs ulikheten $-3 < 2x + 1 \leq 7$

Trekker fra 1 fra alle ledd:
$-4 < 2x \leq 6$

Deler på 2:
$-2 < x \leq 3$

Løsningsmengden er alle $x$ slik at $-2 < x \leq 3$ .

📝Oppgave 2.4.2

Løs de doble ulikhetene.

Løs $1 < 3x - 2 < 10$

Løs $-5 \leq 2x + 3 \leq 9$

Løs $\displaystyle 0 < \frac{x + 1}{2} \leq 4$

Løs $-2 < 1 - x < 5$

Løs oppgaven Tren

Fortegnsskjema

For aa løse andregradsulikheter bruker vi fortegnsskjema : 1. Finn nullpunktene til uttrykket 2. Tegn en tallinje med nullpunktene 3. Bestem fortegnet i hvert intervall 4. Les av løsningen

✏️Eksempel 3: Andregradsulikheter

Løs ulikheten $x^2 - 4x - 5 > 0$

Faktorserer: $(x - 5)(x + 1) > 0$

Nullpunkter: $x = 5$ og $x = -1$

Fortegnsskjema:
- For $x < -1$ : $(-)(-) = +$ (positiv)
- For $-1 < x < 5$ : $(+)(-) = -$ (negativ)
- For $x > 5$ : $(+)(+) = +$ (positiv)

Løsning: $x < -1$ eller $x > 5$

📝Oppgave 2.4.3

Løs andregradsulikhetene.

Løs $x^2 - 9 > 0$

Løs $x^2 - 2x - 8 \leq 0$

Løs $x^2 + 4x + 3 < 0$

Løs $x^2 - 6x + 9 \geq 0$

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 4: Praktisk anvendelse

En ball kastes opp. Høyden (i meter) etter $t$ sekunder er $h(t) = -5t^2 + 20t$ . Når er ballen høyere enn 15 meter?

-5t^2 + 20t > 15

-5t^2 + 20t - 15 > 0

t^2 - 4t + 3 < 0

(deler på -5, snur tegnet)

(t - 1)(t - 3) < 0

$1 < t < 3$

Ballen er høyere enn 15 meter mellom 1 og 3 sekunder.

📝Oppgave 2.4.4

Løs praktiske problemer med ulikheter.

Arealet av et rektangel med bredde $x$ og lengde $(x + 4)$ skal være minst 45 cm^2. Finn mulige verdier for $x$ .

En ball kastes med høyde $h(t) = -4t^2 + 24t$ . Når er ballen over 32 meter?

En produsent har fortjeneste $P(x) = -2x^2 + 100x - 800$ kr ved salg av $x$ enheter. For hvilke $x$ er fortjenesten positiv?

Løs oppgaven Tren

2.4 Ulikheter | Matematikk 10. klasse | Eksamenssett