Del 1 – Uten hjelpemidler

Oppgave 1

Vi kaller prisen for en voksenbillett \(v\) og prisen for en barnebillett \(b\).

Fra opplysningene setter vi opp to likninger:

Vi trekker likning (2) fra likning (1):

En voksenbillett koster altså 140 kr. Vi setter dette inn i likning (2):

Oppgave 2

a) Tegn Figur 1 og Figur 3

Vi ser på mønsteret i tabellen:

• Figur 1: 2 ruter
• Figur 2: 6 ruter (rektangel 2 × 3)
• Figur 3: 12 ruter
• Figur 4: 20 ruter (rektangel 4 × 5)

Vi ser at Figur 2 er et rektangel med 2 rader og 3 kolonner, og Figur 4 er et rektangel med 4 rader og 5 kolonner. Mønsteret er at Figur \(n\) er et rektangel med \(n\) rader og \((n+1)\) kolonner:

• Figur 1: Et rektangel med 1 rad og 2 kolonner (1 × 2 = 2 ruter)
• Figur 3: Et rektangel med 3 rader og 4 kolonner (3 × 4 = 12 ruter)

b) Formel for antall ruter i Figur \(n\)

Vi ser at dimensjonene til hvert rektangel følger mønsteret:

Figur \(n\) har \(n\) rader og \((n + 1)\) kolonner. Antall ruter er derfor:

Vi sjekker: For \(n = 4\): \(4 \cdot 5 = 20\). Stemmer!

Oppgave 3

Påstand 1: «Lese bøker er det ungdommer bruker mest tid på»

Ifølge diagrammet bruker 64 % av ungdommene ikke noe tid på å lese bøker. Det er altså det de bruker minst tid på, ikke mest.

Vurdering: Usann

Påstand 2: «Det er flere som spiller Dataspill/TV-spill enn som ser på TV»

For dataspill/TV-spill: 40 % bruker ikke noe tid, altså spiller 60 % i noen grad.
For å se på TV: 29 % bruker ikke noe tid, altså ser 71 % i noen grad.

Det er altså flere som ser på TV enn som spiller dataspill/TV-spill.

Vurdering: Usann

Påstand 3: «Nesten tre firedeler av ungdommene spiller på telefon/nettbrett»

28 % bruker ikke noe tid på å spille på telefon/nettbrett. Det betyr at \(100\,\% - 28\,\% = 72\,\%\) spiller.

Tre firedeler er \(\frac{3}{4} = 75\,\%\). Andelen 72 % er nesten 75 %.

Vurdering: Sann

Påstand 4: «Omtrent 40 % av ungdommene bruker mindre enn en time daglig på sosiale medier»

«Mindre enn en time» inkluderer kategoriene: ikke noe tid (3 %), under 30 minutter (9 %), og 30 minutter–1 time (12 %).

Merk: «Mindre enn en time» betyr strengt tatt under 60 minutter. Kategorien «30 minutter–1 time» inkluderer de som bruker opp mot en time, så vi må vurdere om disse skal inkluderes. Hvis vi tolker «mindre enn en time» som «under 1 time», altså ikke inkludert de som bruker akkurat 1 time, er kategorien «30 min–1 time» et grensetilfelle. Men om vi tar med den:

24 % er langt under 40 %. Selv om vi tar med hele «30 min–1 time»-gruppen, kommer vi bare til 24 %. Det er ikke i nærheten av 40 %.

Vurdering: Usann

Oppgave 4

Stigningstallet til en rett linje beregnes ved å velge to punkter som linjen går gjennom, og bruke formelen:

Vi velger to punkter som linjen ser ut til å gå gjennom. Fra grafen ser den rette linjen ut til å gå omtrent gjennom \((10{,}\ 145)\) og \((16{,}\ 169)\):

Stigningstallet forteller oss at Kristin i gjennomsnitt vokste 4 cm per år i denne perioden. Merk at dette er et gjennomsnitt basert på den rette linjen som er tilpasset datapunktene. I virkeligheten varierer veksten noe fra år til år, men den rette linjen gir en god tilnærming av den jevne veksten over hele perioden.

Oppgave 5

Ruben fant riktig avslag i kroner: \(229{,}00 - 206{,}10 = 22{,}90\) kr.

Men Ruben gjorde en feil da han regnet ut prosenten. Han delte på tilbudsprisen (206,10 kr) i stedet for på opprinnelig pris (229,00 kr).

Avslag i prosent skal regnes ut fra den opprinnelige prisen:

Rubens svar (11 %) er feil fordi han delte på feil beløp.

Oppgave 6

En matboks har form som et rektangulært prisme med lengde, bredde og høyde. Vi må velge realistiske mål for en matboks til skolebarn.

Forslag til mål:

• Lengde: \(l = 20\) cm
• Bredde: \(b = 13\) cm
• Høyde: \(h = 7\) cm

Disse målene er valgt fordi:

• 20 cm er lang nok til å ha plass til brødskiver
• 13 cm er bred nok til frukt og pålegg ved siden av
• 7 cm gir god plass i høyden uten at matboksen blir for stor for en skolesekk

Volumet av et rektangulært prisme er:

Omregnet til liter: \(1\,820 \text{ cm}^3 = 1{,}82 \text{ L}\), som er et rimelig volum for en matboks.

Oppgave 7

Vi kan dele hytta (L-formen) inn i to rektangler for å finne arealet.

Metode 1: Del L-formen i to rektangler

Vi ser at hele figuren (inkludert gressplen) er et stort kvadrat med sidelengde \((a + b)\). Arealet av hele kvadratet er:

Gressplenen (det grønne området) er et kvadrat med sidelengde \(b\), altså har den areal:

Arealet av hytta er hele kvadratet minus gressplenen:

Del 2 – Med hjelpemidler

Oppgave 1

Begge diagrammene viser de samme dataene, men de fremstiller dem svært forskjellig på grunn av ulike valg for y-aksen.

Ida sitt diagram:

• Y-aksen starter på kr 0 og går til kr 250
• Søylene ser nesten like høye ut
• Forskjellene mellom butikkene er vanskelige å se
• Gir et inntrykk av at prisene er omtrent like

Juan sitt diagram:

• Y-aksen starter på kr 180 og går til kr 215
• Forskjellene mellom butikkene ser store ut (overdriver forskjellene visuelt)
• Det er lettere å sammenligne prisene mellom butikkene
• Kan gi et misvisende inntrykk av store prisforskjeller

Vurdering:

Hvilket diagram som er «best» avhenger av formålet. Ida sitt diagram gir et mer ærlig helhetsbilde, men det er vanskelig å se forskjellene. Juan sitt diagram gjør det lettere å sammenligne, men kan overdrive forskjellene.

For å gi best informasjon om matvareprisene er det viktig at man kan sammenligne prisene mellom butikkene. Da er Juan sitt diagram mest nyttig, fordi det er lettere å lese av de faktiske forskjellene. Man må imidlertid merke seg at y-aksen ikke starter på 0, slik at forskjellene visuelt virker større enn de er i virkeligheten.

Oppgave 2

a) Funksjonstypene

\(f(x) = 200x + 40\) – Lineær funksjon

• Dette er en lineær funksjon på formen \(f(x) = ax + b\)
• Stigningstall \(a = 200\) (positiv, grafen stiger)
• Konstantledd \(b = 40\) (grafen krysser y-aksen i \(y = 40\))
• Kjennetegn: Grafen er en rett linje som stiger jevnt

\(g(x) = \dfrac{1000}{x} + 80\) – Omvendt proporsjonal funksjon (hyperbel)

• Dette er en omvendt proporsjonal funksjon (med et tillegg)
• Kjennetegn: Når \(x\) øker, nærmer \(g(x)\) seg 80 (horisontal asymptote)
• Når \(x\) er liten og positiv, er \(g(x)\) stor
• Funksjonen er ikke definert for \(x = 0\) (vertikal asymptote)
• Grafen er en kurve som avtar mot en horisontal linje

\(h(x) = -100x\) – Lineær funksjon (proporsjonal)

• Dette er en lineær funksjon på formen \(h(x) = ax\) der \(a = -100\)
• Stigningstall \(a = -100\) (negativt, grafen synker)
• Konstantledd \(b = 0\) (grafen går gjennom origo)
• Kjennetegn: Grafen er en rett linje som synker, og den er proporsonal (\(y\) er proporsonal med \(x\))

For å tegne grafene bruker man digitalt verktøy (f.eks. GeoGebra) og plotter alle tre funksjonene i samme koordinatsystem.

b) Praktisk situasjon

Vi velger \(f(x) = 200x + 40\):

Situasjon: En håndverker tar 40 kr i utkjøringsgebyr (fast kostnad) og 200 kr per time for arbeidet. Da vil den totale kostnaden \(f(x)\) etter \(x\) timer være:

For eksempel vil 3 timer arbeid koste \(f(3) = 200 \cdot 3 + 40 = 640\) kr.

Oppgave 3

a) Fullfør regnearket

Startbeløp er lånesum + etableringsgebyr: \(7\,500 + 250 = 7\,750\) kr.

Hver måned legges rente (1,50 % av gjelden) og gebyr (15 kr) til gjelden. Det betales ingenting – dette er en utsettelse.

Gjelden vokser slik måned for måned:

Etter 12 måneder er gjelden kr 9 461,66.

Kostnaden for utsettelsen er:

b) Vis at årlig effektiv rente er omtrent 26 %

Effektiv rente er den totale kostnaden av lånet uttrykt som en prosentandel av lånesummen.

Trond lånte 7 500 kr og etter ett år skylder han 9 461,66 kr. Totale kostnader er:

Effektiv rente:

Oppgave 4

Vi beregner sannsynligheten for å trekke to blå kuler uten tilbakelegging fra hver skål.

Skål 1: 3 blå, 2 røde (5 kuler totalt)

Skål 2: 2 blå, 3 røde (5 kuler totalt)

Skål 3: 2 blå, 1 rød (3 kuler totalt)

Skål 4: 5 blå, 3 røde (8 kuler totalt)

Sammenligning:

Oppgave 5

Modell 1 – Den blå grafen \(g\) (lineær modell):

Den blå grafen er en rett linje, som representerer en lineær funksjon. En lineær modell betyr at antall følgere øker med et fast antall per måned.

Stigningstallet kan beregnes:

Funksjonen er omtrent \(g(x) = 4\,995x + 30\). Ifølge denne modellen øker antall følgere med ca. 4 995 per måned – en jevn, konstant vekst.

Modell 2 – Den røde grafen \(f\) (eksponentiell modell):

Den røde grafen er en kurve som stiger stadig brattere, som representerer en eksponentiell funksjon. En eksponentiell modell betyr at antall følgere øker med en fast prosent (vekstfaktor) per måned.

Vi kan finne vekstfaktoren. Startverdi er 30 og etter 6 måneder er det 30 000:

Funksjonen er omtrent \(f(x) = 30 \cdot 3{,}16^x\). Antall følgere tredobles (omtrent) hver måned. I starten er veksten liten, men den øker raskt.

Sammenligning:

• Den lineære modellen gir lik vekst i hele perioden -- ca. 5 000 nye følgere per måned
• Den eksponentielle modellen gir lav vekst i starten og svært høy vekst mot slutten
• I virkeligheten er eksponentiell vekst mer typisk for sosiale medier, der innhold kan «gå viralt» og veksten akselererer

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

• Finn vekstfaktoren: k := nroot(1000, 6) → gir \(k = \sqrt{10} \approx 3{,}16\)
• Definer modellen: f(x) := 30 * k^x → gir \(f(x) = 30 \cdot 10^{\frac{1}{2}x}\)
• Verifiser etter 6 måneder: Numerisk(f(6)) → gir \(30\,000\) ✓

Oppgave 6

radius_liten_kule = float(input("skriv ønsket radius for minste kule: "))
radius_stor_kule = float(input("skriv ønsket radius for største kule: "))

volum_liten_kule = (4 * 3.14 * radius_liten_kule ** 3)/3
volum_stor_kule = (4 * 3.14 * radius_stor_kule ** 3)/3

forhold_mellom_kulene = volum_stor_kule/volum_liten_kule

print("forholdet mellom kulene er: ", forhold_mellom_kulene)

a) Hva skjer når koden kjøres

Koden gjør følgende steg for steg:

1. Linje 1: Programmet ber brukeren skrive inn radius til den minste kulen, og lagrer verdien som et desimaltall i variabelen radius_liten_kule.
2. Linje 2: Programmet ber brukeren skrive inn radius til den største kulen, og lagrer verdien som et desimaltall i variabelen radius_stor_kule.
3. Linje 4: Programmet beregner volumet av den minste kulen ved formelen \(V = \frac{4 \cdot 3{,}14 \cdot r^3}{3}\) og lagrer det i volum_liten_kule.
4. Linje 5: Programmet beregner volumet av den største kulen på samme måte og lagrer det i volum_stor_kule.
5. Linje 7: Programmet beregner forholdet mellom volumene ved å dele volumet til den store kulen på volumet til den lille kulen.
6. Linje 9: Programmet skriver ut forholdet mellom volumene.

Formelen som brukes er volumformelen for en kule: \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\), der \(\pi \approx 3{,}14\).

b) Hvordan volumet endres når radius dobles

La oss si at den opprinnelige kulen har radius \(r\). Da er volumet:

Hvis radius dobles til \(2r\), blir det nye volumet:

Vi kan verifisere dette med koden: Guro brukte radius 2 og radius 4 (dobbel radius), og fikk forholdet 8,0.

Oppgave 7

Sjekk påstandene:

Det røde kvadratet: 12, 13, 17, 18

Det blå kvadratet: 4, 5, 9, 10

La oss prøve et nytt 2 × 2 kvadrat, for eksempel: 7, 8, 12, 13

Algebraisk bevis – Generell sammenheng:

I et 5 × 5 rutenett kan vi beskrive et vilkårlig 2 × 2 kvadrat. La det øverste venstre tallet være \(n\). Da er de fire tallene i kvadratet:

(Tallet under \(n\) er \(n + 5\) fordi det er 5 kolonner i rutenettet.)

Vi multipliserer diagonalene som jentene gjør:

Produkt 1 (øvre høyre × nedre venstre):

Produkt 2 (øvre venstre × nedre høyre):

Differansen:

Differansen er alltid 5, uavhengig av verdien til \(n\)!

Oppgave 8

Del A: Analyse av dusjdata – sentralmål og spredningsmål

Gutter: Vi ordner tallene i stigende rekkefølge:

4, 5, 5, 6, 8, 9, 10, 10, 12, 15, 16, 18, 18, 25

Antall verdier: 14

Gjennomsnitt (gutter):

Median (gutter): Gjennomsnittet av den 7. og 8. verdien (midterste av 14): \(\frac{10 + 10}{2} = \) 10 minutter

Variasjonsbredde (gutter): \(25 - 4 = 21\) minutter

Jenter: Vi ordner tallene i stigende rekkefølge:

5, 5, 6, 8, 8, 10, 10, 12, 15, 15, 15, 17, 20, 30, 40

Antall verdier: 15

Gjennomsnitt (jenter):

Median (jenter): Den 8. verdien: 12 minutter

Variasjonsbredde (jenter): \(40 - 5 = 35\) minutter

Sammenligning:

Jentene dusjer i gjennomsnitt lenger enn guttene. Jentene har også større spredning i dataene, mye på grunn av noen som dusjer svært lenge (30 og 40 minutter).

Del B: Kostnaden ved å dusje

Vi antar at en dusj bruker ca. 10 liter vann per minutt (vanlig anslag for en dusj).

Vannkostnad per dusj:

La \(t\) være antall minutter man dusjer. Da bruker man \(10t\) liter vann.

Energikostnad for oppvarming av vann:

Vannet varmes fra 10 °C til 70 °C, altså en temperaturøkning på 60 °C. Vi antar at dusjvannet er en blanding der vi bruker ca. halvparten varmtvann, altså ca. \(5t\) liter varmtvann per dusj (resten er kaldt). Men for en enklere modell antar vi at alt vannet varmes opp 60 grader:

Med \(10t\) liter (= \(10t\) kg, da 1 liter vann veier 1 kg):

Total kostnad per dusj:

Dette er en lineær modell der kostnaden er proporsjonal med dusjtiden.

Eksempelberegning for gjennomsnittlig dusjtid:

• Gutter (11,5 min): \(0{,}9 \cdot 11{,}5 \approx 10{,}4\) kr per dusj
• Jenter (14,4 min): \(0{,}9 \cdot 14{,}4 \approx 13{,}0\) kr per dusj

Mer realistisk modell (blanding av varmt og kaldt vann):

Antar dusjtemperatur 38 °C. Kaldt vann er 10 °C og varmt vann er 70 °C. For å oppnå 38 °C brukes en blanding der andelen varmtvann er:

Altså ca. 47 % varmtvann. Med 10 liter per minutt, varmes \(4{,}7t\) liter fra 10 °C til 70 °C:

Med denne modellen:

• Gutter (11,5 min): \(0{,}53 \cdot 11{,}5 \approx 6{,}1\) kr per dusj
• Jenter (14,4 min): \(0{,}53 \cdot 14{,}4 \approx 7{,}6\) kr per dusj