Hva er diagonalisering?

En $n\times n$-matrise $A$ kalles diagonaliserbar hvis det finnes en invertibel matrise $P$ og en diagonalmatrise $D$ slik at $$A=PDP^{-1}.$$ Da sier vi at $A$ er similær med diagonalmatrisen $D$. Geometrisk betyr det at $A$ virker som en ren skalering langs egenvektorretningene.

Grunnregel — diagonaliseringssetningen:

En $n\times n$-matrise $A$ er diagonaliserbar hvis og bare hvis den har $n$ lineært uavhengige egenvektorer. Da er kolonnene i $P$ disse egenvektorene, og diagonalen i $D$ inneholder de tilsvarende egenverdiene i samme rekkefølge: $$AP=PD.$$ Ekvivalent: for hver egenverdi må geometrisk multiplisitet = algebraisk multiplisitet.

P og D — slik diagonaliserer du

Framgangsmåten følger fire steg:

1. Egenverdier: Løs den karakteristiske likningen $\det(A-\lambda I)=0$. For en $2\times2$-matrise er denne $\lambda^2-(\mathrm{tr}A)\lambda+\det A=0$.
2. Egenvektorer: For hver $\lambda$, løs det homogene systemet $(A-\lambda I)x=0$ ved radreduksjon.
3. Sjekk uavhengighet: Trenger til sammen $n$ uavhengige egenvektorer.
4. Sett opp $P$ og $D$: Egenvektorer som kolonner i $P$, egenverdier på diagonalen i $D$ i samme rekkefølge.

Eksempel 1 — diagonalisering av $A=\begin{pmatrix}4&1\\2&3\end{pmatrix}$:

Karakteristisk likning: $\mathrm{tr}A=7$, $\det A=12-2=10$, så $$\lambda^2-7\lambda+10=(\lambda-5)(\lambda-2)=0\;\Rightarrow\;\lambda=5,\,2.$$ For $\lambda=5$: $A-5I=\begin{pmatrix}-1&1\\2&-2\end{pmatrix}$ gir $y=x$, altså $v_1=\binom{1}{1}$. For $\lambda=2$: $A-2I=\begin{pmatrix}2&1\\2&1\end{pmatrix}$ gir $2x+y=0$, altså $v_2=\binom{1}{-2}$. Dette gir $$P=\begin{pmatrix}1&1\\1&-2\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}5&0\\0&2\end{pmatrix},\quad P^{-1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&1\\1&-1\end{pmatrix}.$$ Kontroll: $PDP^{-1}=A$.

Potenser av matriser

Den store gevinsten ved diagonalisering er at potenser blir enkle. Siden $$A^k=(PDP^{-1})^k=PD^kP^{-1},$$ trenger du bare opphøye diagonalelementene: $D^k=\mathrm{diag}(\lambda_1^k,\dots,\lambda_n^k)$. Samme idé gir $A^{-1}=PD^{-1}P^{-1}$ (når ingen $\lambda_i=0$) og $p(A)=Pp(D)P^{-1}$ for ethvert polynom $p$. For matrisedifferensiallikninger $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}$ frakobler diagonaliseringen systemet til $y_i'=\lambda_i y_i$, med løsning $\mathbf{x}=\sum_i c_i e^{\lambda_i t} v_i$.

Eksempel 2 — beregn $A^3$ for $A=\begin{pmatrix}4&1\\2&3\end{pmatrix}$:

Med $P$, $D$ og $P^{-1}$ fra Eksempel 1 og $D^3=\mathrm{diag}(125,8)$: $$A^3=PD^3P^{-1}=\begin{pmatrix}1&1\\1&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}125&0\\0&8\end{pmatrix}\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&1\\1&-1\end{pmatrix}.$$ Først $PD^3=\begin{pmatrix}125&8\\125&-16\end{pmatrix}$, deretter ganget med $\tfrac13\begin{pmatrix}2&1\\1&-1\end{pmatrix}$ gir $$A^3=\begin{pmatrix}86&39\\78&47\end{pmatrix}.$$

Symmetriske matriser og spektralsetningen

Når $A$ er reell og symmetrisk ($A=A^T$), gjelder noe ekstra sterkt. Spektralsetningen sier at $A$ alltid er ortogonalt diagonaliserbar: $$A=QDQ^T,$$ der $Q$ er ortogonal ($Q^TQ=I$, så $Q^{-1}=Q^T$) og $D$ er reell. Egenverdiene er alltid reelle, og egenvektorer fra forskjellige egenrom er innbyrdes ortogonale. Man normaliserer egenvektorene til lengde $1$ for å få ortonormale kolonner i $Q$.

Eksempel 3 — ortogonal diagonalisering av $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$:

Egenverdier: $(2-\lambda)^2-1=(\lambda-3)(\lambda-1)=0$, så $\lambda=3,1$. For $\lambda=3$: $v_1=\binom{1}{1}$; for $\lambda=1$: $v_2=\binom{1}{-1}$. Vektorene er ortogonale ($v_1\cdot v_2=0$, som garantert av symmetri). Normaliser med $1/\sqrt2$: $$Q=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}3&0\\0&1\end{pmatrix},\quad A=QDQ^T.$$

Når går det galt?

Ikke alle matriser er diagonaliserbare. Hvis en egenverdi har algebraisk multiplisitet større enn dimensjonen til egenrommet (geometrisk multiplisitet), mangler du egenvektorer. Det klassiske eksempelet er en Jordan-blokk som $\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$: egenverdi $2$ med multiplisitet $2$, men kun ett uavhengig egenrom. Reelle matriser med ekte komplekse egenverdier er heller ikke diagonaliserbare over $\mathbb{R}$, men kan diagonaliseres over $\mathbb{C}$.

Studieguide: Diagonalisering