Oversikt over de fem diskrete fordelingene

I TMA4245 møter du fem sentrale diskrete fordelinger. Eksamensoppgavene tester først og fremst om du klarer å gjenkjenne riktig modell fra en tekstoppgave og deretter regne ut sannsynligheter, forventning og varians.

Grunnregel — valg av modell:

Binomisk $\mathrm{bin}(n,p)$: fast antall $n$ uavhengige forsøk, konstant $p$. Teller antall suksesser.
Poisson $\mathrm{Poisson}(\lambda)$: antall hendelser i et fast tids-/romintervall med intensitet $\lambda$.
Hypergeometrisk: trekning av $n$ uten tilbakelegging fra populasjon $N$ med $K$ suksesser.
Geometrisk $\mathrm{geom}(p)$: antall forsøk til første suksess.
Negativ binomisk $\mathrm{negbin}(r,p)$: antall forsøk til $r$-te suksess.

Binomisk fordeling

Punktsannsynligheten er $$P(X=x)=\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x},\quad x=0,1,\dots,n,$$ med $E[X]=np$ og $\mathrm{Var}(X)=np(1-p)$. Summen av to uavhengige binomiske med samme $p$ er igjen binomisk: $\mathrm{bin}(n_1+n_2,p)$.

Eksempel 1 (binomisk): La $X\sim\mathrm{bin}(10;\,0{,}3)$. Finn $P(X=4)$.
$$P(X=4)=\binom{10}{4}0{,}3^4\cdot0{,}7^6=210\cdot0{,}0081\cdot0{,}117649\approx0{,}2001.$$ Forventning $E[X]=10\cdot0{,}3=3$ og varians $\mathrm{Var}(X)=10\cdot0{,}3\cdot0{,}7=2{,}1$.

Poissonfordeling

$$P(X=x)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!},\quad x=0,1,2,\dots,\qquad E[X]=\mathrm{Var}(X)=\lambda.$$ Over et intervall av lengde $t$ med rate $\lambda_0$ er $\lambda=\lambda_0 t$. Summen av uavhengige Poisson er Poisson med summert parameter. Når $n$ er stor og $p$ liten, tilnærmes $\mathrm{bin}(n,p)$ med $\mathrm{Poisson}(np)$.

Eksempel 2 (Poisson over intervall): Et kundesenter mottar i snitt $2$ samtaler per time. Finn sannsynligheten for nøyaktig $5$ samtaler i løpet av $3$ timer.
Intensiteten over $3$ timer er $\lambda=2\cdot3=6$. $$P(X=5)=e^{-6}\frac{6^5}{5!}=e^{-6}\cdot\frac{7776}{120}\approx0{,}1606.$$

Hypergeometrisk fordeling

Ved trekning uten tilbakelegging er $$P(X=x)=\frac{\binom{K}{x}\binom{N-K}{n-x}}{\binom{N}{n}},$$ med $E[X]=n\frac{K}{N}$ og $\mathrm{Var}(X)=n\frac{K}{N}\left(1-\frac{K}{N}\right)\frac{N-n}{N-1}$. Den siste faktoren er korreksjonen for endelig populasjon. Når $n/N\le0{,}1$ kan man tilnærme med $\mathrm{bin}(n,\,K/N)$.

Eksempel 3 (hypergeometrisk): En urne har $20$ kuler, $8$ røde og $12$ blå. Vi trekker $5$ uten tilbakelegging. Finn $P(\text{nøyaktig }2\text{ røde})$.
$$P(X=2)=\frac{\binom{8}{2}\binom{12}{3}}{\binom{20}{5}}=\frac{28\cdot220}{15504}\approx0{,}3973.$$ Forventning: $E[X]=5\cdot\frac{8}{20}=2{,}0$.

Geometrisk og negativ binomisk fordeling

Geometrisk (antall forsøk til første suksess): $$P(X=x)=(1-p)^{x-1}p,\qquad E[X]=\frac{1}{p},\qquad \mathrm{Var}(X)=\frac{1-p}{p^2},$$ med halefordelingen $P(X>k)=(1-p)^k$ og hukommelsesløshet $P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t)$.

Negativ binomisk (antall forsøk til $r$-te suksess): $$P(X=x)=\binom{x-1}{r-1}p^r(1-p)^{x-r},\qquad E[X]=\frac{r}{p},\qquad \mathrm{Var}(X)=\frac{r(1-p)}{p^2}.$$ For $r=1$ reduseres dette til geometrisk fordeling, og generelt er en negativ binomisk variabel summen av $r$ uavhengige geometriske variabler.

Eksempel 4 (negativ binomisk): La $X\sim\mathrm{negbin}(r=3,\,p=0{,}4)$ telle antall forsøk til $3.$ suksess. Finn $P(X=5)$.
$$P(X=5)=\binom{4}{2}0{,}4^3\cdot0{,}6^2=6\cdot0{,}064\cdot0{,}36\approx0{,}1382.$$ Forventning $E[X]=\frac{3}{0{,}4}=7{,}5$ og varians $\mathrm{Var}(X)=\frac{3\cdot0{,}6}{0{,}16}=11{,}25$.

Studieguide: Diskrete fordelinger

Studieguide: Diskrete fordelinger