Hva er et komplekst tall?

Et komplekst tall skrives på kartesisk form som $z = a + bi$, der $a = \operatorname{Re}(z)$ er realdelen, $b = \operatorname{Im}(z)$ er imaginærdelen, og $i$ er den imaginære enheten med $i^2 = -1$. Vi tegner $z$ som punktet $(a,b)$ i det komplekse planet (Argand-diagrammet), med den reelle aksen vannrett og den imaginære aksen loddrett.

Grunnregel — regning på kartesisk form:

Addisjon/subtraksjon skjer komponentvis. Multiplikasjon gjøres ved å multiplisere ut og bruke $i^2 = -1$. Divisjon gjøres ved å forlenge med konjugatet av nevneren:

$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 \bar{z}_2}{z_2 \bar{z}_2} = \frac{z_1 \bar{z}_2}{|z_2|^2}.$$

Konjugat og modulus

Den komplekskonjugerte av $z = a+bi$ er $\bar{z} = a - bi$. Modulus er $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$, avstanden fra origo. Det gjelder alltid $z\bar{z} = |z|^2$, og modulus er multiplikativ: $|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$.

Eksempel 1 — divisjon:

Regn ut $\dfrac{2+i}{1-i}$.

Forleng med konjugatet $1+i$:

$$\frac{2+i}{1-i}\cdot\frac{1+i}{1+i} = \frac{(2+i)(1+i)}{1^2+1^2} = \frac{2 + 2i + i + i^2}{2} = \frac{1 + 3i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i.$$

Polarform og eksponentiell form

Et komplekst tall kan også skrives på polarform $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$, der $r = |z|$ er modulus og $\theta = \arg(z)$ er argumentet (vinkelen med positiv reell akse). Ved Eulers formel $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ får vi den kompakte eksponentielle formen $z = re^{i\theta}$.

Når man finner argumentet, må man passe på kvadranten: bruk referansevinkelen $\alpha = \arctan\left|\frac{b}{a}\right|$ og juster etter hvilken kvadrant $z$ ligger i.

Grunnregel — multiplikasjon på polarform:

$$r_1 e^{i\theta_1}\cdot r_2 e^{i\theta_2} = r_1 r_2\, e^{i(\theta_1+\theta_2)}, \qquad \frac{r_1 e^{i\theta_1}}{r_2 e^{i\theta_2}} = \frac{r_1}{r_2}\, e^{i(\theta_1-\theta_2)}.$$

Modulene multipliseres/divideres, argumentene adderes/subtraheres.

De Moivres formel og potenser

Av $\left(e^{i\theta}\right)^n = e^{in\theta}$ følger De Moivres formel:

$$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta).$$

Dette gir en effektiv måte å opphøye komplekse tall i potenser: $z^n = r^n e^{in\theta}$. Formelen brukes også til å utlede trigonometriske identiteter, f.eks. $\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$.

Eksempel 2 — potens med polarform:

Regn ut $(1+i)^4$.

Først polarform: $1+i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$ (siden $r=\sqrt{2}$, $\theta = \frac{\pi}{4}$).

$$(1+i)^4 = (\sqrt{2})^4\, e^{i\cdot 4\pi/4} = 4\,e^{i\pi} = 4(\cos\pi + i\sin\pi) = 4(-1) = -4.$$

Komplekse $n$-te røtter

Et komplekst tall $z = re^{i\theta}$ med $z \neq 0$ har nøyaktig $n$ forskjellige $n$-te røtter, gitt ved

$$z_k = r^{1/n}\, e^{i(\theta + 2\pi k)/n}, \qquad k = 0, 1, 2, \dots, n-1.$$

Alle røttene har samme modulus $r^{1/n}$ og ligger jevnt fordelt med vinkel $\frac{2\pi}{n}$ mellom seg — de danner hjørnene i en regulær $n$-kant innskrevet i en sirkel om origo.

Eksempel 3 — kubiske enhetsrøtter:

Finn alle løsninger av $z^3 = 1$.

$1 = e^{i\cdot 0}$, modulus til røttene $1^{1/3} = 1$. Argumentene er $\frac{0 + 2\pi k}{3}$ for $k=0,1,2$:

$$z_0 = e^{0} = 1, \quad z_1 = e^{i 2\pi/3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, \quad z_2 = e^{i 4\pi/3} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i.$$

De tre røttene danner en likesidet trekant på enhetssirkelen.

Komplekse røtter av polynomer

Algebraens fundamentalteorem sier at ethvert polynom av grad $n$ har nøyaktig $n$ komplekse røtter (med multiplisitet). For polynomer med reelle koeffisienter opptrer ikke-reelle røtter alltid i konjugerte par $z, \bar{z}$. Andregradslikninger med negativ diskriminant løses med abc-formelen der man tillater $\sqrt{\text{negativt tall}}$, f.eks. $z^2 + 2z + 5 = 0 \Rightarrow z = -1 \pm 2i$.

Studieguide: Komplekse tall

Studieguide: Komplekse tall