Den harmoniske oscillatoren

En harmonisk oscillator oppstår når den tilbakedrivende kraften er proporsjonal med og motsatt rettet utslaget: \(F = -kx\). Newtons 2. lov gir \(m\ddot{x} = -kx\), dvs. \(\ddot{x} = -\omega^2 x\) med \(\omega = \sqrt{k/m}\). Løsningen er \(x(t) = A\cos(\omega t + \phi)\). Det avgjørende er at perioden \(T = 2\pi\sqrt{m/k}\) er uavhengig av amplituden (isokroni).

Sentrale formler – harmonisk oscillator

Vinkelfrekvens: \(\omega = \sqrt{k/m}\). Periode: \(T = 2\pi\sqrt{m/k}\).

Fart: \(v_{max} = \omega A\). Akselerasjon: \(a_{max} = \omega^2 A\), generelt \(a = -\omega^2 x\).

Total energi: \(E = \tfrac{1}{2}kA^2\) (konstant). Loddfjær i likevekt: \(kx_0 = mg\).

For en loddfjær er det nyttig å vite at likevektsstrekningen \(x_0\) gir \(m/k = x_0/g\), slik at \(T = 2\pi\sqrt{x_0/g}\) – massen kanselleres.

Pendler og fysisk pendel

En matematisk pendel med lengde \(L\) har \(T = 2\pi\sqrt{L/g}\) for små utslag, der man bruker \(\sin\theta \approx \theta\). For et utstrakt, stivt legeme (fysisk pendel) bruker vi dreiemomentligningen \(I\ddot{\theta} = -Mgd\sin\theta \approx -Mgd\,\theta\), som gir:

Fysisk pendel

\(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{I}{Mgd}}\), der \(I\) er treghetsmomentet om opphengsaksen, \(M\) total masse og \(d\) avstand fra akse til massesenter.

Bruk Steiners sats \(I = I_{cm} + Md^2\) når aksen ikke går gjennom massesenteret.

Standard treghetsmomenter: stav om ende \(\tfrac{1}{3}ML^2\), stav om senter \(\tfrac{1}{12}ML^2\), skive \(\tfrac{1}{2}MR^2\), kule \(\tfrac{2}{5}MR^2\), punktmasse \(mr^2\).

Eksempel 1: Stav med punktmasse

En homogen stav (\(M=0{,}50\) kg, \(L=1{,}0\) m) er hengt opp i den ene enden, med en punktmasse \(m=0{,}20\) kg på den frie enden. Finn svingetiden.

Treghetsmoment om opphengspunktet: \(I = \tfrac{1}{3}ML^2 + mL^2\)

\(I = \tfrac{1}{3}(0{,}50)(1{,}0)^2 + (0{,}20)(1{,}0)^2 = 0{,}1667 + 0{,}20 = 0{,}367\) kg·m²

Massesenter: \(d = \dfrac{M(L/2) + mL}{M+m} = \dfrac{0{,}50\cdot0{,}50 + 0{,}20\cdot1{,}0}{0{,}70} = \dfrac{0{,}45}{0{,}70} = 0{,}643\) m

\(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{I}{(M+m)gd}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}367}{0{,}70\cdot9{,}81\cdot0{,}643}}\)

\(T = 2\pi\sqrt{0{,}0831} = 2\pi\cdot0{,}288 = 1{,}81\) s

Dempede svingninger

En realistisk dempningskraft proporsjonal med farten, \(f = -bv\), gir ligningen \(m\ddot{x} + b\dot{x} + kx = 0\). Innfør \(\gamma = b/2m\) og \(\omega_0 = \sqrt{k/m}\). Det finnes tre regimer avhengig av hvordan \(b\) sammenlignes med den kritiske verdien \(b_c = 2\sqrt{mk}\):

De tre dempningsregimene

Underkritisk (\(b < b_c\)): \(x(t) = A_0 e^{-\gamma t}\cos(\omega_d t + \phi)\) med \(\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}\). Svinger med avtakende amplitude.

Kritisk (\(b = b_c\)): raskest mulig retur til likevekt uten oversving.

Overkritisk (\(b > b_c\)): kryper mot likevekt uten svingning, tregere enn kritisk.

Amplitude: \(A(t) = A_0 e^{-\gamma t}\). Energi: \(E(t) = E_0 e^{-2\gamma t}\).

Eksempel 2: Underdempet system og halveringstid

Et system har \(m=2{,}0\) kg, \(k=50\) N/m og \(b=4{,}0\) kg/s. Finn den dempede frekvensen og tiden det tar før amplituden er halvert.

\(\omega_0 = \sqrt{k/m} = \sqrt{50/2{,}0} = 5{,}0\) rad/s

\(\gamma = \dfrac{b}{2m} = \dfrac{4{,}0}{2\cdot2{,}0} = 1{,}0\) s\(^{-1}\)

\(\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2} = \sqrt{5{,}0^2 - 1{,}0^2} = \sqrt{24} = 4{,}90\) rad/s

Halvering: \(A_0/2 = A_0 e^{-\gamma t} \Rightarrow t = \dfrac{\ln 2}{\gamma} = \dfrac{0{,}693}{1{,}0} = 0{,}69\) s

Drevne svingninger og resonans

Med en ytre periodisk kraft blir ligningen \(m\ddot{x} + b\dot{x} + kx = F_0\cos(\omega t)\). Etter at de transiente egensvingningene er dempet ut, svinger systemet stasjonært med drivfrekvensen \(\omega\):

Stasjonær drevet svingning

Amplitude: \(A(\omega) = \dfrac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2 + (b\omega/m)^2}}\).

Amplituderesonans ved \(\omega_r = \sqrt{\omega_0^2 - 2\gamma^2}\); energiresonans (maks effektopptak) ved \(\omega = \omega_0\).

Faseforskyvning: \(\tan\delta = \dfrac{b\omega/m}{\omega_0^2-\omega^2}\); \(\delta = \pi/2\) ved \(\omega=\omega_0\).

Ved resonans er hastigheten i fase med drivkraften, slik at effektoverføringen og dermed amplituden maksimeres. Tilført effekt balanserer da energitapet til dempingen.

Q-faktoren

Q-faktoren (kvalitetsfaktoren) oppsummerer hvor svakt systemet er dempet:

Q-faktor

\(Q = \dfrac{\omega_0}{2\gamma} = \dfrac{m\omega_0}{b}\). Relativt energitap per periode: \(\dfrac{\Delta E}{E} \approx \dfrac{2\pi}{Q}\).

Høy Q: skarp, smal resonans og mange svingninger før energien dempes ut. Lav Q: bred resonans og rask demping.

Studieguide: Svingninger (harmonisk, dempet, drevet)

Studieguide: Svingninger (harmonisk, dempet, drevet)