TMA4110 · NTNU

Studieguide for TMA4110 Matematikk 3

Komplett pensumoversikt for matematikk 3 ved NTNU — med forklaringer, sentrale begreper, eksamenstips og vanlige fallgruver. Eksamensoptimalisert basert på tidligere eksamener.

Introduksjon

TMA4110 Matematikk 3 (NTNU, 7,5 sp) er lineær algebra med komplekse tall og differensiallikninger. Emnet dekker komplekse tall, likningssystemer, matriser og determinanter, vektorrom, basis og lineæravbildninger, egenverdier og diagonalisering, indreprodukt og minste kvadraters metode, andreordens differensiallikninger, systemer av differensiallikninger og Markov-kjeder.

Eksamen 18. november 2026 er en skriftlig skoleeksamen på 4 timer i Inspera, med hjelpemiddelkode C og 100 % av karakteren. På skoleeksamenene 2018–2025 presiserte NTNU at kode C her betyr bare en bestemt, enkel kalkulator, uten trykte eller håndskrevne hjelpemidler. Regn med det samme i 2026, og sjekk emnewikien før eksamen. Svarene føres for hånd på ark. Emnet har ikke lenger undervisning, men eksamen og kontinuasjonseksamen (fellessett med TMA4115 i august) arrangeres fortsatt.

Guiden bygger på 13 ordinære TMA4110-sett fra 2013 til 2025 og 9 kontinuasjonssett fra 2016 til 2025, og tyngst på de 16 settene fra 2018 til 2025. Fra 2018 består settet av omtrent ti likeverdige oppgaver, der hver oppgave teller om lag 10 %. Alle svar skal begrunnes.

Hver seksjon starter med Slik testes dette på eksamen: hvor mange av settene temaet er med i, og hvordan spørsmålene er formulert. Deretter kommer metoden, gjennomregnede eksempler i eksamensform med egne tall (nummererte steg, svaret sist) og figurer.

Komplekse tall

Eksamensrelevant

Komplekse tall er med i alle 16 sett i 2018–2025 og er oppgave 1 i 10 av dem. Du må kunne n-te røtter med skisse på sirkelen, polynomrøtter der én rot gjettes, likninger med konjugert z, og bytte mellom kartesisk form og polarform med standardvinklene.

Slik testes dette på eksamen

Komplekse tall er med i alle 16 settene fra 2018 til 2025 (8 ordinære og 8 kontinuasjonssett), og i alle 13 ordinære sett fra 2013. I 13 av de 16 er det røtter eller en likning å løse, og i 10 av dem er det oppgave 1, som teller som én av ti likeverdige oppgaver. Ellers står komplekse tall i en matrise (2018, 2019) eller som real- og imaginærdel av et uttrykk (kont 2023). Tre varianter går igjen:

n-te røtter av et komplekst tall, med skisse i planet: $z^n = w$ eller $z^4 + c = 0$ . Skisse er krevd i 8 av 16 sett.
Røtter av et polynom, der én rot må gjettes eller ses direkte, og resten kommer fra andregradsformelen. Svaret skal ofte stå på polarform.
Likninger med $\bar z$ , der du skriver $z = a + bi$ eller $z = re^{i\theta}$ og sammenligner real- og imaginærdel, eller modul og argument.

Den tillatte kalkulatoren gir bare desimaltall, mens svaret skal stå eksakt ( $\sqrt3 + i$ , ikke $1{,}732 + i$ ). Kunn derfor $\cos$ og $\sin$ for $\pi/6, \pi/4, \pi/3, \pi/2$ og multipler av dem utenat.

Tre former, og når du bruker hvilken

$z = a + bi$ er kartesisk form. $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$ er polarform, med $r = |z| = \sqrt{a^2+b^2}$ og $\theta = \arg z$ bestemt av kvadranten. Eulers formel $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ binder dem sammen.

Addisjon og subtraksjon: kartesisk.
Divisjon: kartesisk, forleng med den konjugerte av nevneren, eller polar.
Multiplikasjon, potenser og røtter: polar. Modulene multipliseres og argumentene legges sammen.

Potensregelen følger direkte av eksponentialformen: $(re^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta}$ . Det er de Moivres formel.

Oppskrift for $z^n = w$

Skriv $w = Re^{i\varphi}$ og legg til den fulle perioden: $w = Re^{i(\varphi + 2\pi k)}$ .
Sett $z = re^{i\theta}$ . Da må $r^n = R$ og $n\theta = \varphi + 2\pi k$ .
Det gir $r = R^{1/n}$ og $\theta_k = \dfrac{\varphi}{n} + \dfrac{2\pi k}{n}$ for $k = 0, 1, \dots, n-1$ . Flere $k$ gir de samme punktene igjen.
Skissen: $n$ punkter jevnt fordelt på sirkelen $|z| = R^{1/n}$ , med $2\pi/n$ mellom nabopunktene.

Eksempel 1: Tredjerøtter med skisse (1 av 10 oppgaver)

Finn alle løsninger av $z^3 = 8i$ på formen $a + bi$ , og skisser dem i det komplekse planet.

På polarform er $8i = 8e^{i\pi/2} = 8e^{i(\pi/2 + 2\pi k)}$ .
Med $z = re^{i\theta}$ får vi $r^3 = 8$ , altså $r = 2$ , og $3\theta = \pi/2 + 2\pi k$ .
Det gir $\theta_k = \pi/6 + 2\pi k/3$ : $\theta_0 = \pi/6$ , $\theta_1 = 5\pi/6$ og $\theta_2 = 3\pi/2$ .
$z_0 = 2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}) = \sqrt3 + i$ , $z_1 = 2(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6}) = -\sqrt3 + i$ og $z_2 = 2e^{i3\pi/2} = -2i$ .
Kontroll: $(-2i)^3 = -8i^3 = 8i$ .

Svar: $z = \sqrt3 + i$ , $z = -\sqrt3 + i$ og $z = -2i$ . De ligger på sirkelen $|z| = 2$ med 120° mellom seg.

De tre løsningene av z³ = 8i i det komplekse planet: √3 + i, −√3 + i og −2i på en prikket sirkel med radius 2. Blå linjer fra origo til hvert punkt, vinkel π/6 til den første. — Skissen sensor vil se: tre punkter på sirkelen |z| = 2 (prikket) med 120° mellom seg.

Polynomrøtter: gjett én, faktoriser resten

Et polynom av grad $n$ har nøyaktig $n$ komplekse røtter, telt med multiplisitet (algebraens fundamentalteorem). Har polynomet reelle koeffisienter, kommer ikke-reelle røtter i konjugerte par: er $z$ en rot, er også $\bar z$ det. Prøv heltallige divisorer av konstantleddet først. Når du har én rot $z_1$ , deler du polynomet på $z - z_1$ og løser andregradslikningen som står igjen.

Eksempel 2: Kubisk likning, svar på polarform (1 av 10 oppgaver)

Faktoriser $z^3 - z^2 + 2$ i lineære faktorer over $\mathbb C$ , og skriv røttene på polarform.

Prøv divisorene av 2: $z = -1$ gir $-1 - 1 + 2 = 0$ , så $z = -1$ er en rot.
Polynomdivisjon: $z^3 - z^2 + 2 = (z + 1)(z^2 - 2z + 2)$ .
Andregradsformelen: $z = \dfrac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = 1 \pm i$ .
Polarform: $|1 \pm i| = \sqrt2$ og argumentet er $\pm\pi/4$ . Roten $-1$ har modul 1 og argument $\pi$ .

Svar: $z^3 - z^2 + 2 = (z + 1)(z - 1 - i)(z - 1 + i)$ , med røttene $e^{i\pi}$ , $\sqrt2\,e^{i\pi/4}$ og $\sqrt2\,e^{-i\pi/4}$ .

Røttene −1, 1 + i og 1 − i i det komplekse planet. 1 + i og 1 − i er forbundet med en stiplet loddrett linje og merket som konjugert par. — Reelle koeffisienter gir speilsymmetri om den reelle aksen: 1 + i og 1 − i hører sammen.

Likninger med $\bar z$ og regning med modul

Når $\bar z$ står i likningen, kan du ikke bruke andregradsformelen direkte. Det finnes to veier:

Kartesisk: sett $z = a + bi$ , regn ut, og krev at realdel og imaginærdel er like på hver side. Det gir to reelle likninger.
Polar: sett $z = re^{i\theta}$ , slik at $\bar z = re^{-i\theta}$ . For eksempel gir $\bar z\,z^2 = 8i$ at $r^3e^{i\theta} = 8e^{i\pi/2}$ , altså $r = 2$ og $\theta = \pi/2$ : den eneste løsningen er $z = 2i$ (kontroll: $(-2i)(2i)^2 = (-2i)(-4) = 8i$ ).

To regler sparer mye tid: $z\bar z = |z|^2$ og $\overline{z/w} = \bar z/\bar w$ . Et eksempel på divisjon: $\dfrac{2-i}{1+3i} = \dfrac{(2-i)(1-3i)}{1+9} = \dfrac{-1-7i}{10}$ .

Eksempel 3: Potens via polarform (delspørsmål)

Regn ut $(\sqrt3 + i)^6$ uten å multiplisere ut.

$|\sqrt3 + i| = 2$ og $\arg = \pi/6$ , så $\sqrt3 + i = 2e^{i\pi/6}$ .
$(2e^{i\pi/6})^6 = 64e^{i\pi}$ .
$e^{i\pi} = -1$ .

Svar: $(\sqrt3 + i)^6 = -64$ .

Komplekse tall i resten av emnet

Komplekse tall dukker opp igjen tre andre steder: i egenverdier til reelle matriser (rotasjoner gir $\lambda = \alpha \pm i\beta$ ), i den karakteristiske likningen for andreordens differensiallikninger ( $r = \alpha \pm i\beta$ gir $e^{\alpha t}\cos\beta t$ og $e^{\alpha t}\sin\beta t$ ), og som vektorrom. $\mathbb{C}$ er et reelt vektorrom med dimensjon 2 og basis $\{1, i\}$ , og et komplekst vektorrom med dimensjon 1. Det ble prøvd i 2020 og 2024.

Nøkkelformler

• $z = a + bi = re^{i\theta}$ , $r = \sqrt{a^2+b^2}$ , $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$
• $z\bar z = |z|^2$ , $\dfrac{z}{w} = \dfrac{z\bar w}{|w|^2}$
• $(re^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta}$
• $z^n = Re^{i\varphi}$ : $z_k = R^{1/n} e^{i(\varphi + 2\pi k)/n}$ , $k = 0, \dots, n-1$
• $az^2 + bz + c = 0$ : $z = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ , også når $b^2 - 4ac < 0$

Vanlige feil

⚠️Bare å finne roten for $k = 0$ . $z^n = w$ har alltid $n$ løsninger.
⚠️Å ta $\arctan(b/a)$ uten å sjekke kvadranten. For $-1 + i\sqrt3$ er argumentet $2\pi/3$ , ikke $-\pi/3$ .
⚠️Å glemme å ta $n$ -te rot av modulen: $z^4 = -16$ gir $|z| = 2$ , ikke 16.
⚠️Å skrive $\operatorname{Im}(a + bi) = bi$ . Imaginærdelen er det reelle tallet $b$ .
⚠️Å bruke andregradsformelen på en likning som inneholder $\bar z$ .

Eksamenstips

💡Start alltid med polarform når oppgaven inneholder potenser eller røtter: $w = Re^{i(\varphi + 2\pi k)}$ .
💡Skissen skal vise sirkelen $|z| = R^{1/n}$ , alle $n$ punktene og vinkelen $2\pi/n$ mellom dem. Merk hvert punkt med verdien.
💡Kontroller én rot ved å sette den inn i likningen. Det tar ti sekunder og fanger fortegnsfeil.
💡Ved polynom med reelle koeffisienter: finner du én ikke-reell rot, har du også den konjugerte.
💡Står $\bar z$ i likningen: skriv $z = a + bi$ eller $z = re^{i\theta}$ og sammenlign real- og imaginærdel.
💡Lær verdiene av $\cos$ og $\sin$ for $\pi/6, \pi/4, \pi/3$ utenat. Kalkulatoren gir bare desimaltall, og svaret skal stå eksakt.

Laster...

Laster…