Treghetsmoment og Steiners sats

\(I=\sum_i m_ir_i^2 \to \int r^2\,dm\), der \(r\) er avstanden fra rotasjonsaksen.

Om massesenteret: kule \(\tfrac25MR^2\), kuleskall \(\tfrac23MR^2\), sylinder/skive \(\tfrac12MR^2\), ring/åpen sylinder \(MR^2\), tynn stav \(\tfrac1{12}M\ell^2\).

Steiner: \(I=I_0+Mb^2\), der \(b\) er avstanden mellom den nye aksen og en parallell akse gjennom massesenteret.

For sammensatte legemer legger du sammen bidragene, med Steiner på hver del. En kvadratisk ramme av tynn stav med total masse \(M\) og sidekant \(a\), om en akse gjennom midtpunktet på én side, normalt på planet: hver side har masse \(M/4\); den staven aksen går gjennom bidrar \(\tfrac1{12}(M/4)a^2\), de to naboene \(\tfrac1{12}(M/4)a^2 + (M/4)(a/2)^2\) hver, og den motstående \(\tfrac1{12}(M/4)a^2 + (M/4)a^2\).

Rulling uten gli

Rullebetingelse: \(v=\omega R\) og \(a=\alpha R\). Total kinetisk energi: \(E_k=\tfrac12Mv^2+\tfrac12I_0\omega^2\).

Med \(I_0=kMR^2\): \(E_k=\tfrac12Mv^2(1+k)\). Fra høyde \(h\): \(v=\sqrt{2gh/(1+k)}\).

Friksjonen ved ren rulling gjør ikke arbeid — kontaktpunktet står momentant i ro.

Eksempel 1 (rullekonkurranse): Kule (\(k=2/5\)), sylinder (\(1/2\)), kuleskall (\(2/3\)) og ring (\(1\)) ruller ned fra \(h=1{,}20\) m. Ranger fartene.

\(2gh=23{,}54\ \text{m}^2/\text{s}^2\)

Kule: \(\sqrt{23{,}54/1{,}4}=4{,}10\) m/s

Sylinder: \(\sqrt{23{,}54/1{,}5}=3{,}96\) m/s

Kuleskall: \(\sqrt{23{,}54/1{,}667}=3{,}76\) m/s

Ring: \(\sqrt{23{,}54/2}=3{,}43\) m/s

Verken masse eller radius spiller inn — kun \(k\)

Sylinder trukket i snor: tre friksjonstilfeller

En klassiker: massiv sylinder (\(I_0=\tfrac12MR^2\)) på bord, snor festet til akslingen og over trinse til en hengende kloss med masse \(M\).

Ingen friksjon: ikke noe kraftmoment om aksen, så sylinderen glir uten å rotere: \(2Ma=Mg\Rightarrow a=g/2\).

Ren rulling: \(Ma=T-f\), \(fR=\tfrac12MR^2(a/R)\Rightarrow f=\tfrac12Ma\), \(Ma=Mg-T\). Gir \(a=2g/5\).

Sluring (\(\mu\) kjent): \(f=\mu Mg\) er nå kjent, og rotasjonen frikobles: \(2Ma=Mg-\mu Mg\Rightarrow a=(1-\mu)g/2\).

Rekkefølgen er alltid: ren rulling gir minst akselerasjon, fordi energi lagres som rotasjon.

Dreieimpuls og spinnsatsen

\(\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}\) for en punktmasse; \(\vec{L}=I\vec{\omega}\) for et stivt legeme om en fast akse.

Spinnsatsen: \(\vec{\tau}_{\text{ytre}}=d\vec{L}/dt\). Er summen av ytre kraftmoment null, er \(\vec{L}\) bevart.

Rullende legeme om kontaktpunktet: \(L=I_0\omega+MvR\). For en ring blir det \(2MvR\).

Dreieimpulsbevaring er en av de mest brukte oppgavetypene: to skiver som kobles sammen, en person som trekker inn armene på en dreiestol, en stav som treffes av en kule. Nøkkelen er at friksjon mellom delene er en indre kraft: den bevarer \(L\), men ødelegger mekanisk energi.

Eksempel 2 (koblede skiver): \(I_A=0{,}045\ \text{kg m}^2\) med \(\omega_A=12{,}0\) rad/s kobles til \(I_B=0{,}075\ \text{kg m}^2\) i ro.

\(\omega=I_A\omega_A/(I_A+I_B)=0{,}540/0{,}120=4{,}50\) rad/s

\(E_1=\tfrac12\cdot 0{,}045\cdot 144=3{,}24\) J

\(E_2=\tfrac12\cdot 0{,}120\cdot 20{,}25=1{,}215\) J

\(E_2/E_1=I_A/(I_A+I_B)=0{,}375\) → 62,5 % tapt

To LIKE skiver gir alltid nøyaktig halvering av energien

Eksempel 3 (dreiestol): \(I_1=6{,}0\ \text{kg m}^2\), \(\omega_1=1{,}2\) rad/s. Armene inn gir \(I_2=2{,}4\ \text{kg m}^2\).

\(\omega_2=I_1\omega_1/I_2=3{,}0\) rad/s

\(E=L^2/2I\), så \(E_2/E_1=I_1/I_2=2{,}5\)

\(E_1=4{,}32\) J, \(E_2=10{,}8\) J → \(\Delta E=6{,}48\) J muskelarbeid

Overgang fra gli til rulling

En kule kastes med fart \(v_0\) og null rotasjon. Kinetisk friksjon \(\mu_kMg\) bremser massesenteret (\(a=-\mu_kg\)) og gir samtidig kraftmomentet \(\mu_kMgR\) om massesenteret (\(\alpha=\mu_kg/(kR)\)). Ren rulling inntreffer når \(v=\omega R\):

\(v_0-\mu_kgt=\dfrac{\mu_kg}{k}t \Rightarrow t=\dfrac{k\,v_0}{(1+k)\mu_kg}\), og sluttfarten er \(v=\dfrac{v_0}{1+k}\).

For en kompakt kule (\(k=2/5\)): \(v=\tfrac57v_0\).

Eksempel 4 (punkt på rullende hjul): Et punkt på felgen har \(x=vt-R\sin\omega t\), \(y=R-R\cos\omega t\). Finn akselerasjonen.

\(\ddot{x}=R\omega^2\sin\omega t\), \(\ddot{y}=R\omega^2\cos\omega t\)

\(|a|=R\omega^2=v^2/R\) — konstant absoluttverdi

Retningen peker alltid inn mot hjulnavet

Kontaktpunktet har \(v=0\), toppunktet har \(v=2v\)

Sammensatte legemer — to standardoppgaver

Eksempel 5 (kvadratisk ramme): En tynn stang med total masse \(M\) formes til en kvadratisk ramme med sidekant \(a\). Finn \(I\) om en akse gjennom midtpunktet på én sidekant, normalt på rammas plan.

Hver side har masse \(M/4\), egen-\(I\) om normal akse gjennom sitt midtpunkt: \(\tfrac1{12}(M/4)a^2\)

Siden aksen ligger i: bidrag \(\tfrac1{12}(M/4)a^2\)

To nabosider (sentrum i avstand \(a/\sqrt2\)): \(2\big[\tfrac1{12}(M/4)a^2+(M/4)\tfrac{a^2}{2}\big]\)

Motstående side (avstand \(a\)): \(\tfrac1{12}(M/4)a^2+(M/4)a^2\)

Sum: \(I=\tfrac{Ma^2}{12}+\tfrac{Ma^2}{4}+\tfrac{Ma^2}{4}=\tfrac{7}{12}Ma^2\)

Med \(M=0{,}60\) kg, \(a=0{,}25\) m: \(I=0{,}0219\ \text{kg m}^2=21{,}9\ \text{g m}^2\)

Eksempel 6 (likesidet trekant av punktmasser): Tre punktmasser \(m\) i hjørnene av en likesidet trekant med side \(L\), masseløse staver. Akse gjennom midtpunktet på én stav, normalt på planet.

To masser på denne staven: avstand \(L/2\) hver → \(2m(L/2)^2=\tfrac12mL^2\)

Tredje masse: avstand = høyden \(=\tfrac{\sqrt3}{2}L\) → \(m\tfrac34L^2\)

\(I=\tfrac12mL^2+\tfrac34mL^2=\tfrac54mL^2\)

Med \(m=0{,}20\) kg, \(L=0{,}20\) m: \(I=0{,}0100\ \text{kg m}^2=10{,}0\ \text{g m}^2\)

Studieguide: Rotasjon og treghetsmoment