Grunnbegreper for kontinuerlige fordelinger

En kontinuerlig stokastisk variabel $X$ har en sannsynlighetstetthet $f(x)\ge 0$ slik at sannsynligheter beregnes som areal: $P(akumulative fordelingsfunksjonen er $F(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^x f(t)\,dt$, og $f(x)=F'(x)$. Fordi arealet over et enkeltpunkt er null, gjelder $P(X=a)=0$, og dermed $P(X\le a)=P(X

Grunnregel: En gyldig tetthet oppfyller $f(x)\ge 0$ og $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1$. Forventning: $E[X]=\int x f(x)\,dx$. Varians: $\text{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2$.

Normalfordeling og standardisering

Normalfordelingen $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ har tetthet $f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}$, er klokkeformet og symmetrisk om $\mu$. For å beregne sannsynligheter standardiserer vi til $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$ og bruker tabellen $\Phi(z)=P(Z\le z)$. Ved symmetri er $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$.

Eksempel 1 (standardisering): La $X\sim N(100,225)$, altså $\mu=100$, $\sigma=15$. Finn $P(X>120)$.
Standardiser: $z=\frac{120-100}{15}=\frac{20}{15}=1{,}333$.
$P(X>120)=1-\Phi(1{,}333)\approx 1-0{,}9088=\mathbf{0{,}0912}$.
For et intervall: $P(85

Summen av uavhengige normalfordelte variabler er normalfordelt: $X+Y\sim N(\mu_X+\mu_Y,\;\sigma_X^2+\sigma_Y^2)$. Husk at varianser adderes, ikke standardavvik. En lineær transformasjon gir $aX+b\sim N(a\mu+b,\,a^2\sigma^2)$. Sentralgrenseteoremet sier at gjennomsnittet $\bar{X}\approx N(\mu,\sigma^2/n)$ for stor $n$.

Eksponentialfordelingen

$X\sim\text{Exp}(\lambda)$ har tetthet $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ for $x\ge 0$, fordelingsfunksjon $F(x)=1-e^{-\lambda x}$, og hale $P(X>x)=e^{-\lambda x}$. Forventning $E[X]=\frac{1}{\lambda}$ og varians $\text{Var}(X)=\frac{1}{\lambda^2}$. Den modellerer ventetider i en Poissonprosess og er hukommelsesløs: $P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t)$.

Eksempel 2 (eksponential): En komponents levetid er $\text{Exp}(\lambda)$ med forventet levetid $8$ år, så $\lambda=\frac{1}{8}$.
Sannsynlighet for å vare mer enn $16$ år: $P(X>16)=e^{-16/8}=e^{-2}\approx \mathbf{0{,}135}$.
Hvis komponenten allerede har vart $5$ år: $P(X>16\mid X>5)=P(X>11)=e^{-11/8}=e^{-1{,}375}\approx 0{,}253$ (hukommelsesløshet — kun gjenstående tid teller).

Uniform fordeling

$X\sim U[a,b]$ har konstant tetthet $f(x)=\frac{1}{b-a}$ på $[a,b]$. Da er $F(x)=\frac{x-a}{b-a}$, $E[X]=\frac{a+b}{2}$ og $\text{Var}(X)=\frac{(b-a)^2}{12}$. Sannsynligheten for et delintervall er proporsjonal med lengden: $P(c

Gammafordelingen

$X\sim\text{Gamma}(\alpha,\beta)$ (skala-form) har tetthet $f(x)=\frac{1}{\beta^\alpha\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-x/\beta}$ for $x>0$, med $E[X]=\alpha\beta$ og $\text{Var}(X)=\alpha\beta^2$. Gammafunksjonen oppfyller $\Gamma(n)=(n-1)!$ for heltall og $\Gamma(\tfrac12)=\sqrt{\pi}$. Med $\alpha=1$ reduseres gamma til eksponentialfordelingen, og summen av $n$ uavhengige $\text{Exp}(\lambda)$ er gamma med form $\alpha=n$ og rate $\lambda$.

Studieguide: Kontinuerlige fordelinger