TMA4110 · NTNU

Studieguide for TMA4110 Matematikk 3

Komplett pensumoversikt for matematikk 3 ved NTNU — med forklaringer, sentrale begreper, eksamenstips og vanlige fallgruver. Eksamensoptimalisert basert på tidligere eksamener.

Introduksjon

Denne studieguiden dekker pensum for TMA4110, forankret i tidligere eksamener og faglige standarder. Hver seksjon gir forklaringer, gjennomgåtte eksempler, nøkkelformler, vanlige feil og eksamenstips.

Komplekse tall

Eksamensrelevant

Komplekse tall utvider de reelle tallene med den imaginære enheten $i$ der $i^2 = -1$, slik at alle polynomlikninger får løsninger (algebraens fundamentalteorem). I TMA4110 jobber vi med komplekse tall på kartesisk form $z = a+bi$, polarform $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ og eksponentiell form $z = re^{i\theta}$ via Eulers formel. Polarformen gjør multiplikasjon, potenser (De Moivre) og $n$-te røtter enkle, og er grunnlaget for å løse differensiallikninger senere i kurset.

Hva er et komplekst tall?

Et komplekst tall skrives på kartesisk form som $z = a + bi$ , der $a = \operatorname{Re}(z)$ er realdelen, $b = \operatorname{Im}(z)$ er imaginærdelen, og $i$ er den imaginære enheten med $i^2 = -1$ . Vi tegner $z$ som punktet $(a,b)$ i det komplekse planet (Argand-diagrammet), med den reelle aksen vannrett og den imaginære aksen loddrett.

Grunnregel — regning på kartesisk form:

Addisjon/subtraksjon skjer komponentvis. Multiplikasjon gjøres ved å multiplisere ut og bruke $i^2 = -1$ . Divisjon gjøres ved å forlenge med konjugatet av nevneren:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 \bar{z}_2}{z_2 \bar{z}_2} = \frac{z_1 \bar{z}_2}{|z_2|^2}.$

Konjugat og modulus

Den komplekskonjugerte av $z = a+bi$ er $\bar{z} = a - bi$ . Modulus er $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ , avstanden fra origo. Det gjelder alltid $z\bar{z} = |z|^2$ , og modulus er multiplikativ: $|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$ .

Eksempel 1 — divisjon:

Regn ut $\dfrac{2+i}{1-i}$ .

Forleng med konjugatet $1+i$ :

$\frac{2+i}{1-i}\cdot\frac{1+i}{1+i} = \frac{(2+i)(1+i)}{1^2+1^2} = \frac{2 + 2i + i + i^2}{2} = \frac{1 + 3i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i.$

Polarform og eksponentiell form

Et komplekst tall kan også skrives på polarform $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ , der $r = |z|$ er modulus og $\theta = \arg(z)$ er argumentet (vinkelen med positiv reell akse). Ved Eulers formel $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ får vi den kompakte eksponentielle formen $z = re^{i\theta}$ .

Når man finner argumentet, må man passe på kvadranten: bruk referansevinkelen $\displaystyle \alpha = \arctan\left|\frac{b}{a}\right|$ og juster etter hvilken kvadrant $z$ ligger i.

Grunnregel — multiplikasjon på polarform:

$r_1 e^{i\theta_1}\cdot r_2 e^{i\theta_2} = r_1 r_2\, e^{i(\theta_1+\theta_2)}, \qquad \frac{r_1 e^{i\theta_1}}{r_2 e^{i\theta_2}} = \frac{r_1}{r_2}\, e^{i(\theta_1-\theta_2)}.$

Modulene multipliseres/divideres, argumentene adderes/subtraheres.

De Moivres formel og potenser

Av $\left(e^{i\theta}\right)^n = e^{in\theta}$ følger De Moivres formel:

$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta).$

Dette gir en effektiv måte å opphøye komplekse tall i potenser: $z^n = r^n e^{in\theta}$ . Formelen brukes også til å utlede trigonometriske identiteter, f.eks. $\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$ .

Eksempel 2 — potens med polarform:

Regn ut $(1+i)^4$ .

Først polarform: $1+i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$ (siden $r=\sqrt{2}$ , $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{4}$ ).

$(1+i)^4 = (\sqrt{2})^4\, e^{i\cdot 4\pi/4} = 4\,e^{i\pi} = 4(\cos\pi + i\sin\pi) = 4(-1) = -4.$

Komplekse $n$ -te røtter

Et komplekst tall $z = re^{i\theta}$ med $z \neq 0$ har nøyaktig $n$ forskjellige $n$ -te røtter, gitt ved

$z_k = r^{1/n}\, e^{i(\theta + 2\pi k)/n}, \qquad k = 0, 1, 2, \dots, n-1.$

Alle røttene har samme modulus $r^{1/n}$ og ligger jevnt fordelt med vinkel $\displaystyle \frac{2\pi}{n}$ mellom seg — de danner hjørnene i en regulær $n$ -kant innskrevet i en sirkel om origo.

Eksempel 3 — kubiske enhetsrøtter:

Finn alle løsninger av $z^3 = 1$ .

$1 = e^{i\cdot 0}$ , modulus til røttene $1^{1/3} = 1$ . Argumentene er $\displaystyle \frac{0 + 2\pi k}{3}$ for $k=0,1,2$ :

$z_0 = e^{0} = 1, \quad z_1 = e^{i 2\pi/3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, \quad z_2 = e^{i 4\pi/3} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i.$

De tre røttene danner en likesidet trekant på enhetssirkelen.

Komplekse røtter av polynomer

Algebraens fundamentalteorem sier at ethvert polynom av grad $n$ har nøyaktig $n$ komplekse røtter (med multiplisitet). For polynomer med reelle koeffisienter opptrer ikke-reelle røtter alltid i konjugerte par $z, \bar{z}$ . Andregradslikninger med negativ diskriminant løses med abc-formelen der man tillater $\sqrt{\text{negativt tall}}$ , f.eks. $z^2 + 2z + 5 = 0 \Rightarrow z = -1 \pm 2i$ .

Nøkkelformler

• $i^2 = -1$
• $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ , $\ z\bar{z} = |z|^2$
• $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$ (Eulers formel: $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ )
• $\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}, \quad \sin\theta = \dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$
• $r_1 e^{i\theta_1}\cdot r_2 e^{i\theta_2} = r_1 r_2\, e^{i(\theta_1+\theta_2)}$
•De Moivre: $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$
• $n$ -te røtter: $z_k = r^{1/n}\,e^{i(\theta + 2\pi k)/n}, \ k = 0,\dots,n-1$
•abc-formelen tillater $\sqrt{D<0}$ : $z = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Vanlige feil

⚠️Forveksle imaginærdelen $\operatorname{Im}(z)$ med $bi$ — den er det reelle tallet $b$ , ikke $bi$ .
⚠️Glemme å sjekke kvadranten når man finner argumentet; $\arctan(b/a)$ alene gir feil vinkel i 2. og 3. kvadrant.
⚠️Tro at $z^2 = w$ bare har én løsning — den har to (og $z^n = w$ har $n$ løsninger).
⚠️Bare bruke $k=0$ når man finner $n$ -te røtter; man må ta $k = 0, 1, \dots, n-1$ for å få alle.
⚠️Regne $|z_1 + z_2| = |z_1| + |z_2|$ — dette er feil (kun en ulikhet $\leq$ ). Det er modulus av PRODUKT som er multiplikativt.
⚠️Skrive $\sqrt{-9} = -3$ eller blande fortegn; korrekt er $\sqrt{-9} = \pm 3i$ .
⚠️Glemme at den komplekskonjugerte kun bytter fortegn på imaginærdelen, ikke på realdelen.

Eksamenstips

💡Lær deg å bytte raskt mellom kartesisk og polar form — velg formen som passer operasjonen: kartesisk for $+/-$ , polar/eksponentiell for $\times$ , potenser og røtter.
💡Ved potenser og røtter: ALLTID gå via polarform $re^{i\theta}$ . Det sparer mye tid sammenlignet med å multiplisere ut.
💡Tegn alltid en skisse i det komplekse planet for å bestemme riktig kvadrant og argument.
💡Husk standardverdiene: $1+i = \sqrt{2}e^{i\pi/4}$ , $i = e^{i\pi/2}$ , $-1 = e^{i\pi}$ , $-i = e^{i3\pi/2}$ .
💡For $n$ -te røtter: regn ut modulus $r^{1/n}$ og startvinkel $\theta/n$ først, legg så til $\displaystyle \frac{2\pi}{n}$ gjentatte ganger.
💡Sjekk svaret: for reelle polynomer skal komplekse røtter komme i konjugerte par. Hvis bare den ene dukker opp, har du gjort en feil.
💡Bruk De Moivre til å utlede trig-identiteter ( $\cos 2\theta$ , $\cos 3\theta$ ) hvis du glemmer dem på eksamen.

Laster...

Laster…