Hva er en stokastisk variabel?

En stokastisk variabel $X$ er en funksjon som tilordner et reelt tall til hvert utfall i utfallsrommet $\Omega$. I praksis er $X$ den tallstørrelsen vi måler i et tilfeldig forsøk, for eksempel antall kron i 10 myntkast eller levetiden til en komponent.

Grunnregel — diskret vs. kontinuerlig:
En diskret variabel tar tellbart mange verdier og beskrives ved punktsannsynlighet $p(x)=P(X=x)$ med $p(x)\ge 0$ og $\sum_x p(x)=1$.
En kontinuerlig variabel tar verdier i et intervall og beskrives ved en tetthet $f(x)$ med $f(x)\ge 0$ og $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1$. For en kontinuerlig variabel er $P(X=x)=0$ i ethvert enkeltpunkt.

Sannsynlighetsfordeling

Sannsynlighetsfordelingen beskriver hvordan sannsynligheten er fordelt over de mulige verdiene. For diskrete variabler regner vi sannsynligheter ved å summere $p(x)$; for kontinuerlige integrerer vi tettheten: $P(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx$. Arealet under tetthetskurven er altså sannsynligheten.

Kumulativ fordelingsfunksjon

Den kumulative fordelingsfunksjonen (CDF) er $F(x)=P(X\le x)$. Den finnes for både diskrete og kontinuerlige variabler og oppfyller: ikke-avtagende, høyrekontinuerlig, $F(-\infty)=0$ og $F(\infty)=1$. For diskrete variabler er $F$ en trappefunksjon der hoppet i $x_0$ er $p(x_0)$. For kontinuerlige variabler er $F$ kontinuerlig og $f(x)=F'(x)$.

Eksempel 1 — kontinuerlig variabel med $f(x)=2x$ på $[0,1]$:
Kontroll av normalisering: $\int_0^1 2x\,dx=[x^2]_0^1=1$. ✓
CDF: $F(x)=\int_0^x 2t\,dt=x^2$ for $0\le x\le 1$.
$P(X\le 0{,}5)=F(0{,}5)=0{,}5^2=0{,}25$.
Forventning: $E[X]=\int_0^1 x\cdot 2x\,dx=\int_0^1 2x^2\,dx=\tfrac23$.
$E[X^2]=\int_0^1 2x^3\,dx=\tfrac12$, så $\operatorname{Var}(X)=\tfrac12-\left(\tfrac23\right)^2=\tfrac12-\tfrac49=\tfrac{1}{18}$.

Sannsynlighetstetthet og normalisering

En vanlig oppgavetype er å finne en ukjent konstant slik at $f$ blir en gyldig tetthet. Sett da $\int f(x)\,dx=1$ og løs for konstanten. Husk at $f(x)$ godt kan være større enn $1$ — det er ingen sannsynlighet, men en tetthet.

Eksempel 2 — finn konstanten og en sannsynlighet for $f(x)=kx^2$ på $[0,2]$:
Normalisering: $\int_0^2 kx^2\,dx=k\cdot\left[\tfrac{x^3}{3}\right]_0^2=k\cdot\tfrac{8}{3}=1\Rightarrow k=\tfrac{3}{8}$.
Sannsynlighet: $P(X\le 1)=\int_0^1 \tfrac38 x^2\,dx=\tfrac38\cdot\tfrac13=\tfrac18=0{,}125$.
Forventning: $E[X]=\int_0^2 x\cdot\tfrac38 x^2\,dx=\tfrac38\int_0^2 x^3\,dx=\tfrac38\cdot\tfrac{16}{4}=\tfrac32$.

Forventning og varians

Forventningsverdien $E[X]$ er fordelingens tyngdepunkt, mens variansen $\operatorname{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2$ måler spredning. Standardavviket $\sigma=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}$ har samme enhet som $X$. Lineære transformasjoner følger reglene $E[aX+b]=aE[X]+b$ og $\operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X)$. Disse begrepene er grunnlaget for senere temaer som forventningsrette estimatorer, der vi krever $E[\hat{\theta}]=\theta$.

Studieguide: Stokastiske variabler