Ideell gass mikroskopisk og antall molekyler

Tilstandslikningen kan skrives makroskopisk som PV = nRT eller mikroskopisk som PV = Nk_BT, der N er antall molekyler og k_B = R/N_A = 1,381·10⁻²³ J/K er Boltzmanns konstant. Ved NTP (0 °C, 1 atm) fyller 1 mol et volum på 22,414 L, så 1 L inneholder N_A/22,414 ≈ 2,69·10²² molekyler.

Grunnlikninger:

PV = Nk_BT, med k_B = R/N_A

N = PV/(k_BT) = nN_A

Midlere translasjons-kinetisk energi: ⟨E_kin⟩ = (3/2)k_BT (avhenger kun av T)

Trykk fra molekylbevegelse og isotropi

Ved å regne ut impulsoverføringen når molekyler treffer en vegg, og bruke at ingen retning er foretrukket (isotropi: ⟨v_x²⟩ = ⟨v_y²⟩ = ⟨v_z²⟩ = (1/3)⟨v²⟩), får vi:

P = (1/3)(N/V)m⟨v²⟩

Dette gir PV = (2/3)N·(1/2)m⟨v²⟩ = (2/3)·E_trans. Sammenligning med PV = Nk_BT gir (1/2)m⟨v²⟩ = (3/2)k_BT.

Merk: ⟨v_x⟩ = 0 (like mange i + og − retning), men ⟨v_x²⟩ > 0.

rms-hastighet og Maxwell-fordelingen

Fra (1/2)m⟨v²⟩ = (3/2)k_BT følger v_rms = √(⟨v²⟩) = √(3k_BT/m) = √(3RT/M). Maxwell–Boltzmann-fordelingen gir tre karakteristiske farter:

Mest sannsynlig fart: v_mp = √(2RT/M)

Gjennomsnittsfart: ⟨v⟩ = √(8RT/(πM))

rms-fart: v_rms = √(3RT/M)

Rekkefølge: v_mp < ⟨v⟩ < v_rms, med v_rms/⟨v⟩ = √(3π/8) ≈ 1,085

Ekvipartisjonsprinsippet og frihetsgrader

Hver kvadratisk frihetsgrad i energien (ledd ∝ koordinat² eller hastighet²) bidrar i likevekt med midlere energi (1/2)k_BT per molekyl, altså (1/2)RT per mol. Telling av frihetsgrader f:

Translasjon: alltid 3 (x, y, z)

Rotasjon: 2 for lineære molekyler (N₂, CO₂), 3 for ikke-lineære (H₂O)

Vibrasjon: hver aktiv modus gir 2 (kinetisk + potensiell) = k_BT

Indre energi: U = (f/2)nRT, varmekapasitet C_V = (f/2)R, C_P = C_V + R

Varmekapasitetstrinn og frosne moder

Energinivåene for rotasjon og vibrasjon er kvantiserte. En modus kan kun eksiteres når den termiske energien k_BT er sammenlignbar med energikvantet. Vibrasjonskvantet er ħω, med karakteristisk temperatur θ_vib = ħω/k_B (ofte flere tusen K). Når k_BT ≪ ħω er moden "frosset". Derfor stiger C_V for f.eks. H₂ trinnvis: (3/2)R → (5/2)R → (7/2)R etter hvert som rotasjon og deretter vibrasjon tiner opp.

Eksempel 1: Beregn v_rms for nitrogen (M = 0,028 kg/mol) ved 300 K og finn hvor mye den øker ved 600 K.

v_rms = √(3RT/M)

= √(3·8,314·300/0,028)

= √(2,67·10⁵) ≈ 517 m/s

Ved 600 K: v_rms ∝ √T, så v_rms = 517·√(600/300)

= 517·√2 ≈ 731 m/s

Eksempel 2: Hvor mye varme kreves for å varme 2,00 mol enatomig ideell gass 50,0 K ved konstant volum, og hva er γ?

Enatomig: f = 3, så C_V = (3/2)R = (3/2)·8,314 = 12,47 J/(mol·K)

Q = nC_VΔT = 2,00·12,47·50,0

= 1247 J ≈ 1,25·10³ J

C_P = C_V + R = (5/2)R = 20,79 J/(mol·K)

γ = C_P/C_V = (5/2)/(3/2) = 5/3 ≈ 1,67

Studieguide: Kinetisk gassteori og ekvipartisjon