Hva slags likning er dette?

En andreordens lineær differensiallikning med konstante koeffisienter har formen $y'' + py' + qy = g(t)$, der $p$ og $q$ er tall og $g$ er en gitt funksjon. Er $g(t)=0$, kalles likningen homogen. Dette er en av de mest testede oppgavetypene i TMA4110: den forekommer som en hel oppgave i 9 av de 12 ordinære eksamenssettene fra H2013 til H2024. Løsningsmengden til den homogene likningen er et vektorrom av dimensjon 2 — akkurat derfor hører temaet hjemme i et lineær algebra-emne, og derfor trenger du nøyaktig to konstanter $C_1, C_2$ for å beskrive alle løsninger.

Den homogene likningen: tre tilfeller

Setter vi inn prøveløsningen $y=e^{rt}$ i $y''+py'+qy=0$ og deler på $e^{rt}\neq 0$, får vi den karakteristiske likningen $r^2+pr+q=0$. Diskriminanten $p^2-4q$ avgjør formen på løsningen.

De tre tilfellene:

To reelle, forskjellige røtter $r_1\neq r_2$: $y=C_1e^{r_1t}+C_2e^{r_2t}$.
Dobbeltrot $r$: $y=(C_1+C_2t)e^{rt}$ — den ekstra faktoren $t$ er nødvendig for å få dimensjon 2.
Komplekst rotpar $r=\alpha\pm\beta i$: $y=e^{\alpha t}\bigl(C_1\cos\beta t+C_2\sin\beta t\bigr)$.

Eksempel 1. $y''+2y'-8y=0$ gir $r^2+2r-8=(r+4)(r-2)=0$, altså $r=2$ og $r=-4$, og $y=C_1e^{2t}+C_2e^{-4t}$.

Eksempel 2. $y''-6y'+9y=0$ gir $(r-3)^2=0$, altså dobbeltroten $r=3$ og $y=(C_1+C_2t)e^{3t}$. Med $y(0)=2$ og $y'(0)=1$: $y'=C_2e^{3t}+3(C_1+C_2t)e^{3t}$, så $C_1=2$ og $C_2+3\cdot 2=1$, altså $C_2=-5$ og $y=(2-5t)e^{3t}$.

Eksempel 3. $y''+4y'+13y=0$ gir $r=\frac{-4\pm\sqrt{16-52}}{2}=-2\pm 3i$, altså $y=e^{-2t}(C_1\cos 3t+C_2\sin 3t)$ — en dempet svingning som går mot null fordi realdelen er negativ.

Fundamentalmengde og Wronski-determinanten

To løsninger $y_1,y_2$ utgjør en fundamentalmengde hvis de er lineært uavhengige. Dette sjekkes med Wronski-determinanten $W(t)=y_1y_2'-y_1'y_2$: er $W(t)\neq 0$ for én $t$ i intervallet, er løsningene uavhengige, og enhver løsning kan skrives som $C_1y_1+C_2y_2$. For $y''-2y'+y=0$ med $y_1=e^t$, $y_2=te^t$ blir $W=e^t(1+t)e^t-e^t\cdot te^t=e^{2t}\neq 0$.

Inhomogene likninger: ubestemte koeffisienter

Den generelle løsningen er alltid $y=y_h+y_p$, der $y_h$ løser den homogene likningen og $y_p$ er én partikulær løsning. Metoden med ubestemte koeffisienter går ut på å gjette $y_p$ med samme «form» som $g(t)$:

$g(t)$ er et polynom av grad $n$ $\Rightarrow$ prøv et fullstendig polynom $A_nt^n+\cdots+A_1t+A_0$ (også når $g$ mangler noen ledd).
$g(t)=ae^{kt}$ $\Rightarrow$ prøv $Ae^{kt}$.
$g(t)=a\cos\omega t$ eller $a\sin\omega t$ $\Rightarrow$ prøv $A\cos\omega t+B\sin\omega t$ (begge ledd, uansett hva som står på høyresiden).
Sammensatte høyresider behandles ledd for ledd (superposisjon) og summeres.

Eksempel 4. $y''-y'-6y=12t+5$. Homogen del: $r=3,-2$. Med $y_p=At+B$ blir $-A-6At-6B=12t+5$, altså $A=-2$ og $B=-\tfrac12$. Svar: $y=C_1e^{3t}+C_2e^{-2t}-2t-\tfrac12$.

Eksempel 5. $y''+9y=6\cos 2t$. Homogen del: $C_1\cos 3t+C_2\sin 3t$. Med $y_p=A\cos 2t+B\sin 2t$ blir $y_p''+9y_p=5A\cos 2t+5B\sin 2t$, altså $A=\tfrac65$, $B=0$.

Resonans — den viktigste fellen

Resonansregelen: Inneholder gjettet for $y_p$ en funksjon som allerede løser den homogene likningen, må HELE gjettet ganges med $t$ — og med $t^2$ dersom også $t\cdot(\text{gjett})$ er en homogen løsning (dobbeltrot). Uten dette gir innsettingen $0=g(t)$, som er umulig.

Eksempel 6. $y''-4y'+3y=2e^{t}$. Røttene er $1$ og $3$, så $e^t$ er en homogen løsning. Med $y_p=Ate^t$ ($y_p'=A(1+t)e^t$, $y_p''=A(2+t)e^t$) blir venstresiden $A(2+t-4-4t+3t)e^t=-2Ae^t$, altså $A=-1$ og $y_p=-te^t$.

Eksempel 7 (ren resonans). $y''+4y=\sin 2t$. Her er $\sin 2t$ en homogen løsning. Med $y_p=t(A\cos 2t+B\sin 2t)$ faller alle $t$-leddene bort og man får $-4A\sin 2t+4B\cos 2t=\sin 2t$, altså $A=-\tfrac14$, $B=0$ og $y_p=-\tfrac{t}{4}\cos 2t$. Amplituden vokser lineært — dette er resonansfenomenet.

Svingninger og demping

For en masse i en fjær, $my''+by'+ky=F(t)$, gir diskriminanten den fysiske tolkningen: positiv diskriminant betyr overdemping (ingen svingning, høyst én nullpassering), null diskriminant betyr kritisk demping, og negativ diskriminant betyr underdemping med dempet svingning $e^{\alpha t}R\cos(\beta t-\varphi)$. En ren svingning $C_1\cos\omega t+C_2\sin\omega t$ skrives på amplitude–fase-form $R\cos(\omega t-\varphi)$ med $R=\sqrt{C_1^2+C_2^2}$; for eksempel er $3\cos 5t+4\sin 5t=5\cos(5t-0{,}927)$, med amplitude 5 og periode $2\pi/5$.

Eksempel 8. $y''+4y'+3y=0$ med $y(0)=1$, $y'(0)=-5$ gir $r=-1,-3$ (overdempet). Fra $C_1+C_2=1$ og $-C_1-3C_2=-5$ får vi $C_2=2$, $C_1=-1$, altså $y=-e^{-t}+2e^{-3t}$. Massen passerer likevekt når $2e^{-3t}=e^{-t}$, det vil si $e^{2t}=2$ og $t=\tfrac12\ln 2\approx 0{,}35$ — en overdempet bevegelse kan krysse null høyst én gang. Er derimot dempingen borte, som i $y''+9y=2\cos\omega t$, får man $y_p=\frac{2}{9-\omega^2}\cos\omega t$ for $\omega\neq 3$, med amplitude som vokser over alle grenser når $\omega\to 3$; ved $\omega=3$ er $y_p=\tfrac{t}{3}\sin 3t$.

Variasjon av parametre

Når $g(t)$ ikke er polynom, eksponential eller sinus/cosinus (for eksempel $\tan t$ eller $e^t/t$), bruker vi variasjon av parametre: med fundamentalløsningene $y_1,y_2$ og $W=y_1y_2'-y_1'y_2$ er $u_1'=-y_2g/W$, $u_2'=y_1g/W$ og $y_p=u_1y_1+u_2y_2$. For $y''+y=\tan t$ gir dette $y_p=-\cos t\,\ln|\sec t+\tan t|$.

Koblingen til $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}$

Setter vi $x_1=y$ og $x_2=y'$, blir $y''+py'+qy=0$ til systemet $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}$ med $A=\begin{pmatrix}0&1\\-q&-p\end{pmatrix}$. Det karakteristiske polynomet til $A$ er $\lambda^2+p\lambda+q$ — nøyaktig samme polynom som $r^2+pr+q$. Dobbeltrot svarer til at $A$ ikke er diagonaliserbar, og den generaliserte egenvektoren gir leddet $te^{\lambda t}$. Å kunne veksle mellom de to formene er både en tidsbesparelse og en effektiv feilsjekk på eksamen.

Studieguide: Andreordens lineære differensiallikninger