Systemet $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}$

Et lineært homogent differensiallikningssystem med konstante koeffisienter skrives $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}$, der $A$ er en konstant $n\times n$-matrise og $\mathbf{x}(t)$ er en vektorfunksjon vi søker. Et $n$-dimensjonalt system har nøyaktig $n$ lineært uavhengige løsninger, og den generelle løsningen er deres lineærkombinasjon. Også en 2. ordens skalarlikning som $y''+py'+qy=0$ kan skrives som et $2\times2$-system med $x_1=y,\ x_2=y'$.

Grunnregel: Hvis $\lambda$ er en egenverdi til $A$ med egenvektor $\mathbf{v}$ (altså $A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$), så er $\mathbf{x}(t)=e^{\lambda t}\mathbf{v}$ en løsning av $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}$. For et $2\times2$-system med distinkte egenverdier blir den generelle løsningen $$\mathbf{x}(t)=c_1 e^{\lambda_1 t}\mathbf{v}_1+c_2 e^{\lambda_2 t}\mathbf{v}_2.$$

Løsning via egenverdier

Oppskriften er: (1) finn egenverdiene fra den karakteristiske likningen $\det(A-\lambda I)=0$; (2) finn en egenvektor for hver egenverdi ved å løse $(A-\lambda_i I)\mathbf{v}=\mathbf{0}$ med radreduksjon; (3) sett sammen den generelle løsningen; (4) bruk begynnelsesbetingelsen til å bestemme konstantene.

Eksempel 1 — reelle egenverdier. Løs $\mathbf{x}'=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\mathbf{x}$.
Karakteristisk likning: $\det\begin{pmatrix}1-\lambda&2\\2&1-\lambda\end{pmatrix}=(1-\lambda)^2-4=\lambda^2-2\lambda-3=(\lambda-3)(\lambda+1)=0$, så $\lambda_1=3,\ \lambda_2=-1$.
For $\lambda=3$: $(A-3I)=\begin{pmatrix}-2&2\\2&-2\end{pmatrix}\Rightarrow v_1=v_2$, så $\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$.
For $\lambda=-1$: $(A+I)=\begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix}\Rightarrow v_1=-v_2$, så $\mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$.
Generell løsning: $$\mathbf{x}(t)=c_1 e^{3t}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+c_2 e^{-t}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}.$$ Med $\mathbf{x}(0)=\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}$ får vi $c_1+c_2=2,\ c_1-c_2=0$, altså $c_1=c_2=1$.

Komplekse egenverdier og oscillasjon

Når den karakteristiske likningen har komplekse røtter $\lambda=a\pm bi$ (de opptrer alltid i konjugerte par for reelle $A$), blir løsningene oscillerende. Ved Eulers formel er $e^{\lambda t}=e^{at}(\cos bt+i\sin bt)$. Tar man real- og imaginærdelen av $e^{\lambda t}\mathbf{v}$ (med $\mathbf{v}=\mathbf{p}+i\mathbf{q}$) får man to reelle, uavhengige løsninger $$\mathbf{x}_1=e^{at}(\mathbf{p}\cos bt-\mathbf{q}\sin bt),\quad \mathbf{x}_2=e^{at}(\mathbf{p}\sin bt+\mathbf{q}\cos bt).$$ Imaginærdelen $b$ gir frekvensen, og realdelen $a$ styrer amplituden via $e^{at}$.

Eksempel 2 — komplekse egenverdier. $A=\begin{pmatrix}2&-1\\1&2\end{pmatrix}$.
$\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)^2+1=0\Rightarrow(2-\lambda)^2=-1\Rightarrow\lambda=2\pm i$.
Realdelen $a=2>0$, imaginærdelen $b=1$: løsningene oscillerer med vinkelfrekvens $1$ og voksende amplitude $e^{2t}$. Origo er en ustabil fokus (utadgående spiral).
Til sammenlikning: $A=\begin{pmatrix}0&2\\-2&0\end{pmatrix}$ gir $\lambda=\pm2i$ med $a=0$ — rene periodiske svingninger, et sentrum.

Fundamentalmatrise og $e^{At}$

En fundamentalmatrise $\Phi(t)$ er en matrise hvis kolonner er $n$ lineært uavhengige løsninger; da er $\Phi'(t)=A\Phi(t)$ og $\det\Phi(t)\neq0$ for alle $t$ (Abels formel: $\det\Phi(t)=\det\Phi(0)e^{\operatorname{spor}(A)t}$). Den generelle løsningen er $\mathbf{x}(t)=\Phi(t)\mathbf{c}$. Matriseeksponentialen $e^{At}$ er den spesielle fundamentalmatrisen med $e^{A\cdot0}=I$, slik at begynnelsesverdiproblemet løses ved $\mathbf{x}(t)=e^{At}\mathbf{x}_0$. For diagonaliserbar $A=PDP^{-1}$ er $e^{At}=Pe^{Dt}P^{-1}$ med $e^{Dt}=\operatorname{diag}(e^{\lambda_1 t},\dots,e^{\lambda_n t})$. Med en vilkårlig fundamentalmatrise er $e^{At}=\Phi(t)\Phi(0)^{-1}$.

Stabilitet

Stabiliteten av likevektspunktet origo avgjøres av egenverdienes realdeler. Origo er asymptotisk stabilt hvis og bare hvis alle egenverdier har $\operatorname{Re}(\lambda)<0$. For et $2\times2$-system gjelder en rask test: siden $\operatorname{spor}(A)=\lambda_1+\lambda_2$ og $\det(A)=\lambda_1\lambda_2$, er origo asymptotisk stabilt hvis og bare hvis $\operatorname{spor}(A)<0$ og $\det(A)>0$. Klassifisering: reelle egenverdier av samme fortegn gir en knute (stabil hvis begge negative, ustabil hvis begge positive); reelle av motsatt fortegn gir et sadelpunkt (alltid ustabilt, $\det A<0$); komplekse med $\operatorname{Re}\neq0$ gir en fokus/spiral (stabil hvis $a<0$); rent imaginære gir et sentrum (marginalt stabilt).

Studieguide: Lineære differensiallikningssystemer

Studieguide: Lineære differensiallikningssystemer