1. Hva er en lineæravbildning?

En funksjon $T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ kalles en lineæravbildning hvis den bevarer de to grunnoperasjonene i vektorrom: addisjon og skalarmultiplikasjon.

Grunnregel — linearitet:
$T$ er lineær hvis for alle $\mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^n$ og alle skalarer $c,d$:
$$T(c\mathbf{u}+d\mathbf{v})=cT(\mathbf{u})+dT(\mathbf{v}).$$En umiddelbar konsekvens er $T(\mathbf{0})=\mathbf{0}$. Hvis en avbildning ikke sender $\mathbf{0}$ til $\mathbf{0}$, er den ikke lineær.

2. Standardmatrisen

Enhver lineæravbildning $T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ kan skrives som matrisemultiplikasjon. Vi finner standardmatrisen ved å la kolonnene være bildene av standardbasisvektorene $\mathbf{e}_1,\dots,\mathbf{e}_n$:

$$A=\big[\,T(\mathbf{e}_1)\ \ T(\mathbf{e}_2)\ \cdots\ T(\mathbf{e}_n)\,\big],\qquad T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}.$$

Matrisen er $m\times n$ (kodomenets dimensjon ganger definisjonsmengdens dimensjon). Viktige geometriske avbildninger i $\mathbb{R}^2$:

Rotasjon $\theta$ mot klokka: $R_\theta=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$
Speiling om $x$-aksen: $\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$; om $y=x$: $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$
Projeksjon på $x$-aksen: $\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$; skalering faktor $k$: $kI$

Eksempel 1 — finn standardmatrisen.
La $T(x,y)=(x+2y,\ 3x-y)$. Vi regner ut bildene av basisvektorene:
$T(\mathbf{e}_1)=T(1,0)=(1,3)$ og $T(\mathbf{e}_2)=T(0,1)=(2,-1)$.
Disse blir kolonnene:
$$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&-1\end{pmatrix}.$$Kontroll: $A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x+2y\\3x-y\end{pmatrix}$. ✓

3. Kjerne og bilde

To underrom beskriver hvordan avbildningen oppfører seg:

Kjernen $\ker(T)=\{\mathbf{x}:T(\mathbf{x})=\mathbf{0}\}=\operatorname{Nul}(A)$ — løsningene til det homogene systemet. Et underrom av $\mathbb{R}^n$.
Bildet $\operatorname{im}(T)=\{T(\mathbf{x})\}=\operatorname{Col}(A)$ — spennet av kolonnene. Et underrom av $\mathbb{R}^m$.

Rangteoremet (dimensjonssetningen):
$$\dim(\ker T)+\underbrace{\dim(\operatorname{im} T)}_{\operatorname{rang}(A)}=n.$$Antall frie variabler pluss antall pivoter er lik antall kolonner $n$.

Eksempel 2 — kjerne via radreduksjon.
La $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\end{pmatrix}$. Rad 2 $-$ 2·Rad 1 gir $\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\end{pmatrix}$. Eneste ligning: $x_1=-2x_2-3x_3$ med frie variabler $x_2,x_3$. Da:
$$\ker=\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-3\\0\\1\end{pmatrix}\right\},\quad \dim(\ker)=2.$$Sjekk rangteoremet: $\operatorname{rang}=1$, og $1+2=3=n$. ✓

4. Injektiv og surjektiv

Egenskapene avhenger direkte av rangen og pivotmønsteret:

Injektiv	$\ker T=\{\mathbf{0}\}$, kolonner lin. uavh., pivot i hver kolonne, $\operatorname{rang}=n$
Surjektiv	$\operatorname{im} T=\mathbb{R}^m$, kolonner spenner $\mathbb{R}^m$, pivot i hver rad, $\operatorname{rang}=m$

Konsekvenser av dimensjonene: hvis $n>m$ kan $T$ aldri være injektiv (kjernen er minst $n-m$-dimensjonal); hvis $naldri være surjektiv. For kvadratiske matriser ($m=n$) er injektiv, surjektiv og bijektiv ekvivalente, alt styrt av $\det A\ne 0$ (invertibel matrise-teoremet).

5. Sammensetning av avbildninger

Hvis $S:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^p$ har matrise $B$ og $T:\mathbb{R}^p\to\mathbb{R}^m$ har matrise $A$, så er sammensetningen $T\circ S:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ lineær med matrise

$$(T\circ S)(\mathbf{x})=A(B\mathbf{x})=(AB)\mathbf{x},\qquad\text{matrise}=AB.$$

Husk rekkefølgen: funksjonen som anvendes først ($S$) står lengst til høyre i produktet. Sammensetning er generelt ikke kommutativ siden $AB\ne BA$. Et viktig spesialtilfelle: to rotasjoner kombineres til $R_\alpha R_\beta=R_{\alpha+\beta}$, og to speilinger gir en rotasjon. En avbildning har invers $T^{-1}$ (med matrise $A^{-1}$) nøyaktig når $A$ er invertibel.

Studieguide: Lineæravbildninger

Studieguide: Lineæravbildninger