1. Treghetsmoment – rotasjonens «masse»

Treghetsmomentet \(I=\sum_i m_i r_i^2\) (eller \(I=\int r^2\,dm\) for kontinuerlige legemer) måler hvor vanskelig det er å endre et legemes rotasjon. Det avhenger av massen, av hvordan massen er fordelt, og av hvilken akse man roterer om – men IKKE av vinkelhastigheten. Jo lenger massen ligger fra aksen, jo større blir \(I\) (avstanden går inn i andre potens).

Standard treghetsmomenter (utenat):

Kompakt kule: \(I=\frac{2}{5}mr^2\) | Tynt kuleskall: \(I=\frac{2}{3}mr^2\)

Sylinder/skive om symmetriakse: \(I=\frac{1}{2}mr^2\) | Tynn ring/sylindermantel: \(I=mr^2\)

Stav om senter (⊥): \(I=\frac{1}{12}mL^2\) | Stav om ende (⊥): \(I=\frac{1}{3}mL^2\)

De tre rotasjonsanalogiene knytter \(I\) til dynamikken: Newtons 2. lov \(\tau=I\alpha\), rotasjonsenergi \(K_{rot}=\frac{1}{2}I\omega^2\) og vinkelmoment \(L=I\omega\). Uten ytre dreiemoment er \(L\) bevart – grunnlaget for at en pirouett-løper roterer raskere når armene trekkes inn.

2. Steiners (parallellakse-)sats

Tabellverdiene gjelder for akser gjennom massesenteret. Roterer du om en parallell akse i avstand \(d\), legger du til \(md^2\):

Steiners sats: \(I=I_{cm}+md^2\)

Leddet \(md^2\geq0\) legges ALLTID til. Aksen gjennom massesenteret gir derfor det minste treghetsmomentet blant alle parallelle akser.

Eksempel 1: Vis at en stav hengslet i enden har \(I_{ende}=\frac{1}{3}mL^2\).

Om massesenteret: \(I_{cm}=\frac{1}{12}mL^2\)

Avstand cm → ende: \(d=\frac{L}{2}\)

Steiner: \(I=\frac{1}{12}mL^2+m\left(\frac{L}{2}\right)^2\)

\(=\frac{1}{12}mL^2+\frac{1}{4}mL^2=\frac{1}{12}mL^2+\frac{3}{12}mL^2\)

\(=\frac{4}{12}mL^2=\frac{1}{3}mL^2\) ✓

3. Rulling uten gli

Når et legeme ruller uten å gli, står kontaktpunktet stille relativt underlaget. Det gir bindingen \(v_{cm}=\omega r\) (og \(a_{cm}=\alpha r\)). Bevegelsen er translasjon + rotasjon, så total kinetisk energi blir:

Total kinetisk energi ved rulling:

\(K=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}I\omega^2=\frac{1}{2}mv^2\left(1+\frac{I}{mr^2}\right)\)

Faktoren \(c=I/mr^2\): kule 2/5, sylinder 1/2, ring 1. Statisk friksjon gir rotasjonen, men gjør null arbeid → energien er bevart.

Eksempel 2: En kompakt kule ruller uten gli ned et skråplan fra høyde \(h=2{,}0\,\text{m}\). Finn farten i bunnen. (\(g=9{,}81\,\text{m/s}^2\))

Energibevaring: \(mgh=\frac{1}{2}mv^2\left(1+\frac{2}{5}\right)=\frac{7}{10}mv^2\)

Løs for v: \(v=\sqrt{\frac{10}{7}gh}\)

\(v=\sqrt{\frac{10}{7}\cdot9{,}81\cdot2{,}0}=\sqrt{\frac{196{,}2}{7}}\)

\(=\sqrt{28{,}03}=5{,}3\,\text{m/s}\)

4. Slurende bowlingkule → ren rulling

En bowlingkule kastes med \(v_0\) og null spinn. Den glir forover, så kinetisk friksjon \(f=\mu_k mg\) virker BAKOVER. Friksjonen bremser massesenteret (\(a=-\mu_k g\)) og gir samtidig et dreiemoment om senteret som ØKER \(\omega\). Når \(v=\omega r\) oppnås, slutter slurringen og kula ruller rent.

Eksempel 3: Finn sluttfarten når en kule (\(I=\frac{2}{5}mr^2\)) kastet med \(v_0\) og null spinn går over til ren rulling.

Translasjon: \(v=v_0-\mu_k g\,t\)

Rotasjon: \(I\alpha=\mu_k mgr\Rightarrow\omega=\frac{\mu_k mgr}{I}t=\frac{5\mu_k g}{2r}t\)

Ren rulling: \(v=\omega r\Rightarrow v_0-\mu_k g t=\frac{5}{2}\mu_k g t\)

\(\Rightarrow \mu_k g t=\frac{2}{7}v_0\)

\(v=v_0-\frac{2}{7}v_0=\frac{5}{7}v_0\)

Snarvei: vinkelmoment om et fast punkt på gulvet er bevart (friksjonen har null arm der), \(mv_0r=I\omega+mvr\), som gir samme \(v=\frac{5}{7}v_0\).

5. Roterende fallende stav (Steiner + energibevaring)

En homogen stav hengslet i den ene enden slippes fra horisontal stilling. Her kombineres Steiner (for \(I_{ende}\)) med energibevaring.

Eksempel 4: Finn \(\omega\) når staven (lengde \(L\)) passerer vertikal stilling.

Massesenteret faller \(h=\frac{L}{2}\)

Energibevaring: \(mg\frac{L}{2}=\frac{1}{2}I_{ende}\omega^2=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}mL^2\cdot\omega^2\)

\(g\frac{L}{2}=\frac{1}{6}L^2\omega^2\Rightarrow\omega^2=\frac{3g}{L}\)

\(\omega=\sqrt{\frac{3g}{L}}\)

Vinkelakselerasjon i startøyeblikket (horisontal): \(\tau=mg\frac{L}{2}=\frac{1}{3}mL^2\alpha\Rightarrow\alpha=\frac{3g}{2L}\). Endens akselerasjon er da \(a=L\alpha=\frac{3}{2}g>g\) – enden faller raskere enn fritt fall.

Studieguide: Rotasjon og treghetsmoment

Studieguide: Rotasjon og treghetsmoment