1. Basis

En basis for et underrom $W$ er et sett vektorer $\{\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_k\}$ som oppfyller to krav samtidig:

Grunnregel — basis:
(1) Settet er lineært uavhengig, og
(2) settet utspenner $W$, dvs. $W=\mathrm{Span}\{\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_k\}$.
En basis er altså et minimalt utspennende sett — fjerner du én vektor, utspenner det ikke lenger $W$.

Et viktig poeng er at en basis ikke er entydig: $\mathbb{R}^2$ har uendelig mange baser. Men alle baser for samme rom har samme antall vektorer, og det tallet er dimensjonen.

Eksempel 1 — sjekk om vektorer danner en basis for $\mathbb{R}^3$:
Er $\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix},\mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix},\mathbf{v}_3=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}$ en basis?
Lag matrisen med vektorene som kolonner og regn determinanten:
$$\det\begin{bmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{bmatrix}=1\cdot 1\cdot 1=1\neq 0.$$
Matrisen er øvre triangulær, så determinanten er produktet av diagonalen. Siden $\det\neq 0$ er vektorene lineært uavhengige, og tre uavhengige vektorer i $\mathbb{R}^3$ utgjør en basis.

2. Dimensjon

Dimensjonen $\dim W$ er antall vektorer i en basis for $W$. Sentrale dimensjoner: $\dim\mathbb{R}^n=n$, $\dim P_n=n+1$, $\dim M_{m\times n}=mn$, og $\dim\{\mathbf{0}\}=0$.

Grunnregel — rang–nullitet: For en $m\times n$-matrise $A$:
$$\mathrm{rang}(A)+\dim\mathrm{Nul}(A)=n,$$
der $\mathrm{rang}(A)=\dim\mathrm{Col}(A)=\dim\mathrm{Row}(A)=$ antall pivoter, og $n$ er antall kolonner.

Eksempel 2 — finn basis og dimensjon for nullrommet:
La $A=\begin{bmatrix}1&2&0&-1\\0&0&1&2\end{bmatrix}$ (allerede i redusert trappeform).
Pivoter står i kolonne 1 og 3, så $x_1,x_3$ er pivot-variable og $x_2,x_4$ er frie. Fra radene:
$$x_1=-2x_2+x_4,\qquad x_3=-2x_4.$$
Generell løsning: $\mathbf{x}=x_2\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0\end{bmatrix}+x_4\begin{bmatrix}1\\0\\-2\\1\end{bmatrix}$.
Basis for $\mathrm{Nul}(A)$: $\left\{\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1\\0\\-2\\1\end{bmatrix}\right\}$, så $\dim\mathrm{Nul}(A)=2$. Kontroll: $\mathrm{rang}=2$, og $2+2=4=n$. ✓

3. Koordinater

Når $B=\{\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_n\}$ er en basis, kan enhver $\mathbf{x}$ skrives entydig som $\mathbf{x}=c_1\mathbf{b}_1+\cdots+c_n\mathbf{b}_n$. Koordinatvektoren er $[\mathbf{x}]_B=\begin{bmatrix}c_1\\\vdots\\c_n\end{bmatrix}$.

Eksempel 3 — finn koordinater:
Finn $[\mathbf{x}]_B$ for $\mathbf{x}=\begin{bmatrix}5\\3\end{bmatrix}$ og $B=\left\{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}\right\}$.
Vi løser $c_1\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}+c_2\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\3\end{bmatrix}$, altså systemet
$$c_1+c_2=5,\qquad c_1-c_2=3.$$
Adder likningene: $2c_1=8\Rightarrow c_1=4$, og $c_2=5-4=1$. Dermed $[\mathbf{x}]_B=\begin{bmatrix}4\\1\end{bmatrix}$.

4. Basisskifte

For å bytte mellom baser bruker vi en overgangsmatrise (basisskifte-matrise). Den enkleste er $P_B=[\mathbf{b}_1\ \cdots\ \mathbf{b}_n]$, som tar $B$-koordinater til standardkoordinater: $\mathbf{x}=P_B[\mathbf{x}]_B$ og motsatt $[\mathbf{x}]_B=P_B^{-1}\mathbf{x}$.

Grunnregel — overgangsmatrise $\underset{C\leftarrow B}{P}$: Kolonnene er $B$-vektorene uttrykt i $C$-koordinater:
$$\underset{C\leftarrow B}{P}=\left[\,[\mathbf{b}_1]_C\ \ \cdots\ \ [\mathbf{b}_n]_C\,\right],\qquad [\mathbf{x}]_C=\underset{C\leftarrow B}{P}\,[\mathbf{x}]_B.$$
Den motsatte retningen er den inverse: $\underset{B\leftarrow C}{P}=\left(\underset{C\leftarrow B}{P}\right)^{-1}$.

Eksempel 4 — overgangsmatrise mellom to baser:
La $B=\left\{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}\right\}$ og $C=\left\{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\right\}$. Vi uttrykker hver $B$-vektor i $C$:
$\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}=0\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}+1\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$, så $\left[\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\right]_C=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$.
$\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}=a\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}+b\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$ gir $b=3$ (andre rad) og $a+b=2\Rightarrow a=-1$, så $\begin{bmatrix}-1\\3\end{bmatrix}$.
Dermed $\underset{C\leftarrow B}{P}=\begin{bmatrix}0&-1\\1&3\end{bmatrix}$. Sjekk: $\underset{C\leftarrow B}{P}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$, som svarer til $\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$ — riktig.

Basisskifte er bindeleddet til diagonalisering: hvis $A$ har en egenvektorbasis, gir $P=[\mathbf{v}_1\ \cdots\ \mathbf{v}_n]$ at $A=PDP^{-1}$, et basisskifte til egenvektorbasen der $A$ blir diagonal.

Studieguide: Basis og dimensjon