Matriseprodukt

Produktet $C=AB$ er definert når antall kolonner i $A$ er lik antall rader i $B$. Hvis $A$ er $m\times n$ og $B$ er $n\times p$, blir $C$ en $m\times p$-matrise med element $$c_{ij}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj},$$ altså prikkproduktet av rad $i$ i $A$ og kolonne $j$ i $B$.

Grunnregel: Matrisemultiplikasjon er ikke kommutativ ($AB\neq BA$ generelt), men den er assosiativ $(AB)C=A(BC)$ og distributiv $A(B+C)=AB+AC$. Identitetsmatrisen oppfyller $AI=IA=A$.

Eksempel 1 (matriseprodukt):

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 6 & 1 \end{pmatrix}.$$

Rad 1: $(1\cdot 5+2\cdot 6,\ 1\cdot 0+2\cdot 1)=(17,2)$.
Rad 2: $(3\cdot 5+4\cdot 6,\ 3\cdot 0+4\cdot 1)=(39,4)$.

Svar: $\begin{pmatrix} 17 & 2 \\ 39 & 4 \end{pmatrix}$.

Transponert

Den transponerte $A^T$ fås ved å bytte rader og kolonner: $(A^T)_{ij}=A_{ji}$. Viktige regler: $(A+B)^T=A^T+B^T$, $(AB)^T=B^TA^T$ (snudd rekkefølge), $(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}$ og $\det(A^T)=\det(A)$. En matrise er symmetrisk når $A^T=A$. Både $A^TA$ og $AA^T$ er alltid symmetriske — sentralt i normallikningene for minste kvadraters metode.

Invers matrise

For en kvadratisk matrise er $A^{-1}$ definert ved $AA^{-1}=A^{-1}A=I$. For $2\times 2$: $$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.$$ For større matriser bruker man Gauss-Jordan: radredusér $[A\,|\,I]$ til $[I\,|\,A^{-1}]$. En matrise er inverterbar hvis og bare hvis $\det A\neq 0$.

Eksempel 2 (invers via Gauss-Jordan):

Finn $A^{-1}$ for $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 8 \end{pmatrix}$.

$\det A=1\cdot 8-2\cdot 3=2\neq 0$. Med formelen:
$$A^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 8 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -3/2 & 1/2 \end{pmatrix}.$$

Kontroll: $AA^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 8 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -3/2 & 1/2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=I.$ ✓

Elementærmatriser

En elementærmatrise er resultatet av én elementær radoperasjon på $I$. Det finnes tre typer: radbytte, skalering av en rad, og addisjon av et multiplum av en rad til en annen. Å venstremultiplisere $A$ med en elementærmatrise ($EA$) utfører den samme radoperasjonen på $A$. Inversen til en elementærmatrise er elementærmatrisen for den motsatte operasjonen. En sentral teorem: en kvadratisk matrise er inverterbar hvis og bare hvis den er et produkt av elementærmatriser.

Eksempel 3 (elementærmatrise):

«Legg $-2\times$ rad 1 til rad 2» i $3\times 3$ gir $$E=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$ Inversen er $E^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ (legg $+2\times$ rad 1 til rad 2).

LU-faktorisering

LU-faktorisering skriver $A=LU$ der $L$ er nedre triangulær (med ettall på diagonalen) og $U$ er øvre triangulær. Den fås direkte fra Gauss-eliminasjon uten radbytter: multiplikatorene man bruker for å eliminere under hvert pivot lagres i $L$, og resultatet av elimineringen er $U$. Hvis et pivot blir null trengs radbytter, og man får $PA=LU$ med en permutasjonsmatrise $P$.

Grunnregel (løse system med LU): For å løse $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ med $A=LU$: løs først $L\mathbf{y}=\mathbf{b}$ med foroverinnsetting, deretter $U\mathbf{x}=\mathbf{y}$ med bakoverinnsetting. Faktoriseringen gjøres bare én gang, så nye høyresider $\mathbf{b}$ løses raskt.

Eksempel 4 (LU-faktorisering):

Faktorisér $A=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 3 \end{pmatrix}$.

Multiplikator: $6/2=3$. Rad 2 ny $=$ rad 2 $-3\cdot$ rad 1 $=(0,\ 3-12)=(0,-9)$.

$$U=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 0 & -9 \end{pmatrix},\quad L=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}.$$

Kontroll: $LU=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 0 & -9 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 3 \end{pmatrix}=A.$ ✓

Studieguide: Matriser og matriseregning