Løsningsforslag – Matematikk 10. klasse Eksempeloppgave 2 (2021)

Eksamen MAT0010

Oppgave 1

Vi bruker sammenhengen mellom strekning, fart og tid:

Vi setter inn verdiene:

Vi gjør om fra timer til minutter:

Oppgave 2

Vi ser på mønsteret i de tre første figurene:

Figur	Trekanter	Firkanter
1	2	1
2	4	2
3	6	3

Vi ser at:

• Antall trekanter i figur \(n\) er \(2n\)
• Antall firkanter i figur \(n\) er \(n\)

For figur 10:

Oppgave 3

Vi regner ut venstre side:

Vi regner ut det vi kan på høyre side:

Vi setter de to sidene lik hverandre og løser for \(x\):

Alternativ metode: Vi kan også forenkle direkte. Siden \(4 \cdot 9\) finnes på høyre side, og \(3 \cdot 24 = 3 \cdot 4 \cdot 6 = 4 \cdot 18\), kan vi se at:

Dermed er \(x = 18\).

Oppgave 4

Vi må sjekke hvert alternativ ved å sette inn verdiene i \((a + b)^2\) og se om vi får 16.

Alternativ 1: \(a = 2\) og \(b = 2\):

Alternativ 2: \(a = 4\) og \(b = 4\):

Alternativ 3: \(a = 8\) og \(b = 4\):

Alternativ 4: \(a = 8\) og \(b = 8\):

Oppgave 5

Vi vurderer hvert alternativ ut fra de to kravene: grafen må være en rett linje, og den må skjære y-aksen i 2.

\(y = x^2 + 2\): Dette er en andregradsfunksjon (parabel), altså ikke en rett linje. Forkastes.

\(y = 2x + 1\): Dette er en lineær funksjon (rett linje), men den skjærer y-aksen i \(y = 1\) (konstantleddet er 1). Kravet er at den skal skjære i 2. Forkastes.

\(y = \dfrac{2}{x}\): Dette er en hyperbel, altså ikke en rett linje. Forkastes.

\(y = x + 2\): Dette er en lineær funksjon (rett linje). Når \(x = 0\) er \(y = 0 + 2 = 2\), så den skjærer y-aksen i 2. Begge kravene er oppfylt.

Oppgave 6

Først finner vi det totale beløpet. Arne har 120 kr, og de fem søsknene har 30 kr hver:

Det er 6 personer til sammen (Arne + 5 søsken). Hvis pengene fordeles likt:

Arne har 120 kr og skal ha 45 kr. Han må altså gi fra seg:

Disse 75 kronene skal fordeles på 5 søsken:

Vi kontrollerer: Hvert søsken hadde 30 kr og får 15 kr til: \(30 + 15 = 45\) kr. Arne hadde 120 kr og gir bort \(5 \cdot 15 = 75\) kr: \(120 - 75 = 45\) kr. Alle har 45 kr.

Oppgave 1

Olavs framgangsmåte er ikke gyldig. Olav stryker 2-tallet i telleren mot 2-tallet i nevneren, men dette er feil fordi nevneren 2 skal deles med hvert ledd i telleren, ikke bare det ene leddet.

Den korrekte forenklingen er å dele hvert ledd i telleren med nevneren:

Vi kan kontrollere med et tall. La oss sette \(x = 1\):

• Olavs svar: \(6 \cdot 1^2 = 6\)
• Korrekt svar: \(3 \cdot 1^2 + 1 = 4\)
• Originaluttrykket: \(\dfrac{6 \cdot 1^2 + 2}{2} = \dfrac{8}{2} = 4\)

Vi ser at det korrekte svaret \(4\) stemmer med originaluttrykket, mens Olavs svar \(6\) er feil.

Feilen til Olav er at han «stryker» et ledd i en sum mot nevneren. Man kan bare forkorte en brøk ved å dele alle ledd i telleren med nevneren, eller ved å dele hele telleren og nevneren med en felles faktor.

Oppgave 2

Vi regner ut antall elementer i de tre første figurene:

Vi kan nå lage figurer som passer til disse tallene. Siden formelen er \(n^2 + 1\), kan vi tenke oss at hver figur består av et kvadrat med sidelengde \(n\) (som gir \(n^2\) elementer) pluss 1 ekstra element.

Figur 1: Et kvadrat med \(1 \times 1 = 1\) rute, pluss 1 ekstra rute = 2 ruter totalt.

Figur 2: Et kvadrat med \(2 \times 2 = 4\) ruter, pluss 1 ekstra rute = 5 ruter totalt.

Figur 3: Et kvadrat med \(3 \times 3 = 9\) ruter, pluss 1 ekstra rute = 10 ruter totalt.

Figur	Kvadratdel (\(n^2\))	Ekstra (+1)	Totalt
1	1	1	2
2	4	1	5
3	9	1	10

Oppgave 3

Vi skal finne felles teller for brøkene \(\dfrac{2}{3}\) og \(\dfrac{5}{7}\).

Fellesnevner for tellerne 2 og 5 er 10. Vi utvider begge brøkene slik at telleren blir 10:

Nå har begge brøkene teller 10. Vi sammenligner nevnerne:

Når telleren er den samme, er brøken med minst nevner den største brøken. Det er fordi vi deler det samme tallet i færre deler, slik at hver del blir større. Tenk deg at du deler en pizza i 14 stykker versus 15 stykker – hvert stykke av den pizzaen som er delt i 14, er større enn hvert stykke av den som er delt i 15. Denne intuisjonen gjelder for alle brøker med samme teller.

Siden \(14 < 15\), er \(\dfrac{10}{14}\) større enn \(\dfrac{10}{15}\).

Oppgave 4

Vi trenger at produktet av \((4 - a)\) og \((4 + b)\) blir 8. Vi kan skrive 8 som et produkt av to faktorer på flere måter:

Tallpar 1: La \((4 - a) = 2\) og \((4 + b) = 4\):

Kontroll: \((4 - 2)(4 + 0) = 2 \cdot 4 = 8\) ✔

Tallpar 2: La \((4 - a) = 1\) og \((4 + b) = 8\):

Kontroll: \((4 - 3)(4 + 4) = 1 \cdot 8 = 8\) ✔

Tallpar 3: La \((4 - a) = 4\) og \((4 + b) = 2\):

Kontroll: \((4 - 0)(4 + (-2)) = 4 \cdot 2 = 8\) ✔

Oppgave 5

Algoritmen undersøker om en trekant er rettvinklet ved å bruke Pytagoras' setning.

Pytagoras' setning sier at i en rettvinklet trekant gjelder:

der \(h\) er hypotenusen (den lengste siden) og \(k_1\) og \(k_2\) er katetene.

Algoritmen fungerer slik:

1. Brukeren skriver inn den lengste siden \(h\), og de to andre sidene \(k_1\) og \(k_2\).
2. Algoritmen sjekker om \(k_1^2 + k_2^2 = h^2\).
3. Hvis det stemmer (Ja), gir den Output a: «Trekanten er rettvinklet.»
4. Hvis det ikke stemmer (Nei), gir den Output b: «Trekanten er ikke rettvinklet.»

Eksempel 1: \(h = 5\), \(k_1 = 3\), \(k_2 = 4\):

Output a: Trekanten er rettvinklet. (3-4-5 er en pytagoreisk trippel.)

Eksempel 2: \(h = 13\), \(k_1 = 5\), \(k_2 = 12\):

Output a: Trekanten er rettvinklet. (5-12-13 er en pytagoreisk trippel.)

Eksempel 3: \(h = 6\), \(k_1 = 3\), \(k_2 = 4\):

Output b: Trekanten er ikke rettvinklet.

Oppgave 6

Funksjonsuttrykket \(y = 10{,}27x\) viser sammenhengen mellom euro og norske kroner.

\(x\) representerer beløpet i euro (EUR).

\(y\) representerer det tilsvarende beløpet i norske kroner (NOK).

10,27 er vekslingskursen, som forteller oss at 1 euro tilsvarer 10,27 norske kroner. Dette er stigningstallet i den lineære funksjonen, og betyr at for hver euro mer du veksler, øker beløpet i norske kroner med 10,27 kr.

Funksjonen er en proporsjonal sammenheng (grafen går gjennom origo), fordi 0 euro tilsvarer 0 norske kroner.

Eksempel: Hvis du veksler 50 euro:

Oppgave 7

La \(x\) = antall små flasker og \(y\) = antall store flasker.

Likning 1 (antall flasker): Ali pantet totalt 51 flasker:

Likning 2 (pengebeløp): Små flasker gir 2 kr og store gir 3 kr, totalt 109 kr:

Vi løser ved innsettingsmetoden. Fra likning 1 får vi:

Vi setter dette inn i likning 2:

Vi setter \(y = 7\) tilbake i likning 1:

Kontroll:

• Antall flasker: \(44 + 7 = 51\) ✔
• Pengebeløp: \(2 \cdot 44 + 3 \cdot 7 = 88 + 21 = 109\) kr ✔

Oppgave 8

Begge grafene har flere problematiske sider som kan villede leseren:

1. Y-aksen starter ikke på null (avkuttet y-akse)

Den venstre grafen viser andelen uføretrygdede med y-akse fra 9,7 % til 10,1 %. Det ser ut som en dramatisk økning fordi linjen stiger bratt. Men den faktiske økningen er bare fra 9,7 % til 10,1 %, altså en økning på 0,4 prosentpoeng. Dersom y-aksen hadde startet på 0 %, ville linjen vært nesten flat.

2. Overdrevet visuelt inntrykk

Den høyre grafen viser antall sykemeldinger med y-akse fra ca. 3 580 000 til ca. 3 740 000. Økningen ser dramatisk ut i grafen, men den faktiske økningen er bare ca. 4,6 %, fra rundt 3 580 000 til 3 742 567. Hvis y-aksen startet på 0, ville økningen vært nesten umerkelig visuelt.

3. Manglende kontekst

Teksten til den høyre grafen sier at økningen i sykemeldinger var 4,6 %, men at befolkningen i Norge økte med 3,1 % i samme periode. Det betyr at den reelle økningen i sykemeldinger per innbygger var mye lavere enn 4,6 %, nærmere 1,5 prosentpoeng. Grafen tar ikke hensyn til befolkningsveksten.

4. Sammenligningsgrunnlag

Venstre graf viser prosent av befolkningen, mens høyre viser absolutte tall. Når man viser absolutte tall uten å justere for befolkningsvekst, vil det naturlig se ut som en økning bare fordi det er flere mennesker i landet.

Oppgave 9

Vi undersøker hver av de tre påstandene, både med talleksempler og ved algebraisk generalisering.

Påstand 1: Summen av fem påfølgende heltall er alltid delelig med fem

Talleksempel: Vi prøver med 1, 2, 3, 4, 5:

Vi prøver med 10, 11, 12, 13, 14:

Algebraisk bevis: La de fem påfølgende heltallene være \(n, \, n+1, \, n+2, \, n+3, \, n+4\). Summen er:

Siden \(5(n+2)\) alltid er delelig med 5, er påstanden sann.

Vi merker oss at summen alltid er 5 ganger det midterste tallet \((n+2)\).

Påstand 2: Summen av seks påfølgende heltall er aldri delelig med seks

Talleksempel: Vi prøver med 1, 2, 3, 4, 5, 6:

\(21 \div 6 = 3{,}5\), ikke delelig med 6. ✔

Vi prøver med 4, 5, 6, 7, 8, 9:

\(39 \div 6 = 6{,}5\), ikke delelig med 6. ✔

Algebraisk bevis: La de seks påfølgende heltallene være \(n, \, n+1, \, n+2, \, n+3, \, n+4, \, n+5\). Summen er:

Siden \(6(n+2)\) er delelig med 6, men vi legger til 3, vil summen alltid gi rest 3 ved deling med 6. Dermed er summen aldri delelig med 6.

Påstanden er sann.

Påstand 3: Summen av sju påfølgende heltall er noen ganger delelig med sju

Talleksempel: Vi prøver med 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7:

Algebraisk bevis: La de sju påfølgende heltallene være \(n, \, n+1, \, \ldots, \, n+6\). Summen er:

Summen er \(7(n+3)\), som alltid er delelig med 7, uansett verdien av \(n\).

Påstanden sier «noen ganger delelig med sju», men i virkeligheten er den alltid delelig med 7. Påstanden er teknisk sett sann (det som alltid skjer, skjer også noen ganger), men den er upresist formulert.

Generalisering

Vi ser et mønster:

• Summen av \(k\) påfølgende heltall med starttall \(n\) er: \(kn + \dfrac{k(k-1)}{2}\)
• Når \(k\) er et oddetall, er summen alltid delelig med \(k\), fordi \(\dfrac{k(k-1)}{2}\) er delelig med \(k\) (da er \(k-1\) partall, slik at \(\dfrac{k-1}{2}\) er heltall, og vi får \(k \cdot \dfrac{k-1}{2}\)).
• Når \(k\) er et partall, er summen aldri delelig med \(k\), fordi \(\dfrac{k(k-1)}{2} = \dfrac{k}{2} \cdot (k-1)\), og \(\dfrac{k}{2}\) gir en rest som ikke er null.

Oppgave 10

Vi skal regne ut hva det vil koste Anne å ha moped fra hun er 16 til hun er 18 år (2 år). Vi deler opp i flere deler.

1. Kostnader for førerkort

Obligatorisk opplæring + 3 kjøretimer:

Anne har liten erfaring og trenger trolig flere kjøretimer. Vi antar at hun trenger 3 ekstra timer. En kjøretime koster omtrent \(\dfrac{8\,800 - (1\,000 + 700 + 2\,040 + 700 + 2\,040)}{3} = \dfrac{8\,800 - 6\,480}{3} = \dfrac{2\,320}{3} \approx 773\) kr per time.

Ekstra kjøretimer: \(3 \cdot 773 \approx 2\,320\) kr

Gebyrer:

Total førerkort:

2. Kjøp av moped

3. Verditap og salgspris

Verditap første året (vi bruker 27,5 % som gjennomsnitt av 25–30 %):

Verditap andre året (20 %):

Verditapet over to år:

4. Forsikring

Kasko koster 125 kr/md i 2 år (24 måneder):

5. Drivstoffkostnader

Anne bor 2 km fra skolen og 2 km fra fotballbanen. Vi antar at hun kjører til skolen og tilbake 5 dager i uken, og til fotballtrening og tilbake 3 dager i uken.

Kjørelengde per uke:

Drivstofforbruk per uke:

Over 2 år (ca. 100 uker, med ferie og pauser):

6. Total kostnad

Post	Kostnad
Førerkort	12 155 kr
Verditap (kjøp minus salg)	6 720 kr
Forsikring (2 år)	3 000 kr
Drivstoff (2 år)	1 605 kr
Totalt	23 480 kr

7. Kostnad per måned

8. Vurdering

Å ha moped i to år vil koste Anne omtrent 23 500 kr, eller nesten 1 000 kr per måned. Det er et betydelig beløp for en tenåring. Anne kan vurdere om det er verdt kostnaden sammenlignet med å bruke sykkel eller offentlig transport til skolen og trening (bare 2 km).

Med det korte avstanden (2 km) kan sykling være et godt alternativ, men mopeden gir mer fleksibilitet i dårlig vær og for lengre turer.