Hva er et underrom?

Et underrom $H$ av $\mathbb{R}^n$ er en delmengde som selv oppfører seg som et vektorrom. Du trenger ikke sjekke alle ti vektorromsaksiomene — det holder å verifisere tre ting.

Grunnregel — tre krav til underrom:
1) $\mathbf{0}\in H$ (nullvektoren ligger i $H$).
2) Lukket under addisjon: $\mathbf{u},\mathbf{v}\in H\Rightarrow\mathbf{u}+\mathbf{v}\in H$.
3) Lukket under skalarmultiplikasjon: $\mathbf{u}\in H,\,c\in\mathbb{R}\Rightarrow c\mathbf{u}\in H$.
Feiler ett av kravene, er $H$ ikke et underrom. Den raskeste testen er ofte $\mathbf{0}\in H$.

Linjer og plan gjennom origo er underrom; de samme objektene forskjøvet bort fra origo er det ikke (de mangler $\mathbf{0}$).

Spenn

Spennet $\operatorname{Span}\{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_p\}$ er mengden av alle lineærkombinasjoner $c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_p\mathbf{v}_p$. Et spenn er alltid et underrom, så en effektiv måte å vise at noe er et underrom på, er å skrive det som et spenn.

Eksempel 1 — ligger $\mathbf{b}$ i spennet?
Er $(1,h,2)\in\operatorname{Span}\{(1,2,4),(0,1,2)\}$, og for hvilke $h$?
Sett $a(1,2,4)+b(0,1,2)=(1,h,2)$. Komponentvis:
$a=1$ (første), $\;2a+b=h$ (andre), $\;4a+2b=2$ (tredje).
Fra tredje: $4+2b=2\Rightarrow b=-1$. Da gir andre: $h=2(1)+(-1)=1$.
Svar: $\mathbf{b}$ ligger i spennet kun når $h=1$.

Lineær uavhengighet

Settet $\{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_p\}$ er lineært uavhengig dersom $c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_p\mathbf{v}_p=\mathbf{0}$ tvinger frem $c_1=\cdots=c_p=0$. For en kvadratisk matrise med disse som kolonner er dette ekvivalent med $\det\neq 0$. Husk: flere enn $n$ vektorer i $\mathbb{R}^n$ er alltid avhengige.

Eksempel 2 — uavhengighet via determinant.
Er $(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)$ uavhengige i $\mathbb{R}^3$?
$$\det\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}=1(1\cdot1-0\cdot1)-0+1(1\cdot1-1\cdot0)=1+1=2\neq 0.$$ Determinanten er $2\neq 0$, så vektorene er lineært uavhengige og danner en basis for $\mathbb{R}^3$.

Nullrom og kolonnerom

Til hver $m\times n$-matrise $A$ knyttes to underrom:

• Nullrommet $\operatorname{Nul}A=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n:A\mathbf{x}=\mathbf{0}\}$ — et underrom av $\mathbb{R}^n$. Finn basis ved å løse $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ og skrive løsningen på parametrisk vektorform.

• Kolonnerommet $\operatorname{Col}A=\operatorname{Span}\{\text{kolonner}\}$ — et underrom av $\mathbb{R}^m$. Basis er pivotkolonnene fra originale $A$.

Eksempel 3 — basis for $\operatorname{Nul}A$.
$A=\begin{pmatrix}1&2&-1\\2&4&-2\end{pmatrix}$. Rad 2 $=2\cdot$rad 1, så trappeform: $\begin{pmatrix}1&2&-1\\0&0&0\end{pmatrix}$.
Likningen er $x_1+2x_2-x_3=0\Rightarrow x_1=-2x_2+x_3$. Frie variabler $x_2=s,\,x_3=t$:
$$\mathbf{x}=s\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}.$$ Basis for $\operatorname{Nul}A$: $\{(-2,1,0),(1,0,1)\}$, altså $\dim\operatorname{Nul}A=2$.

Rang og rangteoremet

Rangen er $\operatorname{rang}A=\dim\operatorname{Col}A$ = antall pivotkolonner. Rangteoremet binder de to underrommene sammen:

Rangteoremet: $$\operatorname{rang}A+\dim\operatorname{Nul}A=n\quad(n=\text{antall kolonner}).$$ Tolkning: hver kolonne er enten en pivotkolonne (bidrar til rangen) eller svarer til en fri variabel (bidrar til nulliteten).

Praktiske konsekvenser: $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ er løsbar for alle $\mathbf{b}\in\mathbb{R}^m$ nettopp når $\operatorname{rang}A=m$ (kolonnene spenner $\mathbb{R}^m$). Kolonnene er uavhengige nettopp når $\operatorname{rang}A=n$ (da er $\operatorname{Nul}A=\{\mathbf{0}\}$).

Studieguide: Vektorrom og underrom

Studieguide: Vektorrom og underrom