Del 1 – Uten hjelpemidler

Oppgave 1

Påstand 1

Fra diagrammet leser vi av at 65 % av elevene spiser lunsj på skolen 5 dager i uka.

Vi regner ut hva \(\frac{2}{3}\) tilsvarer i prosent:

65 % er nær \(66{,}7\,\%\), så det stemmer at det er «nesten \(\frac{2}{3}\)».

Påstand 2

Fra diagrammet:

• Lunsj 5 dager i uka: 65 %
• Grønnsaker, frukt eller bær 5 dager i uka: 21 %

Vi regner ut forholdet:

Dette er litt mer enn 3, så påstanden stemmer.

Påstand 3

Fra diagrammet for grønnsaker, frukt eller bær:

• 5 dager i uka: 21 %
• 3–4 dager i uka: 17 %

Summen av de som spiser grønnsaker, frukt eller bær 3 dager eller mer i uka:

\(38\,\%\) er langt fra \(60\,\%\), så påstanden er usann.

Påstand 4

Fra diagrammet for lunsj på skolen:

• 3–4 dager i uka: 17 %
• 1–2 dager i uka: 8 %

Summen av de som spiser lunsj 1–4 dager i uka:

Vi sjekker hva \(\frac{1}{4}\) er:

Påstanden stemmer.

Oppgave 2

a)

Skåringsprosenten er andelen mål av antall skudd:

b)

Etter tre kamper har Sander skutt totalt:

Skåringsprosenten er nå 60 %, som betyr at han har skåret på:

Han hadde 11 mål fra de to første kampene, så i den tredje kampen skåret han:

Oppgave 3

La oss kalle prisen for en salat \(s\) og prisen for en bagett \(b\).

Vi setter opp to likninger basert på informasjonen:

Vi ser at antall bagetter er likt i begge likningene (40 stk.). Vi kan trekke likning II fra likning I:

En salat koster 20 kroner. Vi setter dette inn i likning I for å finne prisen på en bagett:

Oppgave 4

Vi leser av to punkter fra grafen:

• Punkt 1: \((0,\; 6)\) – ved start er det 6 liter i tanken
• Punkt 2: \((30,\; 0)\) – etter 30 mil er tanken tom

Stigningstallet er gitt ved:

Stigningstallet er negativt fordi bensinmengden avtar når man kjører.

Oppgave 5

a)

En vanlig reisekoffert har typisk disse målene:

• Lengde: 70 cm
• Bredde: 45 cm
• Høyde: 25 cm

b)

Vi bruker målene fra oppgave a). Først regner vi om til dm (desimeter), der \(1\;\text{dm} = 10\;\text{cm}\):

• Lengde: \(70\;\text{cm} = 7{,}0\;\text{dm}\)
• Bredde: \(45\;\text{cm} = 4{,}5\;\text{dm}\)
• Høyde: \(25\;\text{cm} = 2{,}5\;\text{dm}\)

Volumet av et rektangulært prisme er:

Siden \(1\;\text{dm}^3 = 1\;\text{L}\):

Oppgave 6

a)

Vi setter inn \(a = 2\) og \(b = 10\):

Venstre side er lik høyre side, så tallparet stemmer.

b)

Vi må finne heltall \(a\) og \(b\) slik at \((a + 2)(b - 6) = 24\).

Vi finner faktorpar av 24. Produktet av de to parentesene skal være 24:

For eksempel: \(a = 4\) og \(b = 10\) gir:

Hvorfor finnes det flere løsninger? Tallet 24 kan skrives som et produkt av to heltall på mange ulike måter (24 har mange faktorpar). I tillegg kan man bruke negative faktorer (for eksempel \((-1) \cdot (-24) = 24\)), noe som gir enda flere løsninger. Hver faktorisering av 24 gir et nytt tallpar \((a, b)\).

Oppgave 7

c = #skriv inn lengden av trekantens lengste side
a = #skriv inn lengden av en av de andre sidene i trekanten
b = #skriv inn lengden av den siste siden i trekanten

if c**2 == a**2 + b**2:       #Pytagoras' læresetning c^2 = a^2 + b^2
    print("Trekanten er rettvinklet")
else:
    print("Trekanten er ikke rettvinklet")

a)

Programmet gjør følgende:

1. Brukeren skriver inn lengden av den lengste siden i trekanten (\(c\)).
2. Brukeren skriver inn lengdene av de to andre sidene (\(a\) og \(b\)).
3. Programmet sjekker om Pytagoras' setning er oppfylt, altså om \(c^2 = a^2 + b^2\).
4. Hvis likheten stemmer, skriver programmet ut «Trekanten er rettvinklet».
5. Hvis likheten ikke stemmer, skriver programmet ut «Trekanten er ikke rettvinklet».

b)

Den lengste siden er \(c = 8\), og de to andre sidene er \(a = 5\) og \(b = 6\).

Programmet sjekker om \(c^2 = a^2 + b^2\):

Siden \(64 \neq 61\), er betingelsen ikke oppfylt. Programmet går til else-grenen.

Del 2 – Med hjelpemidler

Oppgave 1

a)

Vi ser mønsteret: Figur \(n\) er et \((n+2) \times (n+2)\) kvadrat.

• Figur 1: \(3 \times 3\)
• Figur 2: \(4 \times 4\)
• Figur 3: \(5 \times 5\)
• Figur 4: \(6 \times 6\)
• Figur 5: \(7 \times 7\)

Figur 5 er altså et \(7 \times 7\) kvadrat med en blå ramme rundt et indre \(5 \times 5\) gult kvadrat.

• Totalt antall: \(7 \times 7 = 49\)
• Gule kvadrater (indre): \(5 \times 5 = 25\)
• Blå kvadrater (ramme): \(49 - 25 = 24\)

b)

Vi ser at for figur \(n\):

• Totalt antall kvadrater: \((n + 2)^2\)
• Antall gule kvadrater: \(n^2\)
• Antall blå kvadrater: \((n + 2)^2 - n^2\)

c)

Vi finner formelen for antall blå kvadrater. Vi kan bruke to metoder:

Metode 1: Antall blå = Totalt antall − Antall gule

Vi forenkler uttrykket:

Metode 2: Fra tabellen ser vi at antall blå øker med 4 for hver figur, og starter på 8. Det gir en lineær sammenheng:

Vi bruker formelen til å finne antall blå i figur 4:

Vi sjekker mot tabellen: Figur 4 har 20 blå. Stemmer!

Oppgave 2

For å kunne sammenligne tilbudene beregner vi prisen per par sokker for hvert tilbud. Vi bruker 6 par som sammenligningsgrunnlag (minste felles multiplum).

Tilbud 1: 6 par for 299,-

Totalpris for 6 par: 299 kr

Tilbud 2: 25 % rabatt

Totalpris for 6 par: \(6 \cdot 60 = \) 360 kr

Tilbud 3: 3 par til prisen for 2 par

Du betaler for 2 par og får 3:

Totalpris for 6 par: \(2 \cdot 160 = \) 320 kr

Tilbud 4: 50 % på par nummer tre

For hvert 3. par betaler du halv pris:

Totalpris for 6 par: \(2 \cdot 200 = \) 400 kr

Sammenligning (6 par):

Oppgave 3

a)

• 20 000 er startbeløpet (grunnkapitalen) som Jonas setter inn i banken.
• 1,04 er vekstfaktoren. Siden \(1{,}04 = 1 + 0{,}04\), betyr det at pengene vokser med 4 % per år (rentefoten er 4 %).
• \(x\) er antall år pengene står i banken.

b)

Vi setter \(x = 15\) inn i funksjonen:

Vi regner ut \(1{,}04^{15}\):

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

• Definer sparemodellen: f(x) := 20000 * 1.04^x
• Beregn beløpet etter 15 år: Numerisk(f(15)) → gir \(\approx 36\,019\) kr

Graf

Grafen nedenfor viser den eksponentielle veksten i Jonas' sparekonto over 20 år:

Oppgave 4

a)

En terning har 6 sider med tallene 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Partall: 2, 4, 6 — det er 3 utfall

Oddetall: 1, 3, 5 — det er 3 utfall

Sannsynligheten for hvert utfall:

Begge har lik sannsynlighet \(\left(\frac{1}{2}\right)\) for å måtte gå ut med søpla.

b)

Vi har 4 baller: Gul 1, Gul 2, Rosa 1, Rosa 2. Den første personen trekker en ball, deretter trekker den andre.

Vi lister opp alle mulige utfall. Etter at den første ballen er trukket, er det 3 baller igjen.

La oss si at den første som trekker, tar en gul ball. Da gjenstår: 1 gul og 2 rosa.

Hvis den første trekker en rosa ball, gjenstår: 2 gule og 1 rosa.

Uansett hvilken farge den første ballen har, er sannsynligheten for ulik farge \(\frac{2}{3}\) og for lik farge \(\frac{1}{3}\).

Totalt:

Agata har dobbelt så stor sannsynlighet for å måtte gå ut med søpla.

Oppgave 5

Sentralmål for jentene

Jentenes data sortert: 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6

Antall observasjoner: 14

Gjennomsnitt:

Median: Med 14 observasjoner er medianen gjennomsnittet av den 7. og 8. verdien:

Typetall (modus): 3 timer (forekommer 5 ganger)

Sentralmål for guttene

Guttenes data sortert: 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 7

Antall observasjoner: 15

Gjennomsnitt:

Median: Med 15 observasjoner er medianen den 8. verdien: 2 timer

Typetall (modus): 2 timer (forekommer 5 ganger)

Spredningsmål

Variasjonsbredde (jenter):

Variasjonsbredde (gutter):

Sammenligning og tolkning

Jentene bruker i gjennomsnitt litt mer tid på mobilen enn guttene (3,4 timer mot 2,9 timer). Medianen er også høyere for jentene (3 mot 2). Guttene har noe større spredning (variasjonsbredde 6 mot 5), hovedsakelig på grunn av en elev som bruker 7 timer.

Diagram

Et passende diagram er et stolpediagram (søylediagram) som viser frekvensen for hvert antall timer, med jenter og gutter side om side:

Oppgave 6

a)

La \(x\) = antall elever og \(y\) = totalkostnad i kroner.

Vi setter opp funksjonene:

Vi regner ut noen verdier for å tegne grafene:

b)

Skjæringspunkt mellom Tilbud 1 og Tilbud 2:

Skjæringspunkt mellom Tilbud 1 og Tilbud 3:

Skjæringspunkt mellom Tilbud 2 og Tilbud 3:

Oppsummering:

• For færre enn 40 elever: Tilbud 1 er billigst (lavest pris per elev, ingen fast kostnad).
• For 40 elever: Tilbud 1 og Tilbud 2 koster det samme (6 000 kr).
• For mellom 40 og ca. 53 elever: Tilbud 2 er billigst.
• For ca. 53–54 elever: Tilbud 2 og Tilbud 3 koster omtrent det samme.
• For mer enn ca. 54 elever (opp til 70): Tilbud 3 er billigst (fast pris).

Oppgave 7

a)

Fra diagrammet kan vi observere flere tydelige trender:

Idrettslag: Deltakelsen synker kraftig gjennom tenårene, fra ca. 60 % på 8. trinn til ca. 25 % på Vg3. Nedgangen er størst fra ungdomsskolen til videregående. Dette tyder på at mange slutter i organisert lagidrett i løpet av tenårene.

Treningsstudio: Bruken av treningsstudio øker kraftig, fra ca. 21 % på 8. trinn til ca. 55 % på Vg3. Treningsstudio tar over som den vanligste treningsformen etter 10. trinn.

Egentrening: Egentrening holder seg relativt stabil gjennom tenårene, fra ca. 47 % på 8. trinn til ca. 38 % på Vg3. Det er en liten, gradvis nedgang.

Annen organisert trening: Deltakelse i annen organisert trening synker jevnt fra ca. 22 % på 8. trinn til ca. 8 % på Vg3.

b)

Miras modell:

Mira har laget et diagram som viser nedgang over tid (altså over 6 år). Men det opprinnelige diagrammet viser ikke utvikling over tid – det viser ulike årstrinn på ett og samme tidspunkt. Mira har tolket dataene feil. Det at 8.-klassinger trener mer i idrettslag enn Vg3-elever betyr ikke nødvendigvis at antall medlemmer synker over tid. Hvert nytt kull 8.-klassinger kan ha like høy deltakelse. Det er en tverrsnittsundersøkelse, ikke en tidsserieundersøkelse. Miras modell er derfor ikke gyldig.

Pers modell:

Per har laget et stolpediagram som viser medlemskap fordelt på årstrinn. Dette samsvarer med det opprinnelige diagrammet. Det stemmer at en større andel av ungdomsskoleelever er medlemmer i idrettslag enn videregåendeelever. Pers tolkning av dataene er korrekt: på det tidspunktet undersøkelsen ble gjort, var det flere idrettslagsmedlemmer blant ungdomsskoleelever. Pers modell er gyldig.

Oppgave 8

a)

Påstand 1: Summen av to oddetall er et partall.

Påstand 2: Summen av to påfølgende heltall er et partall.

Påstand 3: Summen av tre påfølgende heltall er et oddetall.

b)

Påstand 1: Stemmer alltid. Summen av to oddetall er alltid et partall.

Påstand 2: Stemmer aldri. Summen av to påfølgende heltall er alltid et oddetall (aldri et partall).

Påstand 3: Stemmer noen ganger. Summen av tre påfølgende heltall er oddetall bare når det midterste tallet er oddetall (f.eks. 4+5+6 = 15). Når det midterste er partall, blir summen partall (f.eks. 1+2+3 = 6).

c)

Vi bruker algebra til å bevise resultatene. Vi skriver et partall som \(2k\) og et oddetall som \(2k+1\), der \(k\) er et heltall.

Påstand 1: Summen av to oddetall er et partall.

La de to oddetallene være \(2m + 1\) og \(2n + 1\):

Resultatet er på formen \(2 \cdot (\text{heltall})\), altså et partall. Dette gir mening intuitivt: hvert oddetall «mangler 1» for å bli et partall. Når du legger sammen to oddetall, fyller de to «manglende enerne» hverandre opp, slik at summen alltid blir et partall. Påstanden stemmer alltid.

Påstand 2: Summen av to påfølgende heltall er et partall.

La de to påfølgende heltallene være \(n\) og \(n + 1\):

Resultatet er på formen \(2n + 1\), altså et oddetall. Intuitivt: av to påfølgende heltall er alltid det ene et partall og det andre et oddetall. Summen av et partall og et oddetall er alltid et oddetall. Summen er aldri et partall. Den generelle sammenhengen er:

Påstand 3: Summen av tre påfølgende heltall er et oddetall.

La de tre påfølgende heltallene være \(n\), \(n + 1\) og \(n + 2\):

Resultatet er \(3(n + 1)\). Denne summen er oddetall hvis og bare hvis \(n + 1\) er oddetall, altså når \(n\) er partall. Hvis \(n\) er oddetall, er \(n + 1\) partall, og summen blir partall.