Del 1 – Uten hjelpemidler

Oppgave 1

Vi setter opp to likninger der \(s\) er prisen på en slikkepinne og \(k\) er prisen på en sjokolade:

Vi trekker likning (I) fra likning (II):

Oppgave 2

a) Tegn Figur 1 og Figur 3

Figur 2 er formet som et plusstegn. Vi kan tenke oss at mønsteret bygger seg opp slik:

Figur 1 (5 brikker): Et lite plusstegn – 1 brikke i midten og 1 brikke i hver retning (opp, ned, venstre, høyre). Totalt \(1 + 4 = 5\) brikker.

Figur 3 (21 brikker): Et større plusstegn – 1 brikke i midten med armer som strekker seg 3 brikker ut i hver retning, med tilsvarende utfylling.

b) Formel for antall brikker i Figur \(n\)

Vi ser på differansene mellom figurene:

Siden den andre differansen er konstant lik 2, er formelen en andregrads-funksjon av typen \(an^2 + bn + c\).

Vi setter opp tre likninger med verdiene vi kjenner:

Likning (II) minus likning (I):

Likning (III) minus likning (II):

Differansen av disse gir:

Da er \(b = 7 - 3 \cdot 1 = 4\), og \(c = 5 - 1 - 4 = 0\).

Oppgave 3

Kvadratet ABCD har side \((x + 2)\). Vi deler det inn i fire deler, slik figuren viser:

Det store kvadratet har areal \(x^2\).

Det lille rosa kvadratet (øverst til høyre) har areal \(2 \cdot 2 = 4\).

Det ene gule rektangelet (til høyre) har areal \(2 \cdot x = 2x\).

Det andre gule rektangelet (øverst) har areal \(x \cdot 2 = 2x\).

Totalt areal blir:

Vi kan også vise det algebraisk med kvadratsetningen:

Oppgave 4

a) Gjennomsnitt, median og typetall

Gjennomsnitt:

Vi legger sammen alle verdiene og deler på antallet:

Median:

Vi sorterer verdiene i stigende rekkefølge:

Med 10 verdier er medianen gjennomsnittet av den 5. og 6. verdien:

Typetall:

Verdien som forekommer flest ganger er 62 (forekommer 4 ganger).

b) Valg av sentralmål

Gjennomsnittet er 52 km/h, men dette trekkes kraftig ned av de to lave verdiene (18 og 20 km/h), som skiller seg veldig fra resten. Disse kan for eksempel skyldes biler som bremset eller stoppet.

Medianen (61 km/h) og typetallet (62 km/h) gir et mer representativt bilde av bilenes vanlige hastighet.

Oppgave 5

Påstand 1: «Flere enn tre ganger så mange elever bruker skoleskyss i Innlandet som i Oslo.»

Innlandet har 14 889 elever, som er mer enn 11 973.

Påstanden er sann.

Påstand 2: «Gjennomsnittlig er det 5 000 elever som bruker skoleskyss per fylke.»

Vi finner totalen:

Påstanden er usann. Gjennomsnittet er ca. 12 187, ikke 5 000.

Påstand 3: «I mer enn halvparten av fylkene er det under 25 % som bruker skoleskyss.»

Fylker med under 25 %: Viken (17,2 %), Oslo (5,8 %), Vestfold og Telemark (21,2 %), Rogaland (12,7 %).

Det er 4 av 11 fylker, altså ikke mer enn halvparten (som ville vært minst 6).

Påstanden er usann.

Påstand 4: «Viken har den største prosentandelen av elever som bruker skoleskyss.»

Viken har 17,2 %. Innlandet har 37,7 %, Troms og Finnmark har 31,4 %, osv. Flere fylker har høyere prosentandel.

Påstanden er usann. (Viken har flest elever i antall, men ikke høyest prosentandel.)

Oppgave 6

Grafen er en lineær funksjon gjennom origo, altså på formen \(y = ax\), der \(x\) er tid i timer og \(y\) er strekning i km.

Vi leser av to punkter fra grafen: \((0, 0)\) og \((1, 60)\).

Stigningstallet \(a = 60\) betyr at Jenny kjører 60 km per time. Stigningstallet forteller oss hvor mye \(y\)-verdien (strekning) endrer seg når \(x\)-verdien (tid) øker med 1 enhet. Siden \(x\) måles i timer og \(y\) i kilometer, får stigningstallet enheten km/h, altså fart.

Sammenhengen er at stigningstallet til funksjonen er det samme som Jennys gjennomsnittsfart. Enheten for stigningstallet er:

Oppgave 7

Rabatten er 200 kr, og opprinnelig pris er 979 kr. Prosentvis rabatt beregnes slik:

Vi regner ut:

Del 2 – Med hjelpemidler

Oppgave 1

Wheele (rød graf):

Grafen starter i origo \((0, 0)\) og er en rett linje som går gjennom \(A = (100, 300)\).

Wheele har ingen startpris, men koster 3 kr per minutt. Funksjonen er:

Flex (blå graf):

Grafen starter ved ca. \(y = 79\) kr når \(x = 0\), og går gjennom \(A = (100, 300)\).

Flex har en startpris (oppstartskostnad) på ca. 79 kr, og koster deretter ca. 2,21 kr per minutt. Funksjonen er omtrent:

Sammenligning:

• For korte turer (under 100 minutter) er Wheele billigst, fordi den ikke har oppstartskostnad.
• For lengre turer (over 100 minutter) er Flex billigst, fordi den har lavere minutt-pris.
• Ved nøyaktig 100 minutter koster begge 300 kr.

Oppgave 2

Vi kaller prisen for én flaske smoothie \(p\) kr. For å sammenligne tilbudene beregner vi prisen per flaske i hvert tilbud.

Tilbud 1: Kjøp 3, få 2 gratis

Du betaler for 3 flasker og får 5 totalt:

Det tilsvarer 60 % av ordinær pris, altså 40 % rabatt.

Tilbud 2: 25 % rabatt på hver flaske

Det tilsvarer 25 % rabatt.

Tilbud 3: Kjøp 1, få 50 % på neste

Du betaler full pris for den første og halv pris for den andre. For 2 flasker:

Det tilsvarer 25 % rabatt.

Tilbud 4: Kjøp 2, få 1 gratis

Du betaler for 2 flasker og får 3 totalt:

Det tilsvarer ca. 33,3 % rabatt.

Rangering fra billigst til dyrest per flaske:

Oppgave 3

a) Gjennomsnittlig ukelønn

Vi regner ut totalbeløpet og deler på antall elever:

Antall elever som deltok:

Gjennomsnittlig ukelønn:

b) Antall elever på 10. trinn

La \(n\) være antall elever som ikke var på skolen, og \(S\) være summen av deres ukelønner. Etter at alle har svart, skal gjennomsnittet være 100 kr. Totalt antall elever er \(30 + n\).

Ukelønna til hver elev er mellom 0 og 200 kr (basert på tabellen). Dermed gjelder:

Fra \(S = 300 + 100n\) og \(S \leq 200n\):

Fra \(S = 300 + 100n\) og \(S \geq 0\): dette er alltid oppfylt når \(n \geq 3\).

Det betyr at det var minst 3 elever borte. Totalt antall elever er da minst \(30 + 3 = 33\).

Oppgave 4

Halvor gjør en feil. Han halverer radiusen i stedet for å halvere arealet.

Halvors metode (feil):

Halvor halverer radiusen fra 6 til 3 og regner ut arealet av en hel sirkel med radius 3:

Men dette gir arealet av en hel sirkel med radius 3, ikke en halvsirkel med radius 6.

Korrekt metode:

En halvsirkel med radius 6 har et areal som er halvparten av arealet til en hel sirkel med radius 6:

Sammenligning:

Halvors svar er nøyaktig halvparten av det riktige svaret. Det er fordi \(\left(\frac{r}{2}\right)^2 = \frac{r^2}{4}\), ikke \(\frac{r^2}{2}\). Å halvere radiusen gir en sirkel med en fjerdedel av arealet, ikke halvparten. Grunnen er at arealet avhenger av \(r^2\), altså kvadratet av radiusen. Når du halverer radiusen, kvadrerer du den halve verdien: \(\left(\frac{r}{2}\right)^2 = \frac{r^2}{4}\). For å halvere arealet må du i stedet dele selve arealformelen med 2.

Oppgave 5

a) Forklaring av programmet

Når programmet kjøres, skjer følgende:

1. Brukeren skriver inn et heltall som bestemmer hvor mange ganger terningen skal kastes (variabelen antall_terningkast).
2. Programmet går inn i en løkke som gjentas like mange ganger som det innleste tallet.
3. For hvert kast genererer programmet et tilfeldig tall mellom 1 og 6 (simulerer et terningkast).
4. Det tilfeldige tallet legges til i en liste.
5. Etter at alle kastene er gjennomført, skrives hele listen med resultater ut til skjermen.

Resultatet er en liste med tilfeldige tall mellom 1 og 6, der antallet tall i listen tilsvarer antall terningkast brukeren valgte.

b) Anbefalt verdi for antall_terningkast

Store talls lov sier at jo flere ganger et forsøk gjentas, desto nærmere kommer den relative frekvensen den teoretiske sannsynligheten.

For en terning er den teoretiske sannsynligheten for hvert utfall \(\frac{1}{6} \approx 16{,}7\,\%\).

For at tabellen tydelig skal vise at alle utfallene er tilnærmet like sannsynlige, bør man velge et stort antall kast.

Med for eksempel 10 kast kan fordelingen bli svært ujevn. Med 100 kast begynner mønsteret å bli synlig. Med 1000 kast eller mer vil den relative frekvensen for hvert utfall ligge nær 16,7 %.

Oppgave 6

Alternativ A: 10 000 kr med én gang.

Alternativ B: 1 krone som dobler seg hver dag i 14 dager.

Før dag 1 har Nicolas 1 kr. Etter dag 1 har han 2 kr, etter dag 2 har han 4 kr, osv.

Beløpet etter \(n\) dager er:

Vi regner ut dag for dag:

Etter 14 dager har Nicolas:

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

• Definer doblingsmodellen: f(x) := 2^x
• Beregn beløpet etter 14 dager: f(14) → gir \(16\,384\) kr

Oppgave 7

Konkret eksempel med tallene 4 og 2:

Det store kvadratet har side \((4 + 2) = 6\), så arealet er:

Det lille hvite kvadratet har side \((4 - 2) = 2\), så arealet er:

Arealet av det blå området:

Prøver med tallene 5 og 1:

Stort kvadrat: side \((5 + 1) = 6\), areal \(= 36\).

Lite kvadrat: side \((5 - 1) = 4\), areal \(= 16\).

Blått område: \(36 - 16 = 20\).

Prøver med tallene 3 og 3:

Stort kvadrat: side \((3 + 3) = 6\), areal \(= 36\).

Lite kvadrat: side \((3 - 3) = 0\), areal \(= 0\).

Blått område: \(36 - 0 = 36\).

Generalisering:

La de to tallene være \(a\) og \(b\). Da er:

Vi regner ut algebraisk ved å bruke kvadratsetningene:

Trekker fra:

Dette kalles konjugatsetningen: \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\), som også gir oss at \((a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab\).

Verifisering:

• \(a = 4, b = 2\): \(4 \cdot 4 \cdot 2 = 32\) ✓
• \(a = 5, b = 1\): \(4 \cdot 5 \cdot 1 = 20\) ✓
• \(a = 3, b = 3\): \(4 \cdot 3 \cdot 3 = 36\) ✓

Oppgave 8

Vi skal vurdere om Therese har råd til mopedbilen, og hva det totalt koster å eie den i to år.

Thereses sparepenger

Sparepengene (41 827 kr) har stått på konto i 3 år med 1,5 % rente. Vi finner hva hun satte inn opprinnelig:

Alternativt er det 41 827 kr hun har nå, som allerede inkluderer renten. Vi bruker dette beløpet direkte som det hun har tilgjengelig.

Engangskostnader (ved kjøp)

Årlige kostnader

Ansvarsforsikring: 4 000 kr/år

Veiavgift: 470 kr/år

Drivstoff:

Sum årlige kostnader:

Totale kostnader over 2 år

Verditap på bilen

Bilen taper 10 % av verdien hvert år:

Verditapet over 2 år:

Total nettokostnad over 2 år

Om Therese selger bilen etter 2 år, er nettokostnaden:

Mer presist:

Thereses inntekter over 2 år

Sparepenger: 41 827 kr

Lønn fra deltidsjobb over 2 år:

Totalt tilgjengelig:

Har Therese råd?

Therese trenger 109 388 kr totalt i utgifter over 2 år (før eventuelt salg). Hun har sparepenger (41 827 kr) og vil tjene 72 000 kr over 2 år.

Utfordringen er tidspunktet. Ved kjøp trenger hun 96 190 kr, men hun har bare 41 827 kr. Hun mangler:

Med 3 000 kr/mnd tar det:

Therese har altså ikke nok penger til å kjøpe bilen med én gang. Hun må enten spare i ca. 18 måneder til, eller ta opp lån/få hjelp fra foreldre.