Hva er en determinant?

Til hver kvadratisk matrise $A$ knytter vi et tall $\det A$ (også skrevet $|A|$). Determinanten er nøkkelen til å avgjøre invertibilitet: $A$ er invertibel hvis og bare hvis $\det A\neq 0$. Geometrisk måler $|\det A|$ arealet (2D) eller volumet (3D) av figuren utspent av kolonnevektorene, og fortegnet sier noe om orientering.

Grunnregel — $2\times 2$ og $3\times 3$:

$\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=ad-bc$.

For $3\times 3$ brukes kofaktorutvikling langs en rad $i$: $\det A=\sum_{j}a_{ij}C_{ij}$, der kofaktoren er $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ og minoren $M_{ij}$ er determinanten etter at rad $i$ og kolonne $j$ er strøket.

Kofaktorutvikling

Velg alltid raden eller kolonnen med flest nuller — da forsvinner flest ledd. Fortegnsmønsteret for $3\times 3$ er sjakkbrettet $\begin{pmatrix}+&-&+\\-&+&-\\+&-&+\end{pmatrix}$.

Eksempel 1 — kofaktorutvikling:

Regn ut $\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}$ langs rad 1:

$=1\,(1\cdot 0-4\cdot 6)-2\,(0\cdot 0-4\cdot 5)+3\,(0\cdot 6-1\cdot 5)$

$=1(-24)-2(-20)+3(-5)=-24+40-15=1.$

Smartere: utvikling langs kolonne 1 (har en null i rad 2) gir samme svar med færre ledd.

Egenskaper (regneregler)

Disse egenskapene gjør beregning og resonnement langt enklere:

Triangulær/diagonal matrise: $\det=$ produktet av diagonalen.
Radombytte: $\det\to-\det$. Radskalering (én rad) med $k$: $\det\to k\det$. Radaddisjon: uendret.
$\det(kA)=k^n\det A$ for $n\times n$.
$\det A^{\mathsf T}=\det A$, $\det(AB)=\det A\det B$, $\det(A^{-1})=1/\det A$, $\det(A^k)=(\det A)^k$.
$\det A=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n$ (produktet av egenverdiene).
Nullrad, eller to like/proporsjonale rader $\Rightarrow\det=0$.

En effektiv metode for store determinanter er å radredusere til triangulær form og holde styr på fortegnsfaktoren fra radombyttinger.

Cramers regel

For et kvadratisk system $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ med $\det A\neq 0$ er den entydige løsningen gitt komponentvis ved $x_i=\dfrac{\det A_i(\mathbf{b})}{\det A}$, der $A_i(\mathbf{b})$ er $A$ med kolonne $i$ erstattet av høyresiden $\mathbf{b}$.

Eksempel 2 — Cramers regel:

Løs $\begin{cases}2x+y=4\\x-y=-1\end{cases}$.

$\det A=\det\begin{pmatrix}2&1\\1&-1\end{pmatrix}=2(-1)-1(1)=-3.$

$\det A_1=\det\begin{pmatrix}4&1\\-1&-1\end{pmatrix}=-4-(-1)=-3 \;\Rightarrow\; x=\dfrac{-3}{-3}=1.$

$\det A_2=\det\begin{pmatrix}2&4\\1&-1\end{pmatrix}=-2-4=-6 \;\Rightarrow\; y=\dfrac{-6}{-3}=2.$

Løsning: $(x,y)=(1,2)$.

Determinant og invertibilitet

Determinanten binder sammen invertibilitet, lineær uavhengighet og egenverdier. $\det A\neq 0 \iff A$ invertibel $\iff$ radene/kolonnene lineært uavhengige $\iff A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ har entydig løsning $\iff 0$ er ikke egenverdi.

Eksempel 3 — egenverdier via determinant:

For $A=\begin{pmatrix}4&1\\2&3\end{pmatrix}$ gir den karakteristiske likningen $\det(A-\lambda I)=0$:

$(4-\lambda)(3-\lambda)-2=\lambda^2-7\lambda+10=(\lambda-2)(\lambda-5)=0,$

så $\lambda=2$ og $\lambda=5$. Kontroll: $\det A=\lambda_1\lambda_2=10=4\cdot 3-1\cdot 2.$

Studieguide: Determinanter